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人教版九年级上册22.1.1 二次函数导学案
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这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数导学案，共65页。学案主要包含了新课导入，分层学习，评价，强化等内容，欢迎下载使用。
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
一、新课导入
1.导入课题：
问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？今天我们就来学习“二次函数”.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
3.学习重、难点：
重点：二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系.
难点：列二次函数表示实际问题中的数量关系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第28页到第29页“思考”上面部分的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式.
（4）自学参考提纲：
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为y=6x2，y是x的函数吗？是
②问题1中，有 n个球队参加比赛，每个队要与其他n-1个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为.这样比赛的场次数m与参加比赛的球队数n的关系式为，m是n的函数吗？是
③问题2中,产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的（1+x）倍；再经过一年后的产量是一年后的产量的（1+x）倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为，y是x的函数吗？是
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会找等量关系列函数关系式.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组相互研讨.
4.强化：
（1）利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数的理由.
（2）总结：列实际问题中两个变量的函数关系式，关键是寻找问题中的等量关系.
（3）练习：
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
解：y=πx2
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
解：
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解：S=4πr2
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第29页“思考”以后到“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察上面各函数的右边的代数式的特点，用一般形式表示出来.
（4）探究提纲：
①请写出二次函数的一般形式.
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
②请写出上面“练习”中的3个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.
a.y=πx2二次项系数：π一次项系数：0常数项：0
b. 二次项系数：2一次项系数：4常数项：2
c.S=4πr2二次项系数：4π一次项系数：0常数项：0
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的解答情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：生生互动，交流研讨、改正.
4.强化:
（1）交流及总结：
①二次函数的定义，重点强化自变量，各项及各项系数.
②强调a≠0.
（2）练习：是二次函数，求常数a的值.
解：依题意，得 解得a=-1
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性，回答问题与小组合作情况，存在问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的经历过程和探究体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）下列函数是二次函数的是（C）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-2
2.（10分）二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（B）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.（10分）已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数，则a的取值范围是a≠1.
4.（10分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是.
5.（15分）正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为0＜x＜10.
6.（15分）一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数关系式为，则经过12s汽车行驶了180m，行驶380m 需20s.
二、综合应用（20分）
7.(20分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围
解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.
∵AB=12,∴PB=12-2t,
∴.
t的取值范围为0≤t≤6.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)m为何值时，函数是关于x的二次函数.
解：由题意可得
解得m=1.
∴当m=1时，函数是关于x的二次函数.
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=ax2的图象.板书课题：二次函数y=ax2（a≠0）的图象.
2.学习目标：
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象,知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
3.学习重、难点：
重点：画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的相关概念.
难点：画二次函数y=ax2的图象.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：数形结合.
（4）自学参考提纲：
①画出函数y=x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
②二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.
④在①中的坐标系中画出函数y=x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.
⑤由④，说明二次函数y=ax2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.
二次函数y=ax2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.
（2）生助生：生生互动交流、研讨.
4.强化：
(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=ax2的图象的相关性质.
(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象就叫做抛物线y=ax2+bx+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
②抛物线y=ax2关于y轴对称，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).
③a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
1.自学指导：
（1）自学内容：探究y=ax2(a<0)的图象特点.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.
（4）探究提纲：
①完成探究，回答这些抛物线异同点：
共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.
不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
②总结a<0时，抛物线y=ax2的性质.
当a＜0时，抛物线ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=ax2与y=-ax2有何关系吗？
抛物线y=ax2与y=-ax2关于x轴对称.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生画图和识图的情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化:
（1）交流：a<0时二次函数y=ax2的图象的性质.
（2）强调a的符号对二次函数y=ax2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=ax2的图象的开口大小的影响.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.
2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=x2；③y=x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.
(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；
(3)有最高点的是①④(填序号).
3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.
4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
y=x2；y=x2.
解：列表：
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
3
0
3
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
-3
0
-3
…
作图如图所示.
二、综合应用（20分）
5.（20分）已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C）
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）m为何值时，函数的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
解得m=-1
∴当m=-1时，函数的图象是开口向下的抛物线.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
一、导学
1.导入课题：
问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征.
这节课我们继续探究二次函数y=ax2+k的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象.
（2）能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.
3.学习重、难点：
重点：画y=ax2+k的图象，探究抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.
难点：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第32页例2到第33页的“练习”上面的部分.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先完成例2的画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1,y=2x2－1的图象：
②由例2填表：
③观察图象可发现：把y=2x2的图象向 上 平移 1个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向 下 平移 1 个单位就得到抛物线y=2x2-1.
④讨论抛物线y=ax2+k与y=ax2的相互关系.
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：观察学生图象的画法和获取图象信息的能力.
（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组内相互交流研讨、修正结论.
四、强化
1.交流学习成果：展示画图效果，总结图象的上下平移与解析式的变化规律.
2.抛物线y=ax2+k与y=ax2的相同点与不同点.
相同点：开口方向相同，形状相同，对称轴都是y轴.
不同点：顶点坐标发生了改变.
抛物线抛物线y=ax2+k
3.练习：在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+2，y=x2－2.观察三条抛物线的相互关系，分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点.由此，请说出y=12x2+k的开口方向、对称轴、顶点以及它与抛物线y=x2之间的关系.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性，小组交流协作情况，学习方法及效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 上 平移 3 个单位得到．
2.（10分）抛物线y＝x2+1向 下 平移 1 个单位后，会得到抛物线y=x2．
3.（10分）抛物线y＝-2x2-5的开口方向 向下 ，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-5）.
4.（10分）下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是(D)
A．y＝2x2与y＝3x2 B．y=x2+2与y=2x2+
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
5.（10分）对于二次函数y＝x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是(B)
A.y1>y2 B.y1
（1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）.
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
二、综合应用（20分）
7.（20分）在同一坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2-2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.y=x2-2的图象由y=x2的图象向下平移2个单位得到.
三、拓展延伸（10分）
8.（10分）求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式.
解：抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2x2+1.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
一、导学
1.导入课题：
问题: 说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
这节课我们继续探究二次函数y=a(x-h)2的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.
（2）能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
3.学习重、难点：
重点：画y=a(x-h)2的图象，探究抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
难点：总结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第33页“探究”到第35页“思考”的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先完成探究部分的画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①画出二次函数的图象；在列表时，你会发现在0的两边等距离选取x值时，对应的y值不等，这样描出的点不对称，因此，需要修正x的取值.请填写下表，然后对称性描点.
②观察图象，说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标（提示：把过（-1，0）且与x轴垂直的直线记作直线x=-1）.
的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，0）；的开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1,0）.
③观察抛物线与，可以发现：这三者形状相同，位置不同.把抛物线向 左 平移 1 个单位就得到；向 右 平移 1 单位就得到.
④讨论抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的相互关系.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：观察学生的图象的画法和阅读图象的能力.
（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组内相互交流研讨、修正结论.
四、强化
1.交流：各小组学习成果展示.
2.总结：
（1）抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）图象的平移：
抛物线抛物线
3.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y= (x+2)2,y= (x－2)2，观察三条抛物线的相互关系，分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性，小组交流协作情况，学习方法及效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 右 平移 2 个单位得到．
2.（10分）二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向 向下 ，顶点坐标是（1，0），对称轴是 直线x=1 .
3.（10分）要得到抛物线，可将抛物线 (C )
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位
4.（10分）对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2(A)
A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最高点
5.（10分）抛物线向左平移3个单位所得抛物线是(A)
A. B.
C. D.
6.（20分）写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）； （2）.
解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，0）.
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）.
二、综合应用（20分）
7.（20分）在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
三、拓展延伸（10分）
8.（10分）在直角坐标系中画出函数的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，0）.
（2）该函数图象由二次函数的图象向右平移3个单位得到.
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题:举例说明函数图象的平移规律.
这节课我们继续探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.
（2）能说出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标.
3.学习重、难点：
重点：画y=a(x-h)2+k的图象，探究抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律，总结抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
难点：y=a(x-h)2+k的图象，图象间的平移规律.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第35页例3.
（2）自学时间：8分钟.
遍地（3）自学要求：先完成画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①画函数的图象:
②填表：
③抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点；
（1）a>0,开口向上，对称轴为x=h，顶点为（h,k）；
（2）a<0,开口向下，对称轴为x=h,顶点为（h,k）.
④抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移规律.
y=a(x-h)2+k的图象由y=ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生画图象的过程和规律的总结.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化：
（1）抛物线y=a(x-h)2+k的特点.
(2)交流与总结：总结y=a(x-h)2+k的图象和y=ax2图象的关系.
（3）说出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标.
①y=2(x+3)2+5; ②y=-3(x-1)2-2;
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=-3 对称轴为直线x=1
顶点坐标为（-3,5） 顶点坐标为（1,-2）
③y=4(x-3)2+7 ④y=-5(x+2)2-6
开口向上 开口向下
对称轴为直线=3 对称轴为直线x=-2
顶点坐标为（3，7） 顶点坐标为（-2,-6）
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第36页例4.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：分析、思考问题并阅读解答过程，注意体会这种解决抛物线形问题的思路、步骤和方法.
（4）自学参考提纲：
①水流示意图的形状是 抛物线 ，所以可以把问题转化为 二次函数 的问题求解.
②为什么抛物线的顶点的坐标是（1,3）？
因为这是水流的最高点.
③为什么设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3？由哪一点的坐标可以求出水管的长度？
因为顶点坐标为（1,3）,由函数与y轴交点坐标可以得出水管长度.
