新高考数学二轮复习讲义第二十五讲直线方程及圆的方程（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习讲义第二十五讲直线方程及圆的方程（含解析），共22页。
直线的方程
倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
两直线关系
平行、垂直
圆的方程
（1）圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为（a，b），半径为 SKIPIF 1 < 0
（2）圆的一般方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
直线与圆的位置关系
几何法、代数法（相离、相切、相交）
两圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【典型题型讲解】
考点一：直线的方程
【典例例题】
例1.若一次函数 SKIPIF 1 < 0 所表示直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：D．
例2.下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线都可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示；
②经过任意两点 SKIPIF 1 < 0 的直线都可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示；
③不经过原点的直线都可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示；
④经过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线都可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示．
【答案】1
【解析】①由于直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当直线斜率存在时，可用方程 SKIPIF 1 < 0 表示，
当直线斜率不存在时，方程是 SKIPIF 1 < 0 ，①不正确；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，经过任意两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，经过任意两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 的直线的斜率是 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，②正确；
③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，不可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示，
当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示，③不正确；
④当直线斜率不存在时，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，不可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示，
当直线的斜率存在时，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线可以用方程 SKIPIF 1 < 0 表示，④不正确，
所以给定的4个命题中，真命题只有1个.
故答案为：1
例3.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 或0D． SKIPIF 1 < 0 或0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
故满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的值为0或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
例4.直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】0或1【解析】因直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0或1
【方法技巧与总结】
熟记直线方程的公式
【变式训练】
1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
2.已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】集合 SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 上去掉点 SKIPIF 1 < 0 所构成的两条射线，
在方程 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
集合 SKIPIF 1 < 0 表示过定点 SKIPIF 1 < 0 且斜率存在的直线，
由 SKIPIF 1 < 0 得两直线斜率不同，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
3.已知直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点A，点A在直线 SKIPIF 1 < 0 上，其中m、n均为正数，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点A在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为：8．
故选:C．
4.“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
5.已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 经过的定点坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值和此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
②当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 经过的定点坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；
②设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 两边平方可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
考点二：圆的方程
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程，得 SKIPIF 1 < 0
当点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外时，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 ”在圆 SKIPIF 1 < 0 外”的必要不充分条件.
故选：B.
例2．（2022·广东清远·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的最短弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】将圆化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此可知圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
因为直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以当圆心到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
例3．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】如图，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最大，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确；
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离有最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
（3）过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程 SKIPIF 1 < 0
（4）求过圆 SKIPIF 1 < 0 外一点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 值．若求出的 SKIPIF 1 < 0 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的 SKIPIF 1 < 0 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·二模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于A、B两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于M、N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时 SKIPIF 1 < 0 相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ﹒
故选：B．
2．（2022·广东湛江·二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B
3．（2022·广东梅州·二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点到直线的距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2022·广东肇庆·二模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段AB上的动点﹐以D为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】如图，当圆 SKIPIF 1 < 0 与BC相切时，半径AD最小，设此时半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:A．
5．（2022·广东·珠海市第三中学二模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意可知，圆 SKIPIF 1 < 0 是圆心为原点，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．（2022·广东韶关·二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 则a=（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题知 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，由 SKIPIF 1 < 0 及勾股定理得点O到直线的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
7．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知a>0，圆C： SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 SKIPIF 1 < 0 平分
【答案】ACD
【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当 SKIPIF 1 < 0 ，即a＝e或 SKIPIF 1 < 0 时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在 SKIPIF 1 < 0 上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；
对于C，若圆C过坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 ，如下图可知，曲线y＝lnx与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；
对于D，若圆C的面积被直线 SKIPIF 1 < 0 平分，则直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为 SKIPIF 1 < 0 ，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直”的充分必要条件
B．直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则实数b的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】对于A,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相平行，即“ SKIPIF 1 < 0 ”不是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 互相垂直”的充分条件，故A错误；
对于B, 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D, 曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的半圆，如图示：
直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切或过点(0,3),
当直线和圆相切时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线过点(0,3)时， SKIPIF 1 < 0 ，则数b的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：AC
9．（2022·广东深圳·二模）（多选）P是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，过点P作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，A，B为切点，则（ ）
A．弦长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B．存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 经过一个定点D．线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在一个定圆上
【答案】ACD
【详解】解：依题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B不正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD
10.（2022·广东·二模）若直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 将圆 SKIPIF 1 < 0 的周长四等分，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】2
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 相交与点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 将圆 SKIPIF 1 < 0 的周长四等分，
所以圆心位于两直线之间，且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得圆心为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知P是半圆C： SKIPIF 1 < 0 上的点，Q是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
最小值为原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
2．已知圆O： SKIPIF 1 < 0 ，已知直线l： SKIPIF 1 < 0 与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】直线l： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 半径 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，所以当直线与 SKIPIF 1 < 0 垂直的时候， SKIPIF 1 < 0 最短，
此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3．已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【解析】圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为a，其圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2；
又 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，则两圆的位置关系是相交．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．设 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点Q使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点Q使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则PQ为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线时 SKIPIF 1 < 0 最大，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
5．点M为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点M作圆O： SKIPIF 1 < 0 的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B． SKIPIF 1 < 0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
【答案】A
【解析】因为直线MP，MQ与圆O： SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形MPOQ的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，
又当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，
所以当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，四边形MPOQ的面积最小，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ,
该圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 为两圆的公共弦，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
故选：A.
二、多选题
6．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 B．圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为5
C．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6D．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6
【答案】BD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确．
对选项C，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对选项D，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：BD
7.已知圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴分成两部分的弧长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，且被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为4，当圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最小时，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴分成两部分的弧长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则其中劣弧所对圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
易知双曲线 SKIPIF 1 < 0 上与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的切线的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，此点到直线 SKIPIF 1 < 0 有距离最小．
设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消法 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即切点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：AB
8．已知点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 可能在圆 SKIPIF 1 < 0 上
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 是过点 SKIPIF 1 < 0 的所有直线中除去直线 SKIPIF 1 < 0 外的所有直线，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
又点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 至少有一个公共点，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C选项，因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D选项，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为原点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，故点 SKIPIF 1 < 0 可能在圆 SKIPIF 1 < 0 上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆O： SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点（O为坐标原点），且 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图：
因为 SKIPIF 1 < 0 是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
应用点到直线的距离公式得： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两式相减：
得过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程： SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离可以是___________.（写出一个符合题意的整数值）
【答案】1(答案不唯一)
【解析】由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，且圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线与圆相离，
所以M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离范围 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故1满足.
故答案为：1(答案不唯一)
11．已知 SKIPIF 1 < 0 点为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 公共点，圆 SKIPIF 1 < 0 +1，圆 SKIPIF 1 < 0 +1 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离的最小值为_________．
【答案】2．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为方程
两根，由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，从而点 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0