新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的垂直问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的垂直问题（含解析），共25页。学案主要包含了考点梳理，典例分析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
【典例分析】
典例1．已知非零平面向量、，“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
典例2．已知向量，，若，则y的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
典例3．已知单位向量的夹角为，与垂直，则＝（ ）
A．B．C．D．
典例4．已知，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
典例5．若夹角为的非零向量，满足且，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【双基达标】
6．若向量，，则与一定满足（ ）.
A．B．C．D．
7．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．已知平面向量，满足，，与的夹角为45°，，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）条件
A．充要B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要
11．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，使得
C．，与的夹角小于D．，使得
12．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16B．8C．24D．32
13．，，若，则( )
A．B．C．6D．8
14．向量，若，则（ ）
A．2B．C．3D．5
15．已知向量，，，若，则向量在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
16．设向量，，．若，则与的夹角为（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
17．已知向量 满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．1
C．-1D．
18．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
19．已知向量，，若，则实数（ ）
A．0B．C．1D．3
20．已知向量＝(3，5)，＝(9，7)，则（ ）
A．⊥B．//C．//(＋)D．(2－)⊥(＋)
21．已知，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
23．已知向量，，若与垂直，则的值为
A．B．C．D．
24．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
25．已知，，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【高分突破】
单选题
26．若向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
27．若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A．B．
C．不平行于，也不垂直于D．以上都有可能
28．如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A．B．2C．D．1
29．已知向量， ，若则（ ）
A．B．5C．D．
30．设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
31．已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
32．在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则D．若O为△ABC的垂心，则
33．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量可以表示平面内任一向量
B．若，则
C．若，则
D．若，则与的夹角是锐角
34．已知向量，，则（ ）
A．B．
C．向量在向量上的投影向量是D．是向量的单位向量
三、填空题
35．已如，，，，则实数的值为_________．
36．已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是____________.
37．已知向量，，，______．
38．已知向量，夹角为，，为单位向量，且，则__________
39．已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
40．，为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的__________条件．
四、解答题
41．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
42．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
43．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
44．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
45．在中，、、分别是角、、所对的边，已知，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值.
（3）求周长的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论.
【详解】
对于非零平面向量、，.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
根据向量垂直，可得向量的数量积为零，根据向量数量积的坐标公式，可得，可解得答案.
【详解】
由，可得，则，解得，
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
由与垂直，可得，化简后可求出的值
【详解】
因为单位向量的夹角为，与垂直，
所以，
，解得，
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
利用向量垂直，向量数量积的定义及向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设，的夹角为，因为，，
所以，
所以，，故与的夹角为.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
根据得，计算得解.
【详解】
因为，所以，即，所以，将代入得.
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
由向量平行、垂直的条件，向量的模计算分析判断即可
【详解】
对于A，因为不一定成立，所以与不一定平行，所以A错误，
对于B，因为不一定成立，所以与不一定垂直，所以B错误，
对于C，因为，，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以 ，所以D正确，
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，设与的夹角为，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选：C．
8．A
【解析】
【分析】
根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】
，，，∴.
故选：A
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角 ，则， ，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
又，
所以.故正确；
，若，则，
解得，即当时，，故错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：.
12．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
13．D
【解析】
【分析】
求出的坐标，根据可知，结合向量数量积的坐标表示即可求出x的值．
【详解】
，
．
故选：D．
14．D
【解析】
【分析】
由，得，解出的值，进而可求得的坐标，根据向量模长公式即可求解.
【详解】
解：因为向量，，，所以，解得，
所以，所以，
故选：D.
15．B
【解析】
首先计算，利用可得，再利用投影公式即可求解.
【详解】
因为，，所以，
因为，所以，即，
所以向量在上的投影为
，
故选：B
16．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，
所以，
故，
故选：D．
17．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出，再借助投影向量的意义计算作答.
【详解】
因，则，令向量与向量的夹角为，
于是得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：A
18．B
【解析】
根据向量垂直则数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可.
【详解】
因为，所以，即，又，，故，解得.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.
【详解】
因为向量，，且，
所以，即，
所以有，解得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：
（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简；
（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.
20．D
【解析】
【分析】
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，，所以该选项错误.
D.由条件得，，
∴，
所以，所以该选项正确.
故选：D．
21．B
【解析】
【分析】
根据可知，从而求出的值，进而可的.
【详解】
解：由题意得：
，解得
故
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
【详解】
解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，
解得λ＝．
故选：A．
23．B
【解析】
由向量垂直可得数量积为，利用坐标运算列出方程，即可解得的值.