④本例的直角坐标系还有别的建立方式吗？给出你的新解法：
以水流最高点为原点，建立直角坐标系，设这段抛物线对应的函数解析式为y=ax2（-1≤x≤2）.过点（2,-3）得，函数解析式为（-1≤x≤2）.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲第②题的解决情况.
②差异指导：注意从建立平面直角坐标系、确定函数自变量的取值范围以及画水流示意图等方面对学生进行分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）反思本例的解题过程，概括建模思想、转化思想和数形结合思想.
（2）自变量的取值范围的确定方法.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在学习中对哪些内容感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的积极性，小组交流协作情况，学习效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探究，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
2.(10分) 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ C ）
A.y=3(x-2)2-1 B．y=3(x-2)2+1
C．y=3(x+2)2-1 D．y=3(x+2)2+1
3.(10分)若抛物线的顶点为(3,5) ，则此抛物线的解析式可设为(B)
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5
C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
4.(20分) 指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=-2 对称轴为直线x=2
顶点坐标为（-2，1） 顶点坐标为（2，-1）
（3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3.
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=4 对称轴为直线x=-2
顶点坐标为（4，3） 顶点坐标为（-2，-3）
5.(20分) 在同一坐标系内，画出函数和的图象，并写出它的对称轴、顶点和最值.
解：图象如图.
，对称轴为直线x=-2、顶点坐标为（-2，-2）、最小值为-2；
，对称轴为直线x=1、顶点坐标为（1，2）、最小值为2.
二、综合应用（20分）
6.(20分)已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为.
∵图象过点（0，0），则，解得a=2.
∴这个二次函数的关系式为.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是(B)
A.3.5 m B.4 m
C.4.5 m D.4.6 m
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题: 举例说明画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
(追问)那么，怎样画二次函数y=ax2+bx+c的图象呢？
2.学习目标：
（1）会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式.
（2）会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴及最值.
（3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
3.学习重、难点：
重点：用配方法和公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
难点：用配方法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第37页到第38页的“探究”上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①通过配方把变形为y=a(x-h)2+k的形式：
②的图象开口 向上 ，对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
③利用图象的对称性，应该在x= 6 的左右对称取值，如下表：
④在所给坐标系中画出函数的图象.
观察图象，可以看出：当x= 6 时，y有最 小 值为 3 .
当x <6 时，y值随着x值的增大而减小，当x >6 时，y值随着x值的增大而增大，该函数图象是由的图象怎样平移得到的？
由的图象向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生探究提纲第①题的解题情况.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组相互交流、研讨.
4.强化：强调用配方法化定义式为顶点式的一般步骤.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第38页“探究”到第39页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：小组交流、研讨.
（4）自学参考提纲：
①用配方法把y=ax2+bx+c（a≠0）化成顶点式.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线，顶点坐标是.
③对于二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0，则当x=时，y有最 小 值为；当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大；
若a<0，则当x=时，y有最大值为；当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生化定义式为顶点式的过程与方法.
②差异指导：根据学情，对学习有困难的学生进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正.
4.强化：
（1）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，顶点是.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上(画草图如图①)，顶点是抛物线上的最低点.当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大，当x=时，y有最小值.
当a<0时，抛物线的开口向下(画草图如图②)，顶点是抛物线上的最高点.当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小，当x=时， y有最大值.
（3）画二次函数y=ax2+bx+c图象的方法：先配方或套公式，求出它的对称轴和顶点坐标；再在对称轴两侧对称取值列表；然后描点、画图.
（4）练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
①y=3x2+2x; ②y=－x2－2x;
开口向上， 开口向下，
对称轴为直线， 对称轴为直线x=-1，
顶点坐标为. 顶点坐标为（-1，1）.
③y=－2x2+8x－8； ④.
开口向下， 开口向上，
对称轴为直线x=2， 对称轴为直线x=4，
顶点坐标为（2，0）. 顶点坐标为（4，-5）.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时主要是理解并掌握一般形式的二次函数的图象和性质.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等）.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（10分）抛物线的顶点坐标是(B)
A． B． C． D．(1，0)
2.(10分）李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时，y= 1 ．
3.(20分）确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
开口向下， 开口向上，
对称轴为直线x=2， 对称轴为直线x=3，
顶点坐标为（2，9）. 顶点坐标为（3，-10）.
（3）y=2x2+8x－6； （4）.
开口向上， 开口向上，
对称轴为直线x=-2 对称轴为直线x=2，
顶点坐标为（-2，-14）. 顶点坐标为（2，-3）.
4.(20分）从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解：小球在顶点时达到最大高度.
.
∴小球运动的时间是3 s时，小球最高，最大高度为45 m.
二、综合应用（20分）
5.（10分）已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（B）
6.（10分）已知函数y=-2x2+x-4,当x=时，y有最大值.
三、拓展延伸（20分）
7.（20分）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x= 1 ，x=2对应的函数值y= -8 ．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、新课导入
1.导入课题:
问题:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗？
板书课题：二次函数的解析式.
2.学习目标:
会用待定系数法求二次函数的解析式.
3.学习重、难点:
重点：用待定系数法求二次函数的解析式.
难点：合理选用适当方法求二次函数的解析式.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：已知三点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
② 请仿照求一次函数的解析式的步骤，求图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点二次函数的解析式.
③总结用待定系数法设一般式求二次函数的解析式的一般步骤．
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学相互交流研讨，纠错.
4.强化：
（1）已知三点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
（2）练习：已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，5），C（0，-3），求抛物线的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A（-1，0）,B（4，5）,C（0，-3）.
∴.解得
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3
1.自学指导:
（1）自学内容：已知顶点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
如何设解析式
②已知抛物线顶点为(1,－4)，且又过点(2,－3)，求其解析式.
设抛物线解析式为，抛物线过点（2,-3），则，则a=1.
∴抛物线解析式为.
③总结已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤.
设解析式为y=a(x-h)2+k.将已知点坐标代入求a值得出解析式.
2.自学:学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设顶点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：
（1）已知顶点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
先设，再代值，求解
（2）已知抛物线顶点为(2,3)，且又过点(0,1)，求其解析式.
解：设其解析式为y=a(x-2)2+3,∵抛物线过点（0，1），
则1=a(0-2)2+3,解得，
∴其解析式为.
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1；当x＝-2与时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
① 方法1：设y=a(x+2)(x-),再把x=0，y=-1代入其中求出a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，由“x=0时，y=-1， x=-2与时，y=0”，列方程组求出a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象与x轴两交点为(x1,0)，(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三个点代入其中求a即得.
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.
∵图象与x轴交于A（1,0），B（3,0），
∴设函数解析式为y＝a（x-1）（x-3）.
∵图象过点（0,3），
∴3=a（0-1）（0-3），解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设交点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正错误.
4.强化：
（1）已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象上关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，1），B（3，1）两点，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C（0，3）代入其中求出a的值.
方法2：把A（1，1），B（3，1），C（0，3）代入其中列方程组求a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象经过两点(x1,k)，(x2,k)(两点的纵坐标相等)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)+k，然后把第三个点代入其中求a即得.
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6），求这个二次函数的解析式.
设其解析式为y=a（x-1）（x+1）+3,∵图象经过点（2，6），
∴6=a（2-1）（2+1）+3，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=（x-1）（x+1）+3=x2+2.
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设对称式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：
（1）已知图象上关于对称轴对称的两点坐标，求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
（3）练习：已知函数的图象过A（-2，2），B（1，2），C（0，3），求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)+2.
∵图象过C(0，3).∴3=a(0+2)(0-1)+2,解得.
∴这个二次函数的解析式为
即.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：在求解析式时应注意让学生灵活选用不同的方法，另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.此外，对于用待定系数法求解析式，由于教材是选学内容，教师应让学生体验过程即可，关键是让学生灵活运用一般式、顶点式来求解析式.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（D）
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2.(10分) 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= -2 ．
3.(10分)已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4，则其解析式为.
4.(40分)已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：
（1）（-1，-1），（0，-2），（1，1）.y=2x2+x-2
（2）（-1，0），（3，0），（1，-5）.
二、综合应用（20分）
5.(20分) 如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A（8,0）及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点（-2，0）.
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，∵抛物线过点（0，4），
∴4=a(0+2)(0-8)，解得.
∴这个抛物线的解析式为
三、拓展延伸（10分）
6.( 10分)已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解：由题意可知抛物线与x轴交点坐标为（5，0），（-3，0）,
设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点（1，16），
∴16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
22.2二次函数与一元二次方程
一、新课导入
1.导入课题：
问题: 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？要解决这个问题，我们一起学习本节——二次函数与一元二次方程.
2.学习目标：
（1）知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
（2）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
3.学习重、难点：
重点：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
难点：数形之间的互相转化.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第43页到第44页“思考”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2.课本四个问题都是已知 h求 t (均选填t或h),因此可以将函数问题转化为 一元二次方程 问题.
②结合课本图22.2—1，分别对四个方程的解给一个合理的解释.
方程（1）：小球在某一时间高度达到15m,然后继续上升，达到最大高度后下落，经过一段时间，高度又回落到15m，所以在两个时间球的高度为15m.
方程（2）：20m是小球的最大高度，小球只能在一个时间达到最大高度.
方程（3）：小球最大高度为20m,不可能达到20.5m，所以方程无实数根.
方程（4）：小球最初被打出时高度为0，经过一段时间落地后高度再次为0，中间的时间差即为飞行的时间.
③从课本中问题的解法中，可以发现：
求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 ax2+bx+c=k解决；
求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 ax2+bx+c=0解决.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲第③题的情况.
