初中数学21.1 一元二次方程导学案

这是一份初中数学21.1 一元二次方程导学案，共54页。学案主要包含了新课导入，分层学习，评价，强化等内容，欢迎下载使用。

第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
——一元二次方程的相关概念
一、新课导入
1.导入课题：
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）
问题4：设雕像下部高BC=xm,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？
这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会设未知数，列一元二次方程.
(2)了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
3.学习重、难点：
重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.
难点：寻找等量关系.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.
（4）自学参考提纲：
①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.
先去括号5000-100x-200x+4x2=3600
移项合并同类项4x2-300x+1400=0
系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0
②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.
设邀请x支队参赛，则每支队与其余 (x-1) 支队都要赛一场.
整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？
本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.
你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.
去括号x2-12x=28
系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.
②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：
（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.
（2）练习：根据下列问题列方程
①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π
② 一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.
x(x-3)=9
③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25
④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100
⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
x=(1-x)2

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第3页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.
（4）自学参考提纲：
①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
②一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.
方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2
常数项：-4
方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350
方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1
常数项：-56
④举例说明什么是一元二次方程的根.
⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？
去括号，移项，合并同类项.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.
②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.
（2）生助生：生生互动交流、订正错误.
4.强化:
(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.
(2)练习：
①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系 数及常数项：
5x2-1=4x；4x2=81；
解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0
二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81
4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.
解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0
二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1
②若方程（m-1）x2+x=1是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.


（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
2.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
解：－4，3
3.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2+1=6x； （2）4x2=81－5x；
解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0
二次项系数：3 二次项系数：4
一次项系数：-6 一次项系数：5
常数项：1 常数项：-81
（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).
解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0
二次项系数：1 二次项系数：1
一次项系数：0 一次项系数：2
常数项：10 常数项：-2
4.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？
解：设长方形的长为xcm，则宽为(x-1)cm，
根据题意，得x(x-1)=132，
整理，得x2-x-132=0.
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
整理，得50x2-25x+3=0.
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得x(x-1)=10
整理，得x2-x-20=0
二、综合应用（20分）
5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（B）
A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0
C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.
解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.
将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.
即方程的另一个根为-2.
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
第1课时 直接开平方法
一、导学
1.导入课题：
情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.
问题1：本题的等量关系是什么？
问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简.
问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.
由此导入并板书课题直接开平方法.
2.学习目标：
(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
(2)能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
(3)体会“降次”的数学思想.
3.学习重、难点：
重点：运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
难点：降次的数学思想.
4.自学指导：
(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①根据平方根的意义，解方程：
x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8.
x=±6， x2=2， x2=4，
x1=6，x2= -6. x=±2， x2=±2，
x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.

②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= - x2=.
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.
当p<0时，方程x2=p无实数根.
③探究方程(x+3)2=5的根：
因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.
即x+3=,或x+3= -.
解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.
于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.
解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程 降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.


二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.
(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.
2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.
四、强化
1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解：由已知，得：(x+2)2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1或x+2=-1
所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.
2.练习：解下列方程：



3.上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或mx+n=±p≥0)求解.
4.以师生对话的形式讨论(mx+n)2=p的解的个数问题.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.
(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.
(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)
A. x-6= -4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6= -4
2.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.
4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2 = -3.
5.(40分)解下列方程:
(1) 4x2=81； (2) (x＋6)2－9=0；
解：由已知，得：x2=， 解：由已知，得：(x+6)2=9，
直接开平方，得x=±， 直接开平方，得x+6=±3，
所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.
(3) x2+2x+1=4； (4) 9x2+6x+1=4.
解：由已知，得：(x+1)2=4， 解：由已知，得：(3x+1)2=4，
直接开平方，得x+1=±2， 直接开平方，得3x+1=±2，
所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.
二、综合应用(10分)
6.(10分)如果x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，则方程的另一根是(B)
A. 3 B. -3 C. 0 D. 1
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.
解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,
x2= --m.
②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.
③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.

