新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线与抛物线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线与抛物线的位置关系（含解析），共41页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破，整体点评等内容，欢迎下载使用。

解决直线与抛物线公共点(交点)问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【题型归纳】
题型一：判断直线与抛物线的位置关系
1．直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
2．抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
3．已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
题型二： 求直线与抛物线的交点坐标
4．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
5．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为抛物线上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型三： 求抛物线的切线方程
7．已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（ ）
A．0B．1C．-1D．0或1
8．已知抛物线C：，A为C上的动点，直线l为C在点A处的切线，则点到l距离的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
9．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．

题型四： 根据韦达定理求参数
10．已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
【双基达标】
13．已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
14．在平面直角坐标系中，抛物线的准线为与轴交于点，过点作抛物线的一条切线，切点为，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
15．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（ ）
A．B．C．3D．2
16．已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
17．抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点N（不同于点M），且满足，则点N的坐标为（ ）
A．B．C．D．
18．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．已知等边三角形的一个顶点为抛物线的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为（ ）
A．B．
C．D．
20．设F是抛物线的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若（O为坐标原点）的面积为，则（ ）
A．B．C．1D．2
21．过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知抛物线的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
23．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
25．阿波罗尼斯研究圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
单选题
26．过抛物线上一点A作x轴的垂线与C交于点P，过点A作y轴的垂线交y轴于点Q，若C的焦点F是PQ的中点，且，则（ ）
A．1B．C．2D．3
27．已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
28．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
29．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，且，则点到轴的距离为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
30．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，点为切点.若的面积不大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
32．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则
①以线段为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆经过焦点；
③，，（其中点为坐标原点）三点共线；
④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；
则以上说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
34．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．0条
35．平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则点到轴的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
36．已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于、两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
37．过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则（ ）
A．B．3C．D．4
二、多选题
38．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与抛物线的两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则（ ）
A．y1y2=
B．以AB为直径的圆与直线相切
C．OA+OB的最小值
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
39．关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．过点 且与圆相切的直线方程为
B．过点且与抛物线 相切的直线方程为
C．曲线在点处的切线的方程是
D．过点且与曲线相切的直线方程为
40．已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线的斜率为2D．面积的最小值为4
41．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（ ）
A．B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点D．的最小值为8
三、填空题
42．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．
43．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.点D为的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则的最小值是___________.
44．过直线上一点P（点P不在x轴上）作抛物线的两条切线，两条切线分别交x轴于点G，H，则外接圆面积的最小值为______．
45．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．
46．过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条．
47．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.
48．过抛物线C：的准线l上一点P作C的切线PA，PB，切点分别为A，B，设弦AB的中点为Q，则的最小值为______．
49．已知抛物线的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于、两点（点在、中间），且与抛物线的准线交于点，若，则的长为______.
四、解答题
50．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．
51．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
52．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
53．已知抛物线的焦点为F，为E上一点.
（1）求E的方程及F的坐标；
（2）设斜率为1的直线l与E交于A，B两点，若，求l的方程.
54．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
2．B
【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论．
【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得
∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.
故选：B
3．A
【分析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得
得m∈R,再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得
所以，所以m∈R,
因为“”是“m∈R”的充分非必要条件，
所以“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件，
故选A
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
5．C
【分析】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得.
【详解】不妨设点为第一象限内一点，则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
所以，.
故选：C.
6．A
【分析】由双曲线的渐近线方程与抛物联立，求得A的坐标，然后根据的垂心为的焦点，由求解
【详解】解：如图所示：
双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或，
所以，，
因为的垂心为的焦点，
所以，
即，即，
所以，
故选：A
7．A
【分析】设切点和，利用导数的几何意义求出切线、的方程，进而是方程的两实根，求出，
根据平面向量的坐标表示化简计算即可.
【详解】由，得，则，
设，，所以，
得切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
又两条切线过切点，有、，
所以是方程即的两实根，
得，
又，
所以
将代入上式，得.
故选：A
8．B
【分析】设，根据条件求出抛物线在点处的切线方程，再求点到直线的距离及其最小值.
【详解】因为点在抛物线C：上，故可设，
因为抛物线在点处的切线不为0，
故可设抛物线在点处的切线方程为，
所以有且只有一组解，
所以方程只有一个根，
所以，故，
所以抛物线在点处的切线的方程为：，
所以到直线的距离
所以，当且仅当时等号成立，
所以点到l距离的最小值为.
故选：B.
9．A
【分析】设切线方程，利用判别式法解决直线与曲线相切问题，再根据点到直线距离解决与圆相切问题，进而得解.