②差异指导：指导学生思考二次函数与一元二次方程的关系.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：二次函数与一元二次方程关系密切，如：已知二次函数y=ax2+bx+c的值为k时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=k；已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=0.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第44页“思考”到第46页例题之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合图象，认真思考.
（4）自学参考提纲：
①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有 2 个公共点，其交点坐标为（-2，0），（1，0）.
方程x2＋x－2=0有几个实数根？分别是什么？
2个 -2 , 1
②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有 1 个公共点，其交点坐标为（3，0）.
方程x2－6x＋9=0有几个实数根？分别是什么？
1个 3
③抛物线y＝x2－x＋1与x轴有 0 个公共点，方程x2－x＋1=0有几个实数根？
无实数根
④由上述三个问题，你可以得到什么结论呢？
归纳：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点时，若x取公共点的横坐标，则此时的函数值是 0 ，由此可得出，方程ax2+bx+c=0的解就是公共点的 横坐标 ，当抛物线与x轴没有公共点时，说明对应的方程无实数根.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲的完成情况.
②差异指导 ：根据学情进行针对性的指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正.
4.强化：
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根b2-4ac＞0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根b2-4ac=0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点方程ax2+bx+c=0没有实数根b2-4ac＜0.
1.自学指导：
（1）自学内容： 教材第46页例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①说说利用函数图象求x2-2x-2=0的近似根的一般步骤.
先画出函数图象，再通过函数图象找点
②观察课本图22.2-3，分别指出x2-2x-2＜0和x2-2x-2＞0的解集.
∵x2-2x-2=0的两根为x1≈-0.7,x2≈2.7,
∴x2-2x-2<0的解集为-0.7
③如果抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0）,(x2,0)（x1＜x2），请你指出何时ax2+bx+c=0，何时ax2+bx+c＞0，何时ax2+bx+c＜0.
x=x1和x=x2时，ax2+bx+c=0.
x>x2或x0.
x1
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：怎样利用函数图象，求相应方程的近似根.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0），(x2,0)（x1＜x2），则：
（1）当x=x1和x2时，ax2+bx+c=0；
（2）当x＞x2或x＜x1时，ax2+bx+c＞0；
（3）当x1＜x＜x2时，ax2+bx+c＜0.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时对于一元二次方程与二次函数的关系作了重点论述，教学过程中向学生讲述数形结合思想的重要性，把解一元二次方程用图形的形式表示出来.教师应让学生体验过程，反过来，确定二次函数与x轴的位置关系，也可由一元二次方程的根的情况得到.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分) 已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（B）
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
2.(10分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)，(3，0)，则这条抛物线的对称轴是（C）
A.直线x=-1B.直线x=0C.直线x=1D.直线x=3
3.(10分）抛物线y=-2(x+4)(x-2)与x轴的两个交点坐标为（-4，0），（2，0）.
4.(10分）抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是（-2，4），（3，4），与y轴的交点坐标是（0，-2）.
5.(30分）在图中画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答
(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;
(2)x取什么值时,函数值大于0;
(3)x取什么值时,函数值小于0.
解：图象如图所示.
（1）方程x2-2x-3=0的解为x1=-1,x2=3.
（2）x>3或x<-1时，函数值大于0.
（3）-1
6.（20分）一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是.
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象,指出铅球推出的距离.
解：（1）如图所示.
（2）由图象可知，铅球推出的距离为10m.
三、拓展延伸（10分）
7.（10分）把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．
① y=x2+bx+2； ②y=ax（x-3）； ③y=a（x+2）（x-3）； ④y=-x2+bx-3．
A. ① ； B． ④ ； C． ③ ； D． ② .
22.3实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
一、新课导入
1.导入课题:
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
本节课我们学习利用二次函数解决几何问题.
2.学习目标:
（1）能建立二次函数模型解决与几何图形相关的实际问题.
（2）会用二次函数的图象和性质解决实际问题.
3.学习重、难点:
重点：用二次函数解析式表示几何图形中的数量关系，能求最大值或最小值.
难点：建立二次函数模型.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页“问题”.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①求h＝30t－5t2 (0≤t≤6)的图象的顶点坐标.
h=-5（t-3）2+45,其顶点为（3，45）.
②由a= -5 可得，图象的开口向 下 .
③结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图.
④根据图象可得，当t=3时，h有最大值45.
⑤利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会求实际问题中的最值.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：同桌间相互交流、改正.
4.强化：依据实际问题中的数量关系，构造数学模型，利用二次函数求最值.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页至第50页的“探究1”.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成下面的探究提纲.
（4）探究提纲：
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是（30-l）m，场地面积S=l(30-l)m2.
②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：.
解不等式组得l的范围是0
④根据l的取值范围及③画出函数图象的草图，由图象知：点(15,225)是图象的最高点，即当l=15时，S有最 大 （选填“大”或“小”）值.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：实际问题中二次函数图象草图的画法.
②差异指导：根据学情指导学生画图象草图和识图.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
第一，根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
第二，确定自变量的取值范围；
第三，根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
第四，根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
（2）练习：如图是一块长80m、宽60m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直、宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意可得y=（80-x）（60-x）＝x2-140x+4800,
且
∴0≤x≤60.
三、评价
1. 学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课的学习中你有何收获？还有什么疑惑？
2. 教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习中的积极性、学习方法、学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
本课时重点在于利用二次函数解决图形的最大面积问题，教学过程中注重引导学生通过分析实际问题构造数学几何模型.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（30分）如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，则BD＝10-x.
∴.
∴当x＝5时，y有最大值.
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.（30分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（如图所示）,墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
解：设矩形的长为xm，面积为ym2，则矩形的宽为m.
∴.
又，∴0
即当矩形的长为15m、宽为m时，菜园的面积最大，为m2.
二、综合应用（20分）
3．（20分）如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH＝x，正方形EFGH的面积为y，则DG＝1-x.
∴
.
当x=时，y有最小值.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
三、拓展延伸（20分）
4.（20分）已知矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm,圆柱的侧面积为ycm2，则矩形的宽为（18-x）cm,绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx（18-x）＝-2π（x-9）2+162π（0＜x＜18）.
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大.
22.3实际问题与二次函数
第2课时 实际问题与二次函数（2）
一、导学
1.导入课题:
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
2.学习目标:
（1）能用二次函数表示实际问题中的数量关系（包括写出解析式、自变量的取值范围、画图象草图）.
（2）会用二次函数求销售问题中的最大利润.
3.学习重、难点:
重点：建立销售问题中的二次函数模型.
难点：建立二次函数模型.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第50页的“探究2”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成下面的探究提纲.
（4）探究提纲：
①调价包括涨价和降价两种情况.
②若涨价，如果设商品的单价涨了x元，总利润为y元，则此时的售价为（60+x）元，每一件的利润为（20+x）元，实际卖出（300-10x)件，总利润y=(20+x)(300-10x).
化简后为：y=-10x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤30.
顶点坐标为(5,6250),所以商品的单价上涨5元时，利润最大为6250元.
即定价65元时，利润最大，最大利润为6250元.
③若降价，设商品的单价下降x元，总利润为y元，此时的售价为60-x元，每一件的利润为20-x元，实际卖出300+20x件，总利润y=（20-x）(300+20x).
化简后为：y=-20x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤20.
顶点坐标为（2.5，6125）,所以商品的单价下降2.5元时，利润最大为6125元.
即定价57.5元时，利润最大，最大利润为6125元.
④由②、③的讨论可知，当商品定价65元时，利润最大为6250元.
二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：看学生能否顺利完成探究提纲的第②题和第③题.
(2)差异指导：根据学情进行指导.
2.生助生：生生互动，交流研讨，修正错误.
四、强化
利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
（1）审清题意，理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；
（3）列出函数关系式；
（4）求解数学问题；
（5）求解实际问题.
五、评价
1. 学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？还存在哪些问题？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流协作情况、学习效果和存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测；
3. 教师的自我评价（教学反思）：本课时探究二次函数在商品销售利润问题中的应用，教学时，让学生自行分析，找出问题中的数量关系并列函数关系式，教师适时予以引导，需要注意的是，自变量的取值要满足问题的实际意义.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（40分）下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标（用公式）.
（1）y=－4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.
解：, 解：，
∴最高点为. 最低点为.
2.(20分）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（200-x）件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元，由题意,得
y=x(200-x)-30(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225（0
二、综合应用（20分）
3.(20分)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：
y＝（20-x）（40+10x）＝-10x2+160x+800＝-10（x-8）2+1440（0≤x＜20）.
当x＝8时，y有最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多.
三、拓展延伸（20分）
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
（1)0≤x≤6；（2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-（x-3）2+14
（1）当0≤x≤6时，当x=3时，y有最大值14，
当x=0或6时，y有最小值5.
（2）当-2≤x≤2时，当x=2时，y有最大值13，
当x=-2时，y有最小值-11.
22.3实际问题与二次函数
第3课时 实际问题与二次函数（3）
一、导学
1.导入课题:
如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？（板书课题）
2.学习目标:
（1）能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题.
（2）进一步巩固二次函数的性质与图象特征.
3.学习重、难点:
重点：建立合适的直角坐标系，用二次函数解决实际问题.
难点：建立合适的直角坐标系.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第51页的“探究3”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①图中的抛物线表示拱桥，以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.
②设y=ax2(a≠0)，根据已知条件图象经过点（2，-2），用待定系数法就可以求出a，即可确定解析式.
③水面下降1m后，y=ax2中的y=-3，求出对应的x值为x1=，x2=，故此时的水面宽度为m.