21.2.1配方法
第2课时 配方法
一、新课导入
1.导入课题：
情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.
问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)
2.学习目标：
(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
3.学习重、难点：
重点：用配方法解一元二次方程.
难点：配方的方法.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.
(4)探究提纲：
①解方程x2+6x+4=0.
移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；
配方：两边都加9，使得左边配成x2+2bx+b2的形式，得x2+6x+9=；
变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；
降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；
求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.
②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.
③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？
因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.
②差异指导：根据具体情况指导学生配方.
(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.
4.强化：
(1)配方的依据和步骤.
(2)试一试：对下列各式进行配方：



1.自学指导：
(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.
(4)自学参考提纲：
①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.
②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数
③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.
④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.
⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
⑥解方程(x+n)2=p.
①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.
②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.
③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.
②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.
(2)生助生：生生互动，交流研讨.
4.强化：
(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.
(2)用配方法解方程：
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？
2教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):
(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.
(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.
(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)
A. (x+3)2=16 B. (x-3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x-3)2=2
2.(20分)填空.
(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2 (2) x2－x+=(x-)2
3.(40分)用配方法解下列方程.
(1)x2+10x+9=0； (2)4x2-12x－7=0;
解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,
配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,
(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,
x+5=±4, ( x-2=4,
方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,
方程的两个根为x1=72，x2= -12.
(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12
解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,
配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,
(x+1)2= -1, (x-2)2=16,
方程没有实数根. x-2=±4,
方程的两个根为x1=6,x2= -2.
二、综合应用(10分)
4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.

三、拓展延伸(20分)
5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a= -1时，原式有最小值为17.
21.2.2公式法
——根的判别式及求根公式
一、新课导入
1.导入课题：
(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.
2.学习目标：
(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.
(2)会用公式法解一元二次方程.
3.学习重、难点：
重点：用求根公式解一元二次方程.
难点：计算时的符号处理.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.
(2)自学时间：15分钟.
(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.
(4)自学参考提纲：
②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
注意：上述的叙述，反过来也成立.
③当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
x2+5x+6=0； 9x2+12x+4=0；
Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0
方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.
2x2+4x－3=2x－4； x(x+4)=8x+12.
方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0
方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.
②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)公式的推导，判别式定义解读；
(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.


1.自学指导：
(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.
(4)自学参考提纲：
①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.
x2-4x-7=0； 2x2-22x+1=0； 5x2-3x=x+1； x2+17=8x.
x1=2+ x1=x2= x1=1 无实数根 x2=2- x2= -
②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？
先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.
计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
③解答本章引言中的问题.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.
②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.
(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.
4.强化：
(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.
(2)解下列方程：

三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):
(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.
(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.
(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)
A. b2-4ac=0 B. b2-4ac＞0 C. b2-4ac＜0 D. b2-4ac≥0
2.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)
A. ①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解
C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解
3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)
A. 5，，6 B. 5，6， C. 5，-6， D. 5，-6，-
4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2－3x－32=0； (2) 16x2－24x+9=0；
方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.
(3)x2－42x+9=0； (4)3x2+10=2x2+8x.
解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0
方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0
方程有两个不等的实数根.
5.(30分)用公式法解下列方程：

二、综合应用(10分)
6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：

请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.
解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.

三、拓展延伸(10分)
7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
21.2.3 因式分解法
一、新课导入
1.导入课题：
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.
问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.
问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)
2.学习目标：
(1)会用因式分解法解一元二次方程.
(2)能选用合适的方法解一元二次方程.
3.学习重、难点：
重点：用因式分解法解一元二次方程.
难点：选择合适的方法解一元二次方程.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：可先解答②，再解答①.
(4)自学参考提纲：
①解方程10x-4.9x2=0.
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，
降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，
求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.
②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法
用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.
③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：
移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.
④解下列方程：
(x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0.
x1=2, x2=3 x1=0, x2=
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
(2)生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化：
(1)用因式分解法解方程的一般步骤：
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
(2)点两名学生板演第④题，并点评.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.
(4)自学参考提纲：
①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).
②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.
③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.
④解下列方程:

2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.
②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.
(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.
4.强化：
(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.
(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.