【详解】由已知得直线的斜率存在，
设直线：，
联立方程，即，
故，
故圆心到直线的距离，
解得，
故切线方程为，或，
所以A选项正确；
故选：A.
10．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
11．B
【分析】分析可知直线不与轴重合，可设该直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可求得的值，即可得出结论.
【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以直线不与轴重合，易知抛物线的焦点为，
设直线的方程为，联立可得，
，则，
所以，，解得.
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
12．A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.
【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
13．B
【分析】根据题意，求得直线，设直线与抛物线相切，联立方程组，利用，求得，结合两平行线间的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
因为直线的倾斜角为，所以直线，
设直线与抛物线相切，
联立方程组，可得，
则，解得，且 ，
故两平行线间的距离，解得，
所以抛物线的方程为，则准线方程为.
故选：B.
14．A
【分析】由题可得，可设切线，联立抛物线方程可得，即求.
【详解】∵抛物线的准线为，
∴，设过点作抛物线的一条切线方程为，
由，得，
∴，解得，
∴，解得，即，
∴的面积为.
故选：A.
15．D
【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.
【详解】如图：相关交点如图所示，
由抛物线，得 ，
则，
与抛物线联立得，
即，
解得
， 又
则为等边三角形
，
，
由抛物线的对称性可得，
故选：D.
16．B
【分析】首先根据抛物线方程求出准线方程，即可得到的坐标，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据，即可得到，从而求出、，从而求出.
【详解】解：抛物线的准线为，所以，
由题意可知直线的斜率存在，
故设直线为，，，
则，即，
所以，，
因为，即，
所以，
所以或，
所以.
故选：B
17．A
【分析】设该直线方程为，当时，联立消去，得，设则由化简计算可得，即可求得时，可验证依然成立.
【详解】直线过且斜率不为0，
设该直线方程为，当时，联立消去，得，
恒成立，设则
，
即
即，则，
即则，
即
所以，
即当时，两点关于轴对称，显然恒成立.
综上所述，.
故选：A.
18．B
【分析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，进而求得取值范围，当斜率不存在是，可得，两点坐标，进而可得的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立方程，得，恒成立，
则，，
，，
，
所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
所以，，
，
综上所述：，
故选：B.
19．D
【分析】根据题意求出其余两个顶点坐标，然后由抛物线定义求其边长
【详解】根据抛物线与等边三角形的性质知，其余两个顶点分别在在上，，联立解得，根据抛物线的定义得其边长为．
故选：D
20．B
【分析】设直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理可得，然后数形结合可知，计算可得.
【详解】由题知，直线AB方程为：，即
代入，整理得
设，则
所以，
解得.
故选：B
21．A
【分析】现根据所给条件面积之间的关系推出，再根据抛物线的几何性质推得，设直线方程联立抛物线方程，整理得到，联立可解得答案.
【详解】如图示：过点作垂直于准线，垂足为 ,作垂直于准线，垂足为,
由的面积是的面积的3倍可知， ,
而 ,则 ，
故 ,
根据抛物线性质可知,
所以,即，
显然过的直线l的斜率存在，设为 ，
则直线方程为 ，和抛物线方程联立，
整理得：
所以 ，结合 式，得 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
22．A
【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离．
【详解】由题意抛物线标准方程为，，，∴焦点为，准线方程为，
直线方程为，代入抛物线方程整理得，设，则，设中点为，则，
∴到准线的距离为．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦中点问题，解题时直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理可得中点坐标．
23．B
【分析】根据题意，，解得，过点向抛物线的准线作垂线，则，计算得到答案.
【详解】根据题意，，又，解得，，
则抛物线方程为，所以，，，
设，过点向抛物线的准线作垂线，
垂足为，根据抛物线的定义可知，，因为，
所以.
故选：.
24．D
【分析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.
【详解】如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.
由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：
，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.
于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.
故选：D.
25．D
【分析】由题设可得，由三点共线结合斜率两点式求直线FQ的斜率，进而利用点斜式写出直线方程.
【详解】设过平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点P，易知．
将代入抛物线方程得，即，
又焦点为F ，且P，F，Q三点共线，则，
由点斜式方程化简得.
故选：D
26．C
【分析】根据题意作图象，由图象及条件可得点横坐标，代入抛物线方程求出A点纵坐标，利用勾股定理列出方程求解.
【详解】如图，
因为是直角三角形斜边的中点，
所以,故，代入可得，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
解得,
故选：C
27．D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
28．C
【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.
【详解】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故选：C.
29．B
【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出，再由焦半径公式表示出，得到，结合这两个关系式可求解
【详解】已知焦点F到准线的距离为2，得，可得
设()，，
与抛物线方程联立可得：
，，①
又，，②
根据①②解得，
点A到y轴的距离为2.