④水面宽度增加多少？
水面宽度增加（-4）m
⑤如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.给出你的解答，两种方法的结果相同吗？
设抛物线的解析式为y =ax2+3，抛物线过点（2，1），则1=4a+3，解得a=，
∴抛物线的解析式为.
当y=0时，,解得x1=,x2=.
此时水面宽度为m，水面宽度增加（-4）m.
两种方法的结果相同.
⑥你还有其他的方法吗？请与你的同桌分享.
还可以，以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：关注学生探究提纲第⑤题的解答情况，让他们体会坐标系建立方式的不同和具体区别.
(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
2.生助生：小组内相互交流、研讨.
四、强化
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系；
（2）写出抛物线形上的关键点的坐标；
（3）运用待定系数法求出函数关系式；
（4）求解数学问题；
（5）求解抛物线形实际问题.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？掌握了哪些解题技能和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的状态、方法、效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时进一步探究二次函数在实际问题中的应用，主要涉及二次函数在建筑问题如拱桥、拱形门等中的应用，在前面学习的基础上适当放手让学生独立思考、分析并总结此类问题的解题步骤，通过类比的思想，总结二次函数在实际问题中的应用.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.( 25分)某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（B）
A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m
2.(25分)某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是y=-3.75x2.
第1题图 第2题图
二、综合应用（25分）
3.(25分) 某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离.
解：设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2+.
∵抛物线过点（0，10），∴，解得,
∴抛物线的解析式为,
令y=0,则.
解得x1=3,x2=-1（舍去）.
∴水流落地点B离墙的距离为3米.
三、拓展延伸（25分）
4.(25分)某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+0.5,
∵抛物线过点（1，0），
∴0=a+0.5，解得a=-0.5.
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.
令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.
令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32.
（0.48+0.32）×2=1.6 （m）
∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为1.6m.
数学活动
——建立二次函数模型探究和解释
一、活动导入
1.活动导入:
猜一猜下面的积中哪一个最大：91×99,92×98，…，98×92,99×91.
这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.（板书课题）
2.活动目标：
（1）探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.
（2）建立二次函数模型说明猜想的正确.
（3）通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
3.活动重、难点：
重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律，建立二次函数模型说明猜想的正确.
难点：建模.
二、活动过程
活动1 关于两数积的猜想与证明
1.活动指导:
（1）活动内容：教材第54页活动1.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①91×99=9009, 92×98= 9016 , 93×97= 9021 , 94×96= 9024 ,95×95= 9025 .
②猜想：901×999，902×998，…，998×902,999×901中，哪个最大？
950×950最大
③证明：设第一个数是900+x，则第二个数是（1000-x）, 设两数积为y.
a.求y与x的函数关系式；
y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000
b.求y的最大值；
y=-(x-50)2+902500
∴y的最大值为902500，此时x=50.
c.你的猜想正确吗？
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.
②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.
（2）生助生：同桌之间互相交流.
4.强化：建立二次函数模型要点.
活动2 曲线L的形状
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第54页活动2.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①按照课本的作图步骤在图中描点、连线：
②观察你画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？
③对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为（x,y）,则PA= ，PM= |y| ，由PA与PM的关系列等式，化简得.由此，点P在函数的图象上，即曲线L的形状是抛物线.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.
②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.
（2）生助生：同桌之间互相交流.
4.强化：建立二次函数模型要点.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思)：数学活动属于开放性课时，教学过程应以学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过解二次函数问题验证猜想的正确性.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.（25分）如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象;
(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?
解：（1）如图.
（2）设y关于x的解析式为y=ax2，∵抛物线过点（20，2），
∴2=a×202，解得a=0.005，
∴y=0.005x2.
当x=18时，y=1.62<1.8.∴该货船在这个河段不能安全通过.
2.（25分）根据以下10个乘积，回答问题：
1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．
（1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？
（2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
解：（1）200×200的积最大.
（2）设第一个乘数为x，第二个乘数为（400-x），乘积为y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.
.当x=200时,y有最大值.猜想正确.
二、综合应用（25分）
3.（25分）九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:
请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案①中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6 m,当AB为1 m,长方形框架ABCD的面积是m2;
(2)在图案②中,如果铝合金材料总长度为6 m,设AB为x m,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝x(2-x)(用含x的代数式表示)；当AB＝ 1 m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;在图案③中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m,当AB= m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大.
(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④,如果铝合金材料总长度为lm共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
解：设AB=x m.则AD= m.
∵长方形框架ABCD的面积，
∴.
当竖档AB为 m时，长方形框架ABCD的面积最大.
三、拓展延伸（25分）
4.（25分）如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：
（1）填表：
(2)写出n＝6时，S=21;
(3)根据上表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
解：（3）如图
（4）它们在同一函数图象上.设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点（1，1），（2，3），（3，6）.
则 ,解得
.∴该函数的解析式为.
章末复习
一、复习导入
1.导入课题：这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结.（板书课题）
2.复习目标：
（1）进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解.
（2）能感受函数思想、建模思想和转化思想.
3.复习重、难点：
重点：二次函数的图象和性质.
难点：应用二次函数解决实际问题.
二、分层复习
1.复习指导：
（1）复习内容：教材第27页到第56页的内容.
（2）复习时间：8分钟.
（3）复习方法：翻阅课本、整理知识要点.
（4）复习参考提纲：
①整理知识要点：
a.形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，叫二次函数，其图象是一条抛物线.
b.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，顶点坐标是.若a>0，则当时，函数y有最 小 值，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若a<0，则函数y的最值和增减性又如何呢？
若a<0,则当x=时，函数y有最大值.当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大.
c.抛物线的平移：把抛物线y=ax2沿x轴向左平移h个单位所得的抛物线是y=a(x+h)2，再把它沿y轴向上平移k个单位，所得的抛物线是y=a(x+h)2+k，若改变平移方向或距离呢？
d.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系有 3 种，是由b2-4ac的符号决定的，具体情况是：当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个不同的交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有1个交点，当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
e.用待定系数法求二次函数解析式.
设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于系数的方程组；解方程组，求出系数的值，从而得出函数解析式.
f.自变量取值范围有条件限制时，如何求二次函数的最值？
确定二次函数在取值范围内的增减性，比较函数在最高（低）点和端点的取值.
②试画本章知识结构框图:
2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生复习提纲完成情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4．强化：二次函数的图象及性质.
1.复习指导：
（1）复习内容：典型剖析、考点跟踪.
（2）复习时间：10分钟.
（3）复习方法：小组合作、研讨.
（4）复习参考提纲：
①二次函数y=-x2-2x+8的图象开口向 下 ，对称轴是 直线x=-1 ，顶点坐标为(-1,9)，与x轴的交点坐标是（-4，0），（2，0），与y轴的交点坐标是（0，8）.
②二次函数y= 2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为，最小值是3．
③如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（D）
A.y的最大值小于0 B.当x=0时，y的值大于1
C.当x=-1时，y的值大于1 D.当x=-3时，y的值小于0
第③题图 第④题图
④二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
⑤已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,4)，与x轴相交的两点间的距离为6，求此抛物线的解析式.
设抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴相交的两点间的距离为6，
∴与x轴正半轴交点坐标为（2，0）.
∴，解得.
∴此抛物线的解析式为.
⑥某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x元．求：
Ⅰ.房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
Ⅱ.该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
Ⅲ.每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆的利润最大？
解：Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅲ.宾馆的利润
.
当x=210时，w有最大值.
即当每个房间每天的定价增加210元时，宾馆的利润最大.
2.自主复习：学生结合复习指导自主复习.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生提纲的完成情况.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4．强化：利用二次函数模型求最值.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课的学习中，对全章知识你有何新的收获？在哪些方面还存在问题？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的积极性、主动性，小组交流协作状况、学习方法、效果等.
（2）纸笔评价：评价检测题.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时是对本章知识点的全面总结，教学时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析过程.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知二次函数y=-x2+4x+5，则当x= 2 时，其最大值为 9 .
2.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= -3.3 .
3.(10分)设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，(x+1)2）是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，(x+1)2的大小关系为（A）
A．y1＞y2＞(x+1)2B．y1＞(x+1)2＞y2C．(x+1)2＞y2＞y1D．(x+1)2＞y1＞y2
4.(40分)已知抛物线.
（1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出函数图象（草图）；
（4）根据图象说出：x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时,y随x的增大而减小？
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-7）.
（2）与x轴的交点为，.
与y轴的交点为.
（3）如图.
（4）当x>3时，y随x的增大而增大.
当x<3时，y随x的增大而减小.
二、综合应用（10分）
5.（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(3，8)，与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y轴交于点D(0，5)．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求该抛物线的顶点M的坐标，并求四边形ABMD的面积．
解：（1）∵抛物线过点（3，8），（-1，0），（0，5），
则 .解得
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
（2）顶点M的坐标为（2，9），对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)，
过M作MN⊥AB于N，则
.
三、拓展延伸（20分）
6.（20分）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.
（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；
（2）设某月的利润为10000元，10000元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润？
解：（1）设每个书包涨价x元，销量为（600-10x）个.
∴y=(40+x)(600-10x)-30（600-10x）
=-10x2+500x+6000(0≤x≤60).
（2）10000元不是最大利润，y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.
当x=25时有最大利润，即售价为65元时，有最大利润12250元.
（3）商家可获得利润，即y＝-10x2+500x+6000＞0，
解得-10
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
一、新课导入
1.导入课题：
问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？今天我们就来学习“二次函数”.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
3.学习重、难点：
重点：二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系.
难点：列二次函数表示实际问题中的数量关系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第28页到第29页“思考”上面部分的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式.