1.自学指导：
(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.
(2)自学时间：15分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；
配方法适用于哪种形式的方程？(mx+n)2=p；
公式法适用于哪种形式的方程？ax2+bx+c=0(a≠0)；
因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.
②前面这些解法各有什么优缺点？
③解一元二次方程的基本思想是什么？
④选择适当的方法解下列方程：


2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：观察学生是否会选择适当的方法，计算是否正确，解答是否有困难.
②差异指导：解方程前要先观察题目特点，合理选用适当的方法解题.
(2)生助生：先独立完成探究提纲上的习题，然后互相交流答案和想法.
4.强化：
(1)总结解一元二次方程的思想与方法，交流一元二次方程解法的选择规律.
(2)点6名学生板演探究提纲第④题，并点评.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你知道哪些因式分解的方法？说说运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.举例说明你对 “选择适当的方法”是怎样理解的？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果和存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，通过问题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，提高解题速度.
(2)学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.
(3)本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让所有学生学有所得，提高课堂效率.
(4)解一元二次方程是本章教学的重中之重，如何正确选用不同方法解一元二次方程是关键.本节课中的计算题有一题多解问题，体现了选择“最优化”解方程方法的问题.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分) 一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为(D)
A. 3，-5 B. -3，-5 C. -3，5 D. 3，5
2.(10分)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)
A. -1 B. 2 C. 1和2 D. -1和2
3.(10分) 方程x2-3x+2=0的根是x1=1, x2=2.
4. (10分) 方程x2+43x+12＝0的根是x1=x2= -2.
5.(40分)用适当方法解下列方程：
(1)(2x+3)2-25=0; (2)x2+5x+7=3x+11；
x1=1,x2=-4 x1=-1+, x2= -1-
(3)(3x-2)(2x+1)= (3x-2)2; (4)3x2+8x-3=0.
x1=3, x2= x1= -3,x2=
二、综合应用(10分)
6.(10分) 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，求此三角形的周长.
解：x2-7x+12=0. 则(x-3)(x-4)=0. x1=3,x2=4.
∵三角形三边长均为方程的根.
①三角形三边长为4、3、3，周长为10；
②三角形三边长为4、4、3，周长为11；
③三角形三边长为4、4、4.周长为12；
④三角形三边长为3、3、3.周长为9.
三、拓展延伸(10分)
7. (10分)用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.
解：公式法：原方程化为一般形式，得：5x2-x-4=0.
∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0,∴方程有两个不相等的实数根.

因式分解法：方程左边提公因式，得：(5x+4)(x-1)=0.
则x1= -，x2=1.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、导学
1.导入课题:
如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？
今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系.
2.学习目标:
知道一元二次方程的根与系数的关系.
3.学习重、难点:
重点：一元二次方程根与系数的关系.
难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题.
4.自学指导：
(1)自学内容：教材第15页到第16页的内容.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系.
(4)探究提纲：
①已知方程x2+px+q=0的两根分别是x1，x2，则x1+ x2= -p，x1 x2=q .你是怎么得到的？
若方程两根分别为x1，x2.则方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0.
化简,得x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
∴x1+x2=-p, x1x2=q.
③独立完成例4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？
①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；
②方程必须有实数根.
④不解方程，求下列方程两根的和与积.

x2-3x=15； 3x2+2=1-4x；
x1+x2=3， x1+x2= -，
x1x2= -15 x1x2=
5x2-1=4x2+x； 2x2-x+2=3x+1.
x1+x2=1， x1+x2=2，
x1x2= -1 x1x2=
二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.
(2)差异指导：指导学生通过比较的方式探究方程x2+px+q=0根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.
2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.
四、强化
1.若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p,x1x2=q.
2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，x1+x2=－, x1x2=.
3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：
(1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式.
(2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号.
(3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？说说运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程以及知识的应用.
(2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.
(3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(10分)关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p= -2，q= -1.
2.(10分)已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 -，k＝-7.
3.(40分)求下列方程的两根x1，x2的和与积：
(1)x2－3x+2=0； (2)5x2+x－5=0；
解：x1+x2=3 解：x1+x2= -
x1x2=2 x1x2= -1
(3)x2+x=5x+6； (4)7x2－5=x+8.
解：方程化为x2-4x-6=0 解：方程化为7x2-x-13=0
x1+x2=4 x1+x2=
x1x2= -6 x1x2= -
4.(10分)已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为x,则另一个数为(8-x).
根据题意，得x(8-x)=9.75,整理，得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5;当x=1.5时，8-x=6.5,
∴这两个数是6.5和1.5.
二、综合应用(20分)
5.(20分)x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：