故选：B
30．C
【分析】由题意，设，直线的方程为，则由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求出，进而可得，结合即可得答案.
【详解】解：因为抛物线的性质：在抛物线上任意一点处的切线方程为，设，
所以在点处的切线方程为，在点B处的切线方程为，
因为两条切线都经过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
联立直线与抛物线方程有，消去得，
由得，，由韦达定理得，
所以弦长，
所以，
整理得，即，解得，又
所以.
故选：C.
31．C
【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.
【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.
故选：C
32．D
【解析】由抛物线的性质可判断①；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断②；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线的方程，联立方程组即可判断④.
【详解】对于①，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确；
对于②，连接，如图，
因为，，
所以，所以，
所以即，
所以以为直径的圆经过焦点，故②正确；
对于③，设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又，
因为，，
所以，所以，，三点共线，故③正确；
对于④，不妨设，则，
则直线，代入抛物线方程化简得，
则，
所以直线与该抛物线相切，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.
33．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
34．B
【分析】过的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.
【详解】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，与联立得，
当时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.
故满足题意的直线有2条.
故选：B
35．B
【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为，直线恒过定点，过分别作于，于，根据抛物线的定义和已知条件可得点为的中点，进而可得点的横坐标为1，则从 而可求出答案
【详解】解：设抛物线的准线为，直线恒过定点，
如图过分别作于，于，
因为，所以，
所以点为的中点，连接，则，
所以，所以点的横坐标为1，
所以，
所以点到轴的距离为4，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义，考查计算能力，属于中档题
36．B
【分析】设点位于第一象限，求得直线的方程，可得出点的坐标，由抛物线的对称性可得出，进而可得出直线的斜率为，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直线为准线的抛物线的标准方程.
【详解】设点位于第一象限，直线的方程为，联立，可得，
所以，点.
为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出，则直线的斜率为，即，解得.
因此，以直线为准线的抛物线的标准方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
37．A
【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标，
设出直线l的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.
【详解】抛物线的焦点，准线为：，设点，
依题意，，解得，显然，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为，
由消去y并整理得：，则有，于是得，
因此，，
所以.
故选：A
38．BD
【分析】设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可依次判断.
【详解】由题可得焦点为，显然直线斜率存在，设直线方程为，
联立方程，可得，则，
则，故A错误；
根据抛物线的定义可得线段的中点到准线的距离为，
所以以AB为直径的圆与直线相切，故B正确；
当直线与轴平行时，，，故C错误；
直线的方程为，与的焦点坐标为，
因为，所以，即经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上，故D正确.
故选：BD.
39．ABD
【分析】对于A：利用圆的切线性质和直线垂直的斜率关系求得切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式写出直线的方程，从而判定A；对于B：利用点斜式设出切线方程，利用判别式等于零求得斜率，进而得到抛物线的切线方程，进而判定B；对于C：利用导数求得函数在点处的切线的斜率，进而写出切线的方程，从而判定C；对于D：设出切线横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过坐标原点，代入求得切点的横坐标，进而得到切线的方程，从而判定D.
【详解】对于A：易知点 为圆 上的点，记坐标对应的点为,
圆的圆心为,则直线的斜率为,
又∵圆上的切线与圆的半径垂直，∴切线的斜率为,
∴切线方程为,整理得：,故A正确；
对于B：过点 且与抛物线相切的直线斜率显然存在，设为,
由抛物线的方程得，代入切线方程并整理得,
,
对于C：解得,∴切线方程为,即,故B正确；
函数的导函数为 ，
，∴函数的图象在点处的切线的方程是，即.故C错误；
对于D：函数的导函数为，过点且与曲线相切的直线与函数的图象的切点为,则切线斜率，∴切线方程为,
∵切线经过点(0,0),∴，解得，
∴过点且与曲线相切的直线方程为，即为，故D正确.
故选：ABD.
40．ABD
【分析】选项A：由点在准线上，可求出，从而可判断；
选项B：设直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断；
选项C：设，分别求出，方程，根据方程结构可判断；
选项D：先同C求得直线的方程，再表达出的面积关于的表达式，进而求得面积的最大值即可
【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.
对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.