（4）自学参考提纲：
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为y=6x2，y是x的函数吗？是
②问题1中，有 n个球队参加比赛，每个队要与其他n-1个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为.这样比赛的场次数m与参加比赛的球队数n的关系式为，m是n的函数吗？是
③问题2中,产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的（1+x）倍；再经过一年后的产量是一年后的产量的（1+x）倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为，y是x的函数吗？是
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会找等量关系列函数关系式.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组相互研讨.
4.强化：
（1）利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数的理由.
（2）总结：列实际问题中两个变量的函数关系式，关键是寻找问题中的等量关系.
（3）练习：
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
解：y=πx2
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；
解：
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解：S=4πr2
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第29页“思考”以后到“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察上面各函数的右边的代数式的特点，用一般形式表示出来.
（4）探究提纲：
①请写出二次函数的一般形式.
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
②请写出上面“练习”中的3个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.
a.y=πx2二次项系数：π一次项系数：0常数项：0
b. 二次项系数：2一次项系数：4常数项：2
c.S=4πr2二次项系数：4π一次项系数：0常数项：0
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的解答情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：生生互动，交流研讨、改正.
4.强化:
（1）交流及总结：
①二次函数的定义，重点强化自变量，各项及各项系数.
②强调a≠0.
（2）练习：是二次函数，求常数a的值.
解：依题意，得 解得a=-1
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性，回答问题与小组合作情况，存在问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的经历过程和探究体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）下列函数是二次函数的是（C）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-2
2.（10分）二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（B）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.（10分）已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数，则a的取值范围是a≠1.
4.（10分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是.
5.（15分）正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为0＜x＜10.
6.（15分）一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数关系式为，则经过12s汽车行驶了180m，行驶380m 需20s.
二、综合应用（20分）
7.(20分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围
解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.
∵AB=12,∴PB=12-2t,
∴.
t的取值范围为0≤t≤6.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)m为何值时，函数是关于x的二次函数.
解：由题意可得
解得m=1.
∴当m=1时，函数是关于x的二次函数.
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=ax2的图象.板书课题：二次函数y=ax2（a≠0）的图象.
2.学习目标：
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象,知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
3.学习重、难点：
重点：画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的相关概念.
难点：画二次函数y=ax2的图象.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：数形结合.
（4）自学参考提纲：
①画出函数y=x2的图象.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
②二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.
④在①中的坐标系中画出函数y=x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.
⑤由④，说明二次函数y=ax2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.
二次函数y=ax2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.
（2）生助生：生生互动交流、研讨.
4.强化：
(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=ax2的图象的相关性质.
(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象就叫做抛物线y=ax2+bx+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
②抛物线y=ax2关于y轴对称，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).
③a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
1.自学指导：
（1）自学内容：探究y=ax2(a<0)的图象特点.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.
（4）探究提纲：
①完成探究，回答这些抛物线异同点：
共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.
不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
②总结a<0时，抛物线y=ax2的性质.
当a＜0时，抛物线ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=ax2与y=-ax2有何关系吗？
抛物线y=ax2与y=-ax2关于x轴对称.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生画图和识图的情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化:
（1）交流：a<0时二次函数y=ax2的图象的性质.
（2）强调a的符号对二次函数y=ax2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=ax2的图象的开口大小的影响.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.
2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=x2；③y=x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.
(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；
(3)有最高点的是①④(填序号).
3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.
4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
y=x2；y=x2.
解：列表：
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
3
0
3
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
-3
0
-3
…
作图如图所示.
二、综合应用（20分）
5.（20分）已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C）
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）m为何值时，函数的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
解得m=-1
∴当m=-1时，函数的图象是开口向下的抛物线.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
一、导学
1.导入课题：
问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征.
这节课我们继续探究二次函数y=ax2+k的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象.
（2）能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.
3.学习重、难点：
重点：画y=ax2+k的图象，探究抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.
难点：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第32页例2到第33页的“练习”上面的部分.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先完成例2的画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1,y=2x2－1的图象：
②由例2填表：
③观察图象可发现：把y=2x2的图象向 上 平移 1个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向 下 平移 1 个单位就得到抛物线y=2x2-1.
④讨论抛物线y=ax2+k与y=ax2的相互关系.
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：观察学生图象的画法和获取图象信息的能力.
（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组内相互交流研讨、修正结论.
四、强化
1.交流学习成果：展示画图效果，总结图象的上下平移与解析式的变化规律.
2.抛物线y=ax2+k与y=ax2的相同点与不同点.
相同点：开口方向相同，形状相同，对称轴都是y轴.
不同点：顶点坐标发生了改变.
抛物线抛物线y=ax2+k
3.练习：在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+2，y=x2－2.观察三条抛物线的相互关系，分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点.由此，请说出y=12x2+k的开口方向、对称轴、顶点以及它与抛物线y=x2之间的关系.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性，小组交流协作情况，学习方法及效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 上 平移 3 个单位得到．
2.（10分）抛物线y＝x2+1向 下 平移 1 个单位后，会得到抛物线y=x2．
3.（10分）抛物线y＝-2x2-5的开口方向 向下 ，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-5）.
4.（10分）下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是(D)
A．y＝2x2与y＝3x2 B．y=x2+2与y=2x2+
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
5.（10分）对于二次函数y＝x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是(B)
A.y1>y2 B.y1
（1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）.
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
二、综合应用（20分）
7.（20分）在同一坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2-2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.y=x2-2的图象由y=x2的图象向下平移2个单位得到.
三、拓展延伸（10分）
8.（10分）求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式.
解：抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2x2+1.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
一、导学
1.导入课题：
问题: 说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
这节课我们继续探究二次函数y=a(x-h)2的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.
（2）能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
3.学习重、难点：
重点：画y=a(x-h)2的图象，探究抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
难点：总结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第33页“探究”到第35页“思考”的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先完成探究部分的画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①画出二次函数的图象；在列表时，你会发现在0的两边等距离选取x值时，对应的y值不等，这样描出的点不对称，因此，需要修正x的取值.请填写下表，然后对称性描点.
②观察图象，说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标（提示：把过（-1，0）且与x轴垂直的直线记作直线x=-1）.
的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，0）；的开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1,0）.
③观察抛物线与，可以发现：这三者形状相同，位置不同.把抛物线向 左 平移 1 个单位就得到；向 右 平移 1 单位就得到.
④讨论抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的相互关系.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：观察学生的图象的画法和阅读图象的能力.
（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组内相互交流研讨、修正结论.
四、强化
1.交流：各小组学习成果展示.
2.总结：
（1）抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）图象的平移：
抛物线抛物线
3.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y= (x+2)2,y= (x－2)2，观察三条抛物线的相互关系，分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性，小组交流协作情况，学习方法及效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 右 平移 2 个单位得到．
2.（10分）二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向 向下 ，顶点坐标是（1，0），对称轴是 直线x=1 .
3.（10分）要得到抛物线，可将抛物线 (C )
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位
C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位
4.（10分）对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2(A)
A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最高点
5.（10分）抛物线向左平移3个单位所得抛物线是(A)
A. B.
C. D.
6.（20分）写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）； （2）.
解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，0）.
（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）.
二、综合应用（20分）
7.（20分）在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
三、拓展延伸（10分）
8.（10分）在直角坐标系中画出函数的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，0）.
（2）该函数图象由二次函数的图象向右平移3个单位得到.
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题:举例说明函数图象的平移规律.
这节课我们继续探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象.(板书课题)
2.学习目标：
（1）会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.
（2）能说出抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
（3）能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标.
3.学习重、难点：
重点：画y=a(x-h)2+k的图象，探究抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的相互关系及平移规律，总结抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
难点：y=a(x-h)2+k的图象，图象间的平移规律.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第35页例3.
（2）自学时间：8分钟.
遍地（3）自学要求：先完成画图；再从平移的角度找出所画图象的关系.
（4）自学参考提纲：
①画函数的图象:
②填表：
③抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点；
（1）a>0,开口向上，对称轴为x=h，顶点为（h,k）；
（2）a<0,开口向下，对称轴为x=h,顶点为（h,k）.
④抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移规律.
y=a(x-h)2+k的图象由y=ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生画图象的过程和规律的总结.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化：
（1）抛物线y=a(x-h)2+k的特点.
(2)交流与总结：总结y=a(x-h)2+k的图象和y=ax2图象的关系.
（3）说出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标.
①y=2(x+3)2+5; ②y=-3(x-1)2-2;
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=-3 对称轴为直线x=1
顶点坐标为（-3,5） 顶点坐标为（1,-2）
③y=4(x-3)2+7 ④y=-5(x+2)2-6
开口向上 开口向下
对称轴为直线=3 对称轴为直线x=-2
顶点坐标为（3，7） 顶点坐标为（-2,-6）
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第36页例4.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：分析、思考问题并阅读解答过程，注意体会这种解决抛物线形问题的思路、步骤和方法.
（4）自学参考提纲：
①水流示意图的形状是 抛物线 ，所以可以把问题转化为 二次函数 的问题求解.
②为什么抛物线的顶点的坐标是（1,3）？
因为这是水流的最高点.
③为什么设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3？由哪一点的坐标可以求出水管的长度？
因为顶点坐标为（1,3）,由函数与y轴交点坐标可以得出水管长度.
④本例的直角坐标系还有别的建立方式吗？给出你的新解法：
以水流最高点为原点，建立直角坐标系，设这段抛物线对应的函数解析式为y=ax2（-1≤x≤2）.过点（2,-3）得，函数解析式为（-1≤x≤2）.