三、拓展延伸(10分)
6.(10分)已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.
解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.
∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.
根据题意得m2=2m+3，解得m1=3,m2= -1.
当m=3时，原方程为x2-9x+9=0, b2-4ac=45>0.方程有实数根.
当m= -1时，原方程为x2-x+1=0, b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.
∴m的值为3.
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程(1)
一、导学
1.导入课题：
问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？
问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
本节课我们学习一元二次方程的应用.(板书课题)
2.学习目标：
列一元二次方程解有关传播问题的应用题.
3.学习重、难点：
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.
难点：探究传播问题中的等量关系.
4.自学指导:
(1)自学内容：教材第19页“探究1”.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①设每轮传染中平均每人传染了x人.
第一轮传染后共有x+1人患了流感；
第二轮传染中的传染源为x+1人，第二轮后共有x+1+x(x+1)人患了流感.
根据等量关系“经过两轮传染后，有121人患了流感”列出方程x+1+x(x+1)=121.
本题的解答过程：
设每轮传染中平均每人传染了x人.
由题意列式可得x+1+x(x+1)=121,
解方程.得x1=10,x2=-12(不符合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人.
②能有更简单的解方程的方法吗？怎样求解？
对方程左边提取公因式.(x+1)(x+1)=121
③如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？
经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感
n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n.
④某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
依题意1+x+(1+x)x=81,(1+x)2=81,x+1=9或x+1=-9.
解得x=8或x=-10(舍去).
三轮感染后被感染的电脑台数为(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台.
⑤某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少个小分支?
设每个支干长出x个小分支.根据题意，得1+x+x2=91，即(x-9)(x+10)=0.
解得x1=9,x2=-10(舍去).
∴每个支干长出9个小分支.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：了解学生是否会寻找等量关系、列方程，对“两轮传染”是否真正理解.
(2)差异指导：指导学生寻找等量关系、列方程的过程.
2.生助生：小组内互相交流、研讨.
四、强化
1.点一名学生口答探究提纲第③题，点两名学生板演第④、⑤题，并点评.
2.“传播问题”的两种模型：
问题④：传染源参与两轮传染；
问题⑤：传染源只参与第一轮传染.
3.总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后要检验根是否符合实际意义.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、小组相互交流情况以及不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)教师引导熟悉列一元二次方程解决实际问题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解决实际问题的一般思路，有利于学生掌握列一元二次方程解决实际问题的方法.
(2)传播类问题是一元二次方程中的重点问题，经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，进一步锻炼学生分析问题、解决问题的能力.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(10分)生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(B)
A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=182×2
2.(30分)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,解得x1=7，x2= -9(舍去).
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)第三轮被传染的人数为(1+x)2·x=(1+7)2×7=448.
答：第三轮将有448人被传染.
3.(30分)参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛.
依题意x(x-1)=90.
解得x1=10, x2=-9(舍去).
答：共有10个队参加了比赛.
二、综合应用(20分)
4.(20分)有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？
解：设每轮平均一个人向x人发送短信.
由题意，得x+x2=90.
解得：x1=9, x2= -10(舍去).
答：每轮平均一个人向9个人发送短信.
三、拓展延伸(10分)
5.(10分)一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x),原数为10x+(10-x)=9x+10.
对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x.
依题意(9x+10)(100-9x)=2296.
解得.x1=8,x2=2.
当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
答：这个两位数是82或28.
21.3实际问题与一元二次方程
第2课时 实际问题与一元二次方程(2)
一、导学
1.导入课题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?本节课我们学习增长率问题.(板书课题)
2.学习目标：列一元二次方程解有关增长率的问题.
3.学习重、难点：
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.
难点：探究增长率问题中的等量关系.
4.自学指导：
(1)自学内容：探究问题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?教材第19页到第20页“探究2”.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？