对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，
故：，故. 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确；
故选：ABD
41．AC
【解析】设，则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜率、切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为，设，
则，，由y2＝4x得，求导得，
所以，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝，
化为x＝y① ，同理可得过B的切线方程为x＝y② ，
由①②解得x＝，由P的横坐标为，即，则，
k1k2＝，故A正确；
因为|k1﹣k2|＝＝不为定值，故B错误；
因为AB的直线方程为y﹣y1＝，即y＝y1+x，
整理得y＝，所以AB恒过定点，故C正确；
将转化为到准线的距离，即＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+＝5+≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以的最小值为9，故D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A、B两点的切线斜率与方程得到，然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
42．##
【分析】计算出，联立直线和抛物线得到与，结合求出，进而求出的面积.
【详解】由题意可得，则，解得：，故直线的方程为．
联立整理．
设，，则，．
因为，所以，所以，则，解得:，
从而，故的面积是
故答案为：．
43．
【分析】设直线l的方程为，，，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和及两根之积，进而可得的中点及，的坐标，由均值不等式求得的最小值.
【详解】如图，设直线l的方程为，，，
联立，整理得，
则，，
因为D为的中点，所以，
则，，
从而，
当且仅当，
即，或，时，等号成立.
故答案为：.
44．##
【分析】利用抛物线定义、导数几何意义、四边形外接圆等，数形结合解决本题简单快捷.
【详解】抛物线的焦点为，
如图，设切点，
直线PA、PB与x轴分别交于G、H，连接PF、GF、HF.
由，可得，则
则，
直线PA方程为，即，则
直线PB方程为，即，则
由，可知
由，可知
则P、G、F、H四点在以线段PF为直径的圆上，此圆即为的外接圆.
点F到直线的距离为
则，则的外接圆半径
故的外接圆面积
即的外接圆面积的最小值为
故答案为：
45．
【分析】作垂直于准线于H，然后结合抛物线的定义可以得到，进一步判断出当直线AP与抛物线相切时，PAH最小，然后结合直线与抛物线相切求得答案.
【详解】如图，作垂直于准线于H，∵，∴，根据抛物线的定义有，∴，当m最小时，最小.
故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为，联立
，
，．
此时，椭圆中，椭圆离心率．
故答案为：.
46．3
【分析】分当直线的斜率不存在和当直线的斜率存在时，两种情况讨论求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，
消去y得：，
当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，
所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
47．##2.25##
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.
【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.
设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，
所以的面积.
故答案为：
48．2
【分析】利用导数求出抛物线在A和B的切线方程，根据切线过P得A和B满足的方程，从而求得AB所在直线方程，联立直线AB方程与抛物线方程求出Q点坐标，从而求出的表达式，根据表示式即可求其最小值.
【详解】，
设，，，则，，
则切线：，
∵切线PA过P，∴，
同理，，
∴直线AB方程为：.
由得，，
则，，
则，
则，
即最小值为2.
故答案为：2.
49．
【分析】分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，求出直线的方程，可求得抛物线的焦点的坐标，可得出抛物线的标准方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段的长.
【详解】如图，分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，
由得，所以，，又，
所以，直线的方程为，所以，，则，
则抛物线的方程为，
设点的纵坐标为，由，得或，
因为点在、之间，则，
所以，.
故答案为：.
50．(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;
（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.
(1)
（1）
则，
， ，
，
故C的方程为： ；
(2)
假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
， ，所以 ，
即 或 ，
，
，
则 ，，
使得直线与的斜率互为倒数.
51．(1)；
(2)的交点坐标为，，的交点坐标为，．
【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；
(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出．
（1）因为，，所以，即的普通方程为．
（2）因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，．
52．（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
53．（），；（2）或.
【解析】（1）根据为抛物线上一点，代入抛物线方程求解.
（2）设直线l的方程为，联立，根据，结合韦达定理求解.
【详解】（1）因为为抛物线上一点，
所以，
解得，
所以抛物线的方程是，焦点的坐标是；
（2）设直线l的方程为，直线与E交于两点，
由，得，
则，，即，
因为，
所以，
即，
即，
所以，
即，
解得或，成立
所以直线l的方程是或.
54．(1)
(2)直线PQ过定点
【分析】（1）将代入抛物线中，得出的长度，再由勾股定理得出，结合条件建立关于的方程，得出答案.
（2）由题意设直线AB的方程为，，，联立直线AB的方程与抛物线的方程，由韦达定理得出点坐标，同理得出点坐标，从而得出直线方程，得出答案.
(1)
由题意，在中代入，得，解得，
所以．
由勾股定理得|，
则的周长为，解得，
故抛物线C的方程为．
(2)
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为，，．
联立消去x，得，，
则，从而．
因为P是弦AB的中点，所以，同理可得．
当，即时，直线PQ的斜率，
则直线PQ的方程为，即．
故直线PQ过定点；
当，即时，直线PQ的方程为，也过点．
综上所述，直线PQ过定点．