2.自学:学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲第②题的解决情况.
②差异指导：注意从建立平面直角坐标系、确定函数自变量的取值范围以及画水流示意图等方面对学生进行分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）反思本例的解题过程，概括建模思想、转化思想和数形结合思想.
（2）自变量的取值范围的确定方法.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在学习中对哪些内容感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的积极性，小组交流协作情况，学习效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探究，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
2.(10分) 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ C ）
A.y=3(x-2)2-1 B．y=3(x-2)2+1
C．y=3(x+2)2-1 D．y=3(x+2)2+1
3.(10分)若抛物线的顶点为(3,5) ，则此抛物线的解析式可设为(B)
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5
C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
4.(20分) 指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1；
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=-2 对称轴为直线x=2
顶点坐标为（-2，1） 顶点坐标为（2，-1）
（3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3.
开口向上 开口向下
对称轴为直线x=4 对称轴为直线x=-2
顶点坐标为（4，3） 顶点坐标为（-2，-3）
5.(20分) 在同一坐标系内，画出函数和的图象，并写出它的对称轴、顶点和最值.
解：图象如图.
，对称轴为直线x=-2、顶点坐标为（-2，-2）、最小值为-2；
，对称轴为直线x=1、顶点坐标为（1，2）、最小值为2.
二、综合应用（20分）
6.(20分)已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为.
∵图象过点（0，0），则，解得a=2.
∴这个二次函数的关系式为.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是(B)
A.3.5 m B.4 m
C.4.5 m D.4.6 m
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、新课导入
1.导入课题：
问题: 举例说明画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
(追问)那么，怎样画二次函数y=ax2+bx+c的图象呢？
2.学习目标：
（1）会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式.
（2）会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴及最值.
（3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
3.学习重、难点：
重点：用配方法和公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
难点：用配方法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第37页到第38页的“探究”上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①通过配方把变形为y=a(x-h)2+k的形式：
②的图象开口 向上 ，对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
③利用图象的对称性，应该在x= 6 的左右对称取值，如下表：
④在所给坐标系中画出函数的图象.
观察图象，可以看出：当x= 6 时，y有最 小 值为 3 .
当x <6 时，y值随着x值的增大而减小，当x >6 时，y值随着x值的增大而增大，该函数图象是由的图象怎样平移得到的？
由的图象向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生探究提纲第①题的解题情况.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组相互交流、研讨.
4.强化：强调用配方法化定义式为顶点式的一般步骤.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第38页“探究”到第39页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：小组交流、研讨.
（4）自学参考提纲：
①用配方法把y=ax2+bx+c（a≠0）化成顶点式.
②y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线，顶点坐标是.
③对于二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0，则当x=时，y有最 小 值为；当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大；
若a<0，则当x=时，y有最大值为；当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生化定义式为顶点式的过程与方法.
②差异指导：根据学情，对学习有困难的学生进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正.
4.强化：
（1）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，顶点是.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上(画草图如图①)，顶点是抛物线上的最低点.当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大，当x=时，y有最小值.
当a<0时，抛物线的开口向下(画草图如图②)，顶点是抛物线上的最高点.当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小，当x=时， y有最大值.
（3）画二次函数y=ax2+bx+c图象的方法：先配方或套公式，求出它的对称轴和顶点坐标；再在对称轴两侧对称取值列表；然后描点、画图.
（4）练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
①y=3x2+2x; ②y=－x2－2x;
开口向上， 开口向下，
对称轴为直线， 对称轴为直线x=-1，
顶点坐标为. 顶点坐标为（-1，1）.
③y=－2x2+8x－8； ④.
开口向下， 开口向上，
对称轴为直线x=2， 对称轴为直线x=4，
顶点坐标为（2，0）. 顶点坐标为（4，-5）.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时主要是理解并掌握一般形式的二次函数的图象和性质.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等）.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（10分）抛物线的顶点坐标是(B)
A． B． C． D．(1，0)
2.(10分）李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时，y= 1 ．
3.(20分）确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
开口向下， 开口向上，
对称轴为直线x=2， 对称轴为直线x=3，
顶点坐标为（2，9）. 顶点坐标为（3，-10）.
（3）y=2x2+8x－6； （4）.
开口向上， 开口向上，
对称轴为直线x=-2 对称轴为直线x=2，
顶点坐标为（-2，-14）. 顶点坐标为（2，-3）.
4.(20分）从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解：小球在顶点时达到最大高度.
.
∴小球运动的时间是3 s时，小球最高，最大高度为45 m.
二、综合应用（20分）
5.（10分）已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（B）
6.（10分）已知函数y=-2x2+x-4,当x=时，y有最大值.
三、拓展延伸（20分）
7.（20分）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x= 1 ，x=2对应的函数值y= -8 ．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、新课导入
1.导入课题:
问题:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗？
板书课题：二次函数的解析式.
2.学习目标:
会用待定系数法求二次函数的解析式.
3.学习重、难点:
重点：用待定系数法求二次函数的解析式.
难点：合理选用适当方法求二次函数的解析式.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：已知三点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
② 请仿照求一次函数的解析式的步骤，求图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点二次函数的解析式.
③总结用待定系数法设一般式求二次函数的解析式的一般步骤．
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学相互交流研讨，纠错.
4.强化：
（1）已知三点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
（2）练习：已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，5），C（0，-3），求抛物线的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A（-1，0）,B（4，5）,C（0，-3）.
∴.解得
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3
1.自学指导:
（1）自学内容：已知顶点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
如何设解析式
②已知抛物线顶点为(1,－4)，且又过点(2,－3)，求其解析式.
设抛物线解析式为，抛物线过点（2,-3），则，则a=1.
∴抛物线解析式为.
③总结已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤.
设解析式为y=a(x-h)2+k.将已知点坐标代入求a值得出解析式.
2.自学:学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设顶点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：
（1）已知顶点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
先设，再代值，求解
（2）已知抛物线顶点为(2,3)，且又过点(0,1)，求其解析式.
解：设其解析式为y=a(x-2)2+3,∵抛物线过点（0，1），
则1=a(0-2)2+3,解得，
∴其解析式为.
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1；当x＝-2与时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
① 方法1：设y=a(x+2)(x-),再把x=0，y=-1代入其中求出a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，由“x=0时，y=-1， x=-2与时，y=0”，列方程组求出a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象与x轴两交点为(x1,0)，(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三个点代入其中求a即得.
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.
∵图象与x轴交于A（1,0），B（3,0），
∴设函数解析式为y＝a（x-1）（x-3）.
∵图象过点（0,3），
∴3=a（0-1）（0-3），解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设交点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正错误.
4.强化：
（1）已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象上关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，1），B（3，1）两点，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C（0，3）代入其中求出a的值.
方法2：把A（1，1），B（3，1），C（0，3）代入其中列方程组求a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象经过两点(x1,k)，(x2,k)(两点的纵坐标相等)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)+k，然后把第三个点代入其中求a即得.
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6），求这个二次函数的解析式.
设其解析式为y=a（x-1）（x+1）+3,∵图象经过点（2，6），
∴6=a（2-1）（2+1）+3，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=（x-1）（x+1）+3=x2+2.
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设对称式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：
（1）已知图象上关于对称轴对称的两点坐标，求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
（3）练习：已知函数的图象过A（-2，2），B（1，2），C（0，3），求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)+2.
∵图象过C(0，3).∴3=a(0+2)(0-1)+2,解得.
∴这个二次函数的解析式为
即.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：在求解析式时应注意让学生灵活选用不同的方法，另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.此外，对于用待定系数法求解析式，由于教材是选学内容，教师应让学生体验过程即可，关键是让学生灵活运用一般式、顶点式来求解析式.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（D）
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2.(10分) 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= -2 ．
3.(10分)已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4，则其解析式为.
4.(40分)已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：
（1）（-1，-1），（0，-2），（1，1）.y=2x2+x-2
（2）（-1，0），（3，0），（1，-5）.
二、综合应用（20分）
5.(20分) 如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A（8,0）及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点（-2，0）.
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，∵抛物线过点（0，4），
∴4=a(0+2)(0-8)，解得.
∴这个抛物线的解析式为
三、拓展延伸（10分）
6.( 10分)已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解：由题意可知抛物线与x轴交点坐标为（5，0），（-3，0）,
设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点（1，16），
∴16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
22.2二次函数与一元二次方程
一、新课导入
1.导入课题：
问题: 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2.球的飞行高度能否达到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飞行时间呢？要解决这个问题，我们一起学习本节——二次函数与一元二次方程.
2.学习目标：
（1）知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
（2）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
3.学习重、难点：
重点：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
难点：数形之间的互相转化.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第43页到第44页“思考”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2.课本四个问题都是已知 h求 t (均选填t或h),因此可以将函数问题转化为 一元二次方程 问题.
②结合课本图22.2—1，分别对四个方程的解给一个合理的解释.
方程（1）：小球在某一时间高度达到15m,然后继续上升，达到最大高度后下落，经过一段时间，高度又回落到15m，所以在两个时间球的高度为15m.
方程（2）：20m是小球的最大高度，小球只能在一个时间达到最大高度.
方程（3）：小球最大高度为20m,不可能达到20.5m，所以方程无实数根.
方程（4）：小球最初被打出时高度为0，经过一段时间落地后高度再次为0，中间的时间差即为飞行的时间.
③从课本中问题的解法中，可以发现：
求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 ax2+bx+c=k解决；
求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 ax2+bx+c=0解决.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲第③题的情况.