【详解】
因为与垂直，所以，解得．故应选B．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.
24．A
【解析】
【分析】
根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.
【详解】
因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，
故选：A.
25．C
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标公式求.
【详解】
∵，，，
∴，∴
∴，
∴.
故选：C.
26．B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为向量，，
对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；
对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；
对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，
对于D：，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断．
【详解】
解：向量垂直于向量和，则，，
又向量，
所以，
所以．
故选：．
28．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，所以，
所以，
故选：C.
29．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积可得，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量，，
∴，所以，
∴，∴，即.
故选：B
30．C
【解析】
【分析】
A.根据模长公式进行计算；B.根据数量积公式进行计算；C.计算数量积并判断结果是否为；D.验证平行对应的坐标关系并判断.
【详解】
A.因为，所以，故错误；
B.，故错误；
C.因为，所以，故正确；
D.因为，所以不成立，故错误；
故选：C.
31．BCD
【解析】
【分析】
对于A，由得，得或或，故A不正确；
对于B，由得，得或，故B正确；
对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确；
对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确.
【详解】
对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
32．ACD
【解析】
【分析】
对A，由重心可知，根据，，整理可得，即可判断；对B，由内心可知，结合，即可求解判断；对C，由等腰三角形的性质可得，由外心可知，结合余弦定理可得，进而判断；对D，由垂线可知，则，整理可得，而，代入求解，即可判断.
【详解】
对于A选项，重心为中线交点，则，即，
因为，
则，
所以，，
所以，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则，
即，所以，
由A选项，则，，
所以，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，
在中，，则，
，
所以，易知，所以，
所以，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
由C选项，因为，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
知识点点睛：的“四心”，可知：
（1）重心为中线交点，则；
（2）内心为角平分线交点，内切圆圆心，则；
（3）外心为垂直平分线交点，外接圆圆心，则；
（4）垂心为高线交点，则.
33．BC
【解析】
【分析】
A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.
【详解】
当与不共线，可以表示平面内任一向量，所以，
解得:且A错误；
若，则，所以，得：，B正确；
若，有，解得：，C正确；
当时，与平行，夹角不是锐角，错误.
故选：.
34．AD
【解析】
【分析】
根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A；
根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B；
根据投影向量的计算公式即可判断C；
判断向量是否与向量共线，及模是否为1，即可判断D.
【详解】
解：对于A，，则，
所以，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量为，
故C错误；
对于D，因为向量的模等于1，
，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确.
故选：AD.
35．32##1.5
【解析】
【分析】
根据向量垂直数量积等于，结合向量数量积的运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，可得：，
故答案为：.
36．
【解析】
【分析】
设，则，由可得，整理可得，即可求出t的取值范围.
【详解】
设，则,①
，，
由可得，即,②
由①②消去，整理得,
因为，所以,
因为，所以,
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
设椭圆上点的坐标为，则，这往往在求与椭圆有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
37．
【解析】
【分析】
由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.
【详解】
因为，所以，所以，解得．
故答案为：
38．1
【解析】
【分析】
由平面向量垂直的性质及数量积的运算可得，即可得解.
【详解】
因为，为单位向量，所以，，
又，向量，夹角为，
所以，所以．
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
39．
【解析】
【分析】
令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】
令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
40．充要
【解析】
【分析】
由条件，可得；不等式化为．由于对一切，不等式恒成立，所以可得，化简即可得出．
【详解】
由条件，可得；
不等式化为，
∵对一切，不等式恒成立，
∴，
化为，
∴，所以．
故答案为：充要．
【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是由不等式化为后由一元二次不等式的知识得出，从而得解.
41．（1）；（2）．
【解析】
（1）由点，，三点共线可得和共线，解关于的方程可得答案；
（2）由为直角三角形可得，即，解关于的方程可得答案．
【详解】
（1），，，
，
点，，三点共线，和共线，
，解得；
（2）为直角三角形，且为直角，
，，
解得．
【点睛】
方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
42．(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
【解析】
【分析】
（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
43．（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）设，由和，分别利用共线向量定理和数量积运算求解；
（2）设，由向量与平行和，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解.
【详解】
（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
44．（1）或；（2）.
【解析】
（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
45．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得的值；
（3）利用正弦定理以及三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围.
【详解】
（1）由已知条件可得，则，
，故；
（2）由三角形的面积公式可得，，
由余弦定理可得，
因此，；
（3）由正弦定理可得，故，，
所以，
，
，所以，，则，所以，，
所以，.
因此，的周长的取值范围是.