②如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为5000(1-x)，再次下降后的成本变为5000(1-x)2.(用代数式表示)
③设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2可得方程5000(1-x)2=3000，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.
④设乙种药品成本平均每年的下降率为y，则由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2可得方程6000(1-y)2=3600.
⑤成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.
⑥解决下面的问题，它与探究2有什么不同？
某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
解：设总产值的年平均增长率为x.
依题意100(1+x)2=121，
解得:x1=0.1, x2=-2.1(舍去)，
∴年平均增长率为10%.
与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：观察学生能否顺利地把这个问题转化为数学问题，并建立增长率模型列方程求解.
(2)差异指导：从寻找等量关系、列方程到解方程并解答等方面对学困生进行指导.
2.生助生：小组内互相交流、研讨，并相互改正.
四、强化
1.点一名学生板演探究提纲提第⑥题并点评.
2.连续两次下降，求下降率的数学模型，以及连续两次增长，求增长率的数学模型.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、小组相互交流情况以及不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
增长率问题是现实生活中常见的一类应用题，在教学过程中先让学生独立思考，自主探究，找出题目中的数量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决，加深对知识的领悟.由于增长率问题具有一定的抽象性，在学生学习过程中，给予学生充分的帮助，让学生真正理解这类问题.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(20分)某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程为(B )
A. 500(1+2x)=720 B. 500(1+x)2=720 C. 500(1+x2)=720 D. 720(1+x)2=500
2.(20分)受全球金融危机的影响，2022年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为(A)
A. 10% B. 20% C. 19% D. 25%
3.(30分)某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.
解：设这种药品每次降价的百分率为x.
由题意125(1-x)2=80.
解得：x1=0.2,x2=1.8(舍去).
答：这种药品每次降价的百分率为20%.
二、综合应用(20分)
4.(20分)商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
解：设平均每月降价的百分率为x.
依题意，(1-x)2=1-36%.
解得x1=0.2,x2=1.8(舍去).
答：平均每月降价20%.
三、拓展延伸(10分)
5.(10分)某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？
解：设平均每月的增长率为x.
依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122.
解得x1=0.25,x2=-3.25(舍去).
二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册)
三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册)
答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
21.3实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程(3)
一、导学
1.导入课题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
2.学习目标：列一元二次方程解决图形的面积问题.
3.学习重、难点：
重点：会列一元二次方程解决图形的面积问题.
难点：会恰当设未知数列出方程.
4.自学指导：
(1)自学内容：教材第20页到第21页“探究3”.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：充分利用图形寻找等量关系，再根据等量关系列出方程.
(4)探究提纲：
①根据题目的已知条件，得出上下边衬与左右边衬的宽度之比是27∶21=9∶7，你知道是怎样得出来的吗？请你推一推.
设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.
由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27-9a)∶ (21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=
9∶7
②书上设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为xcm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为9(3-2x)·7(3-2x)= ×27×21，
∴(3-2x)2= ，∴x=.
④方程的哪个根符合实际意义？为什么？
x= x=符合实际意义，因为取x=，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际.
⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解.
设中央矩形的长为9xcm,则宽为7xcm.

⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)？
设镜框的宽度为xcm.

二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：教师深入课堂了解学生的自学进度，观察学生是否能独立推出上下边衬与左右边衬的宽度比为9∶7.
(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
2.生助生：生生互动，交流研讨.
四、强化
1.点学生板演探究提纲第⑤、⑥题，并点评.
2.几何问题中设未知数的方法及等量关系.
3.“面积、体积问题”常用公式：
(1)直角三角形的面积公式，一般三角形的面积公式；
(2)正方形的面积公式，长方形的面积公式；
(3)梯形的面积公式；
(4)菱形的面积公式；
(5)平行四边形的面积公式；
(6)圆的面积公式.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有什么收获？还有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习主动参与性、小组交流合作情况、学习方法和效果等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的实际问题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
(2)列一元二次方程解决实际问题是让数学回归生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解决实际问题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解决实际问题是下章中学习用二次函数解决问题的基础.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(60分)
1.(20分)从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是(D)
A. 8cm B. 64cm C. 8cm2 D. 64cm2
2. (20分)直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是6cm、8cm.
3.(20分) 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边框宽.
解：设长方形框的边框宽为xcm.
依题意，得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理，得x2-25x+100=0,解得x1=5, x2=20(舍去).
∴x=5.
答：这个长方形框的边框宽为5cm.
二、综合应用(20分)
4.(20分)小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.
解：(1)设其中一个小正方形的边长为xcm,则另一个小正方形的边长为=(10-x)cm.
依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3, x2=7.
当x=3时，小正方形周长为12cm；当x=7时，小正方形周长为28cm.
∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.
(2)对.两个正方形的面积之和为：
x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50
∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的.
∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2.
小峰的说法是对的.
三、拓展延伸(20分)
5.(20分)如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)？

解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.