②差异指导：指导学生思考二次函数与一元二次方程的关系.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：二次函数与一元二次方程关系密切，如：已知二次函数y=ax2+bx+c的值为k时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=k；已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=0.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第44页“思考”到第46页例题之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合图象，认真思考.
（4）自学参考提纲：
①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有 2 个公共点，其交点坐标为（-2，0），（1，0）.
方程x2＋x－2=0有几个实数根？分别是什么？
2个 -2 , 1
②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有 1 个公共点，其交点坐标为（3，0）.
方程x2－6x＋9=0有几个实数根？分别是什么？
1个 3
③抛物线y＝x2－x＋1与x轴有 0 个公共点，方程x2－x＋1=0有几个实数根？
无实数根
④由上述三个问题，你可以得到什么结论呢？
归纳：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点时，若x取公共点的横坐标，则此时的函数值是 0 ，由此可得出，方程ax2+bx+c=0的解就是公共点的 横坐标 ，当抛物线与x轴没有公共点时，说明对应的方程无实数根.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生自学参考提纲的完成情况.
②差异指导 ：根据学情进行针对性的指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正.
4.强化：
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根b2-4ac＞0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根b2-4ac=0；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点方程ax2+bx+c=0没有实数根b2-4ac＜0.
1.自学指导：
（1）自学内容： 教材第46页例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真看书，结合自学参考提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
①说说利用函数图象求x2-2x-2=0的近似根的一般步骤.
先画出函数图象，再通过函数图象找点
②观察课本图22.2-3，分别指出x2-2x-2＜0和x2-2x-2＞0的解集.
∵x2-2x-2=0的两根为x1≈-0.7,x2≈2.7,
∴x2-2x-2<0的解集为-0.7
③如果抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0）,(x2,0)（x1＜x2），请你指出何时ax2+bx+c=0，何时ax2+bx+c＞0，何时ax2+bx+c＜0.
x=x1和x=x2时，ax2+bx+c=0.
x>x2或x
x1
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：怎样利用函数图象，求相应方程的近似根.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个不同的交点（x1,0），(x2,0)（x1＜x2），则：
（1）当x=x1和x2时，ax2+bx+c=0；
（2）当x＞x2或x＜x1时，ax2+bx+c＞0；
（3）当x1＜x＜x2时，ax2+bx+c＜0.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？对哪些内容的学习感到困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时对于一元二次方程与二次函数的关系作了重点论述，教学过程中向学生讲述数形结合思想的重要性，把解一元二次方程用图形的形式表示出来.教师应让学生体验过程，反过来，确定二次函数与x轴的位置关系，也可由一元二次方程的根的情况得到.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分) 已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（B）
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
2.(10分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)，(3，0)，则这条抛物线的对称轴是（C）
A.直线x=-1B.直线x=0C.直线x=1D.直线x=3
3.(10分）抛物线y=-2(x+4)(x-2)与x轴的两个交点坐标为（-4，0），（2，0）.
4.(10分）抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是（-2，4），（3，4），与y轴的交点坐标是（0，-2）.
5.(30分）在图中画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答
(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;
(2)x取什么值时,函数值大于0;
(3)x取什么值时,函数值小于0.
解：图象如图所示.
（1）方程x2-2x-3=0的解为x1=-1,x2=3.
（2）x>3或x<-1时，函数值大于0.
（3）-1
6.（20分）一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是.
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象,指出铅球推出的距离.
解：（1）如图所示.
（2）由图象可知，铅球推出的距离为10m.
三、拓展延伸（10分）
7.（10分）把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．
① y=x2+bx+2； ②y=ax（x-3）； ③y=a（x+2）（x-3）； ④y=-x2+bx-3．
A. ① ； B． ④ ； C． ③ ； D． ② .
22.3实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
一、新课导入
1.导入课题:
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
本节课我们学习利用二次函数解决几何问题.
2.学习目标:
（1）能建立二次函数模型解决与几何图形相关的实际问题.
（2）会用二次函数的图象和性质解决实际问题.
3.学习重、难点:
重点：用二次函数解析式表示几何图形中的数量关系，能求最大值或最小值.
难点：建立二次函数模型.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页“问题”.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①求h＝30t－5t2 (0≤t≤6)的图象的顶点坐标.
h=-5（t-3）2+45,其顶点为（3，45）.
②由a= -5 可得，图象的开口向 下 .
③结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图.
④根据图象可得，当t=3时，h有最大值45.
⑤利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会求实际问题中的最值.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：同桌间相互交流、改正.
4.强化：依据实际问题中的数量关系，构造数学模型，利用二次函数求最值.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页至第50页的“探究1”.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成下面的探究提纲.
（4）探究提纲：
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是（30-l）m，场地面积S=l(30-l)m2.
②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：.
解不等式组得l的范围是0
④根据l的取值范围及③画出函数图象的草图，由图象知：点(15,225)是图象的最高点，即当l=15时，S有最 大 （选填“大”或“小”）值.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：实际问题中二次函数图象草图的画法.
②差异指导：根据学情指导学生画图象草图和识图.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
第一，根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
第二，确定自变量的取值范围；
第三，根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
第四，根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
（2）练习：如图是一块长80m、宽60m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直、宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意可得y=（80-x）（60-x）＝x2-140x+4800,
且
∴0≤x≤60.
三、评价
1. 学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课的学习中你有何收获？还有什么疑惑？
2. 教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习中的积极性、学习方法、学习效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
本课时重点在于利用二次函数解决图形的最大面积问题，教学过程中注重引导学生通过分析实际问题构造数学几何模型.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（30分）如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，则BD＝10-x.
∴.
∴当x＝5时，y有最大值.
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.（30分）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（如图所示）,墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
解：设矩形的长为xm，面积为ym2，则矩形的宽为m.
∴.
又，∴0
即当矩形的长为15m、宽为m时，菜园的面积最大，为m2.
二、综合应用（20分）
3．（20分）如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH＝x，正方形EFGH的面积为y，则DG＝1-x.
∴
.
当x=时，y有最小值.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
三、拓展延伸（20分）
4.（20分）已知矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm,圆柱的侧面积为ycm2，则矩形的宽为（18-x）cm,绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx（18-x）＝-2π（x-9）2+162π（0＜x＜18）.
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大.
22.3实际问题与二次函数
第2课时 实际问题与二次函数（2）
一、导学
1.导入课题:
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
2.学习目标:
（1）能用二次函数表示实际问题中的数量关系（包括写出解析式、自变量的取值范围、画图象草图）.
（2）会用二次函数求销售问题中的最大利润.
3.学习重、难点:
重点：建立销售问题中的二次函数模型.
难点：建立二次函数模型.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第50页的“探究2”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成下面的探究提纲.
（4）探究提纲：
①调价包括涨价和降价两种情况.
②若涨价，如果设商品的单价涨了x元，总利润为y元，则此时的售价为（60+x）元，每一件的利润为（20+x）元，实际卖出（300-10x)件，总利润y=(20+x)(300-10x).
化简后为：y=-10x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤30.
顶点坐标为(5,6250),所以商品的单价上涨5元时，利润最大为6250元.
即定价65元时，利润最大，最大利润为6250元.
③若降价，设商品的单价下降x元，总利润为y元，此时的售价为60-x元，每一件的利润为20-x元，实际卖出300+20x件，总利润y=（20-x）(300+20x).
化简后为：y=-20x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤20.
顶点坐标为（2.5，6125）,所以商品的单价下降2.5元时，利润最大为6125元.
即定价57.5元时，利润最大，最大利润为6125元.
④由②、③的讨论可知，当商品定价65元时，利润最大为6250元.
二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：看学生能否顺利完成探究提纲的第②题和第③题.
(2)差异指导：根据学情进行指导.
2.生助生：生生互动，交流研讨，修正错误.
四、强化
利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
（1）审清题意，理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；
（3）列出函数关系式；
（4）求解数学问题；
（5）求解实际问题.
五、评价
1. 学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？还存在哪些问题？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流协作情况、学习效果和存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测；
3. 教师的自我评价（教学反思）：本课时探究二次函数在商品销售利润问题中的应用，教学时，让学生自行分析，找出问题中的数量关系并列函数关系式，教师适时予以引导，需要注意的是，自变量的取值要满足问题的实际意义.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（40分）下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标（用公式）.
（1）y=－4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.
解：, 解：，
∴最高点为. 最低点为.
2.(20分）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（200-x）件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元，由题意,得
y=x(200-x)-30(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225（0
二、综合应用（20分）
3.(20分)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：
y＝（20-x）（40+10x）＝-10x2+160x+800＝-10（x-8）2+1440（0≤x＜20）.
当x＝8时，y有最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多.
三、拓展延伸（20分）
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
（1)0≤x≤6；（2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-（x-3）2+14
（1）当0≤x≤6时，当x=3时，y有最大值14，
当x=0或6时，y有最小值5.
（2）当-2≤x≤2时，当x=2时，y有最大值13，
当x=-2时，y有最小值-11.
22.3实际问题与二次函数
第3课时 实际问题与二次函数（3）
一、导学
1.导入课题:
如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？（板书课题）
2.学习目标:
（1）能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题.
（2）进一步巩固二次函数的性质与图象特征.
3.学习重、难点:
重点：建立合适的直角坐标系，用二次函数解决实际问题.
难点：建立合适的直角坐标系.
4.自学指导：
（1）自学内容：教材第51页的“探究3”.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①图中的抛物线表示拱桥，以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.
②设y=ax2(a≠0)，根据已知条件图象经过点（2，-2），用待定系数法就可以求出a，即可确定解析式.