答：横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条的宽度约为1.2cm.

数学活动
一、活动导入
1.导入课题：老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”.(板书课题)
2.活动目标：
(1)通过观察点阵(数学模型)，了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.
(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
3.活动重、难点：
重点：探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
二、活动过程
活动1三角形点阵
1.活动指导
(1)活动内容：三角形点阵.
(2)活动时间：10分钟.
(3)活动方法：完成活动参考提纲.
(4)活动参考提纲：
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有
2个点……第n行有n个……观察图形，完成下面各题.
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整.

②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.
由①知前n行的点数和为=300，解得n1=24，n2= -25(舍去)，即行数n为24.
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.
前n行的点数和=600,解得n1=, n2=,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？
前n行的点数和为=n(n+1)
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.
依题意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2= -25(舍去).
即n的值为24.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.
②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.
(2)生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
(1)三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
(2)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.
活动2正六边形点阵
1.活动指导
(1)活动内容：正六边形点阵.
(2)活动时间：8分钟.
(3)活动方法：完成活动参考提纲.
(4)活动参考提纲：
如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推.
①填写下表：

②写出第n层所对应的点数(n≥2)；6(n-1)
③写出n层正六边形点阵的总点数(n≥2)；
1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6··(n-1)=1+3n(n-1)
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
1+3n(n-1)=331
解得：n1=11，n2=-10(舍去)，它共有11层.
⑤点阵设计大赛：
设计时间：5分钟.
设计要求：
A. 每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.

B. 每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
C. 优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情：明了学生是否会归纳n层正六边形点阵的总点数.
②差异指导：对困难学生在归纳n层正六边形点阵的总点数方面进行指导.
(2)生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
(1)n层正六边形点阵总点数的计算公式.
(2)运用一元二次方程的知识和n层正六边形点阵总点数的计算公式解决问题的一般过程.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：从学生回答问题、课堂的注意力等方面进行评价.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：本课时是规律探究类问题的学习，解决问题的方法是列一元二次方程，也体现了一元二次方程用途的广泛性.教学思路是以学生自主探究为主，教师引导为辅，让学生成为获取知识的主动者，从而达到让学生在掌握知识技能的同时并会运用的目的.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(50分)
1.(30分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.

(1)下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

①1=1；
②1+2=3；
③1+2+3=6；
④1+2+3+4=10.
(2)通过猜想，写出(1)中与第九个点阵相对应的等式：1+2+3+…+9=45.
(3)2015是“三角形数”吗？为什么？
解：不是.“三角形数”都可以写成的形式，令2015=，

因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形数”.
(4)从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.

①1=12；
②1+3=22；
③3+6=32；
④6+10=42；
⑤10+15=52.
(5)通过猜想，写出(4)中与第n个点阵相对应的等式：+=n2.
(6)判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
解：是.∵152=225.∴225是“正方形数”.
由(5)，+=152，
∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.

2.(20分)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？

解：第n个图形由1+3n(n-1)个圆组成.
令1+3n(n-1)=217,解得 n1=9,n2=-8(舍去).
∴第9个图形由217个圆组成.
二、综合应用(20分)
3.(20分)如图是一个正五边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.
解：前n层共有1+个点.
由1+=331,解得n1=12，n2= -11(舍去).
令1+=1261,解得n1=n2=.
∵n为正整数，∴方程的两根均不合题意.
即这个五边形点阵不会存在前n层共有1261个点的情形.
三、拓展延伸(30分)
4.(30分)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：

(1)在第n个图中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?
解：(2)第n个图共有(n++5n+6)块瓷砖.
由n2+5n+6=506.
解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20.
(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.
86×4+420×3=1604(元).
共需1604元钱购买瓷砖.
(4)不存在.理由如下.
在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).
则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)
化简得n2-3n-6=0.
解得n1=, n2=.
∵n为正整数，方程的两根均不合题意.
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
章末复习
一、复习导入
1.导入课题：通过对一元二次方程这章的学习，你记得学习了哪些知识吗？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)
2.复习目标：
(1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
(2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
(3)列一元二次方程解决实际问题.
(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.
3.复习重、难点：
重点：(1)一元二次方程的解法；
(2)列一元二次方程解决实际问题.
难点：列一元二次方程解决实际问题.
二、分层复习

1.复习指导：
(1)复习内容：教材第1页到第26页(第二十一章一元二次方程).
(2)复习时间：10分钟.
(3)复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识结构网络.
(4)复习参考提纲：
①知识点搜集：
A. 一元二次方程的概念，一般形式分别是什么？如何验根？
B. 一元二次方程有哪几种解法？一般情况下如何选择最优解法？
C. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，则其求根公式是
根与系数的关系是：x1+x2＝-，x1x2＝
D. 判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定b2-4ac的符号:
当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根;
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
e.列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答.
②根据上述知识点，试画出本章知识结构框图：

2.自主复习：学生可结合复习指导来复习.
3.互助复习：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生对本章知识结构框图的构建情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
(2)生助生：同桌交流，小组合作，组组研讨.
4.强化：本章的知识结构框图.

1.复习指导：
(1)复习内容：典例剖析.
(2)复习时间：10分钟.
(3)复习方法：观察、思考、归纳.
(4)复习参考提纲：
①用适当的方法解下列方程.

④某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg.
由题意，得(x-40)［500-10(x-50)］=8000，解得x1=60,x2=80，
又40［500-10(x-50)］≤10000.
解得x≥75,∴x=80.
答：销售单价应为80元.
2.自主复习：学生可结合复习提纲进行复习.
3.互助复习：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生对复习提纲中四道题的答题情况.
②差异指导：根据学情，个别或分类指导，解决易错点.
(2)生助生：同桌交流，小组讨论.
4.强化：
(1)一元二次方程的解法，选用合适的方法解一元二次方程.
(2)点评易混点、易错点.
(3)运用一元二次方程知识解决实际问题的一般思路.
(4)本章所涉及的主要数学思想：方程思想、分类思想、转化思想(即降次).
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：通过复习你弥补了以前学习中的哪些不足？有哪些新的收获和新问题？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习参与性、小组协作情况及学习效果和不足之处等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.
(2)本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(10分)用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是(C)
A. x2－2x=5 B. 2x2－4x=5 C. x2+4x=5 D. x2+2x=5
2.(10分) 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有(C )
A. 12人 B. 18人 C. 9人 D. 10人
3.(10分) 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为(D)
A. 200+200×2x=1000 B. 200(1+x)2=1000
C. 200+200×3x=1000 D. 200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000
4.(10分)方程(2x＋1)(x－3)＝x2+1化成一般形式为x2-5x-4=0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-5，-4.
5.(10分)若x1，x2是方程x2-5x+3＝0的两根，则.
6.(20分)解下列方程：
(1)x2-4x-3＝0; (2)(x-3)2+2x(x-3)＝0.
解：x2-4x+4=7， 解：(x-3)(x-3+2x)=0，
(x-2)2=7， 3(x-3)(x-1)=0,
x-2=±， x1=3，
x1=2+, x2=1.
x2=2-.

二、综合应用(20分)
7.(10分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.
解：设十位数字是x,则个位数字是x+3,根据题意，得(x+3)2=10x+x+3.
整理，得x2-5x+6=0.解得x1=2，x2=3.
当x=2时，x+3=5；当x=3时，x+3=6.
∴这个两位数是25或36.
8.(10分)用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(20-x)cm.
令x(20-x)=75，解得x1=5,x2=15.
∴围成的面积为75cm2的矩形的长为15cm,宽为5cm.
令x(20-x)=101.化简得(x-10)2+1=0.方程无实数根，
∴不能围成面积为101cm2的矩形.
三、拓展延伸(10分)
9.(10分)一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.
解：设各边垂下的长度为x米.
依题意(6+2x)(4+2x)=6×4×2，
解得x1=1，x2= -6(舍去)，
∴x=1，台布长为6+2×1=8(米)，宽为4+2×1=6(米).