③水面下降1m后，y=ax2中的y=-3，求出对应的x值为x1=，x2=，故此时的水面宽度为m.
④水面宽度增加多少？
水面宽度增加（-4）m
⑤如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.给出你的解答，两种方法的结果相同吗？
设抛物线的解析式为y =ax2+3，抛物线过点（2，1），则1=4a+3，解得a=，
∴抛物线的解析式为.
当y=0时，,解得x1=,x2=.
此时水面宽度为m，水面宽度增加（-4）m.
两种方法的结果相同.
⑥你还有其他的方法吗？请与你的同桌分享.
还可以，以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
二、自学
学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
(1)明了学情：关注学生探究提纲第⑤题的解答情况，让他们体会坐标系建立方式的不同和具体区别.
(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
2.生助生：小组内相互交流、研讨.
四、强化
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系；
（2）写出抛物线形上的关键点的坐标；
（3）运用待定系数法求出函数关系式；
（4）求解数学问题；
（5）求解抛物线形实际问题.
五、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？掌握了哪些解题技能和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的状态、方法、效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时进一步探究二次函数在实际问题中的应用，主要涉及二次函数在建筑问题如拱桥、拱形门等中的应用，在前面学习的基础上适当放手让学生独立思考、分析并总结此类问题的解题步骤，通过类比的思想，总结二次函数在实际问题中的应用.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.( 25分)某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（B）
A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m
2.(25分)某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是y=-3.75x2.
第1题图 第2题图
二、综合应用（25分）
3.(25分) 某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面米，求水流落地点B离墙的距离.
解：设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2+.
∵抛物线过点（0，10），∴，解得,
∴抛物线的解析式为,
令y=0,则.
解得x1=3,x2=-1（舍去）.
∴水流落地点B离墙的距离为3米.
三、拓展延伸（25分）
4.(25分)某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+0.5,
∵抛物线过点（1，0），
∴0=a+0.5，解得a=-0.5.
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.
令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.
令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32.
（0.48+0.32）×2=1.6 （m）
∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为1.6m.
数学活动
——建立二次函数模型探究和解释
一、活动导入
1.活动导入:
猜一猜下面的积中哪一个最大：91×99,92×98，…，98×92,99×91.
这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.（板书课题）
2.活动目标：
（1）探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.
（2）建立二次函数模型说明猜想的正确.
（3）通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
3.活动重、难点：
重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律，建立二次函数模型说明猜想的正确.
难点：建模.
二、活动过程
活动1 关于两数积的猜想与证明
1.活动指导:
（1）活动内容：教材第54页活动1.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①91×99=9009, 92×98= 9016 , 93×97= 9021 , 94×96= 9024 ,95×95= 9025 .
②猜想：901×999，902×998，…，998×902,999×901中，哪个最大？
950×950最大
③证明：设第一个数是900+x，则第二个数是（1000-x）, 设两数积为y.
a.求y与x的函数关系式；
y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000
b.求y的最大值；
y=-(x-50)2+902500
∴y的最大值为902500，此时x=50.
c.你的猜想正确吗？
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.
②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.
（2）生助生：同桌之间互相交流.
4.强化：建立二次函数模型要点.
活动2 曲线L的形状
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第54页活动2.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①按照课本的作图步骤在图中描点、连线：
②观察你画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？
③对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为（x,y）,则PA= ，PM= |y| ，由PA与PM的关系列等式，化简得.由此，点P在函数的图象上，即曲线L的形状是抛物线.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.
②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.
（2）生助生：同桌之间互相交流.
4.强化：建立二次函数模型要点.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思)：数学活动属于开放性课时，教学过程应以学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过解二次函数问题验证猜想的正确性.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.（25分）如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象;
(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?
解：（1）如图.
（2）设y关于x的解析式为y=ax2，∵抛物线过点（20，2），
∴2=a×202，解得a=0.005，
∴y=0.005x2.
当x=18时，y=1.62<1.8.∴该货船在这个河段不能安全通过.
2.（25分）根据以下10个乘积，回答问题：
1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．
（1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？
（2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
解：（1）200×200的积最大.
（2）设第一个乘数为x，第二个乘数为（400-x），乘积为y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.
.当x=200时,y有最大值.猜想正确.
二、综合应用（25分）
3.（25分）九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:
请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案①中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6 m,当AB为1 m,长方形框架ABCD的面积是m2;
(2)在图案②中,如果铝合金材料总长度为6 m,设AB为x m,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝x(2-x)(用含x的代数式表示)；当AB＝ 1 m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;在图案③中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m,当AB= m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大.
(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④,如果铝合金材料总长度为lm共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
解：设AB=x m.则AD= m.
∵长方形框架ABCD的面积，
∴.
当竖档AB为 m时，长方形框架ABCD的面积最大.
三、拓展延伸（25分）
4.（25分）如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：
（1）填表：
(2)写出n＝6时，S=21;
(3)根据上表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
解：（3）如图
（4）它们在同一函数图象上.设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点（1，1），（2，3），（3，6）.
则 ,解得
.∴该函数的解析式为.
章末复习
一、复习导入
1.导入课题：这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结.（板书课题）
2.复习目标：
（1）进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解.
（2）能感受函数思想、建模思想和转化思想.
3.复习重、难点：
重点：二次函数的图象和性质.
难点：应用二次函数解决实际问题.
二、分层复习
1.复习指导：
（1）复习内容：教材第27页到第56页的内容.
（2）复习时间：8分钟.
（3）复习方法：翻阅课本、整理知识要点.
（4）复习参考提纲：
①整理知识要点：
a.形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，叫二次函数，其图象是一条抛物线.
b.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，顶点坐标是.若a>0，则当时，函数y有最 小 值，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若a<0，则函数y的最值和增减性又如何呢？
若a<0,则当x=时，函数y有最大值.当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大.
c.抛物线的平移：把抛物线y=ax2沿x轴向左平移h个单位所得的抛物线是y=a(x+h)2，再把它沿y轴向上平移k个单位，所得的抛物线是y=a(x+h)2+k，若改变平移方向或距离呢？
d.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系有 3 种，是由b2-4ac的符号决定的，具体情况是：当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个不同的交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有1个交点，当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
e.用待定系数法求二次函数解析式.
设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于系数的方程组；解方程组，求出系数的值，从而得出函数解析式.
f.自变量取值范围有条件限制时，如何求二次函数的最值？
确定二次函数在取值范围内的增减性，比较函数在最高（低）点和端点的取值.
②试画本章知识结构框图:
2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生复习提纲完成情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4．强化：二次函数的图象及性质.
1.复习指导：
（1）复习内容：典型剖析、考点跟踪.
（2）复习时间：10分钟.
（3）复习方法：小组合作、研讨.
（4）复习参考提纲：
①二次函数y=-x2-2x+8的图象开口向 下 ，对称轴是 直线x=-1 ，顶点坐标为(-1,9)，与x轴的交点坐标是（-4，0），（2，0），与y轴的交点坐标是（0，8）.
②二次函数y= 2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为，最小值是3．
③如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（D）
A.y的最大值小于0 B.当x=0时，y的值大于1
C.当x=-1时，y的值大于1 D.当x=-3时，y的值小于0
第③题图 第④题图
④二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
⑤已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,4)，与x轴相交的两点间的距离为6，求此抛物线的解析式.
设抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴相交的两点间的距离为6，
∴与x轴正半轴交点坐标为（2，0）.
∴，解得.
∴此抛物线的解析式为.
⑥某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x元．求：
Ⅰ.房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
Ⅱ.该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
Ⅲ.每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆的利润最大？
解：Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅲ.宾馆的利润
.
当x=210时，w有最大值.
即当每个房间每天的定价增加210元时，宾馆的利润最大.
2.自主复习：学生结合复习指导自主复习.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生提纲的完成情况.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4．强化：利用二次函数模型求最值.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课的学习中，对全章知识你有何新的收获？在哪些方面还存在问题？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的积极性、主动性，小组交流协作状况、学习方法、效果等.
（2）纸笔评价：评价检测题.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时是对本章知识点的全面总结，教学时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析过程.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知二次函数y=-x2+4x+5，则当x= 2 时，其最大值为 9 .
2.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= -3.3 .
3.(10分)设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，(x+1)2）是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，(x+1)2的大小关系为（A）
A．y1＞y2＞(x+1)2B．y1＞(x+1)2＞y2C．(x+1)2＞y2＞y1D．(x+1)2＞y1＞y2
4.(40分)已知抛物线.
（1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出函数图象（草图）；
（4）根据图象说出：x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时,y随x的增大而减小？
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-7）.
（2）与x轴的交点为，.
与y轴的交点为.
（3）如图.
（4）当x>3时，y随x的增大而增大.
当x<3时，y随x的增大而减小.
二、综合应用（10分）
5.（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(3，8)，与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y轴交于点D(0，5)．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求该抛物线的顶点M的坐标，并求四边形ABMD的面积．
解：（1）∵抛物线过点（3，8），（-1，0），（0，5），
则 .解得
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
（2）顶点M的坐标为（2，9），对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)，
过M作MN⊥AB于N，则
.
三、拓展延伸（20分）
6.（20分）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.
（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；
（2）设某月的利润为10000元，10000元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润？
解：（1）设每个书包涨价x元，销量为（600-10x）个.
∴y=(40+x)(600-10x)-30（600-10x）
=-10x2+500x+6000(0≤x≤60).
（2）10000元不是最大利润，y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.
当x=25时有最大利润，即售价为65元时，有最大利润12250元.
（3）商家可获得利润，即y＝-10x2+500x+6000＞0，
解得-10
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