初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆学案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆学案设计，共73页。学案主要包含了新课导入，分层学习，评价，强化等内容，欢迎下载使用。
第二十四章 圆
24.1圆的有关性质
24.1.1圆
——圆的相关概念
一、新课导入
1.导入课题：
情景：观察教材第78、79页的图片，欣赏圆形实物，抽象出圆的模型.
问题：车轮为什么要做成圆形而不做成方形的呢？由此导入新课.(板书课题)
2.学习目标：
(1)能叙述圆的描述性定义和集合观点定义.
(2)知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结合图形描述它们.
3.学习重、难点：
重点：圆的定义以及弧与半圆、弦与直径之间的关系.
难点：圆的集合概念的理解.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第79页到第80页的例1.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：看书、观察，并动手操作、思考、归纳.
(4)自学参考提纲：
①按课本图24.1—2的方式动手画圆，体验圆的形成过程：
线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O，读作圆O.
②⊙O上的任一点到圆心O(定点)的距离等于半径(定长)，反过来，到圆心(定点)的距离等于半径(定长)的点都在同一个圆上，即圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
③车轮做成圆形依据的就是轮子上所有点到轮轴的距离都相等.
④如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的做法.
拿一根5m长的绳子，站定一端当做圆的圆心，再让另一个人拉紧绳子的另一端，绕着走一圈，所走的轨迹就是半径为5m的圆.
⑤以例1为例说明怎样证明几个点在同一个圆上.
分别证明这几个点到圆心的距离等于半径即可.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生对圆的两种定义的学习情况.
②差异指导：从圆的描述性定义中抽象出圆的集合观点定义.
(2)生助生：生生互动交流、研讨.
4.强化：
(1)圆的定义.
(2)证明几个点在同一个圆上：证明这几个点到某一个点的距离都相等即可.
(3)练习：你见过树的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树木的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？
解：23÷2÷20=0.575(cm)
答：这棵树的半径平均每年增加0.575cm.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第80页例1下面部分的内容.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：阅读、分析、理解课文.
(4)自学参考提纲：
①弦与直径有何关系？半径是弦吗？经过圆心的弦叫做直径.半径不是弦.
②什么是弧？什么是半圆？圆上任意两点间的部分叫做弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
③能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
④用几何符号表示右图中所有的弦和弧.
弦：AB、AC; 弧：
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生对这些概念的理解情况，能否结合图形正确表示它们.
②差异指导：根据学情进行概念辨析指导.
(2)生助生：小组内相互交流、订正.
4.强化：
(1)强调半径和直径.
(2)等弧为什么必须在“同圆或等圆中”？解：不在同圆或等圆中的弧不可能重合.
(3)练习：判断下列说法是否正确：(对的打“√”，错的打“×”)
①弦是直径(×) ②直径是弦(√)
③直径是圆中最长的弦(√) ④弧是半圆(×)
⑤半圆是弧(√) ⑥同圆中，优弧与劣弧的差是半圆(×)
⑦长度相等的弧是等弧(×) ⑧两个半圆是等弧(×)
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组代表总结学习收获和存在的问题与疑点.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生在学习过程中的态度、方法、成效和存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们学习的兴趣.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
1.(10分)下列说法正确的是(D)
A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧，弧是半圆
C. 弦是圆上两点之间的部分 D. 半径不是弦，直径是最长的弦
2.(10分)下列说法中，不正确的是(D)
A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．长度相等的两条弧是等弧
3.(10分)一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是5 cm.
4.(10分) 在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是圆.
5.(10分)如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是60°.
6.(20分)已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：OC=OD．
证明：∵OA、OB为⊙O的半径，
∴OA=OB. ∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，∴△ACO≌△BDO.
∴OC=OD.
二、综合应用(20分)
7.(20分)已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证：A、B、C三点在同一个圆上.
证明：作AB的中点O，连接OC.
∵△ABC是直角三角形.
∴OA=OB=OC=12AB.
∴A、B、C三点在同一个圆上.
三、拓展延伸(10分)
8.(10分) 求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD，
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中，
OC+OD＞CD，
∴AB＞CD.
即直径是圆中最长的弦.
24.1.2垂直于弦的直径
——垂径定理及其推论
一、新课导入
1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题)
2.学习目标：
(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.
(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
(3)能利用垂径定理解决相应问题.
3.学习重、难点：
重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.
难点：利用垂径定理进行计算或证明.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.
(2)自学时间：2分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.
a. 通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有无数条对称轴.
b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？
不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？
a. 要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.
b. 怎样证明两点关于已知直线对称？
两点的连线被已知直线垂直平分.
c. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于点C,D的任意一点，过A作AA′⊥CD，垂足为M.交⊙O于点A′，下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.
如图，连接OA,OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′，
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD,
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
∴点A′、A关于直径所在的直线对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
2.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.
②差异指导：指导学生探究证明思路.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
(2)要证某图形是轴对称图形，只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①垂径定理：

b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
②垂径定理的推论：
b. 反例：当弦AA′为直径时，结论还成立吗？为什么？
不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.
c. 限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.自学：学生可结合自学指导相互研讨学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.
②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化:
(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.
(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两条弧.


1.自学指导：
(1)自学内容：教材第83页“练习”第1题.
(2)自学时间：4分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①线段OE满足垂径定理的题设条件：条件1：AB是弦；条件2：OE⊥AB.
②依据垂径定理得， AE=12AB=BE.
③要求⊙O的半径，只需连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理，就可求得⊙O的半径为5.
④给出你的解答过程：

2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生：
①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.
②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.
(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.
4.强化:
(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.
(2)设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有 因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.
(3)练习：如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为，求圆心O到弦AB的距离.
解：如图，作OE⊥AB，垂足为E，则OE垂直平分AB.


1.自学指导：
(1)自学范围：教材第82页例2.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.
(4)自学参考提纲：
2.自学：学生依据自学指导自主学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.
②差异指导：根据学情合理指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
3.强化：
(1)强调常规辅助线和解题规范.
(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m，则这条管道中的水最深为0.4m.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有哪些收获？还有何困惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.
(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分) 下列说法中正确的是(B)
A. 在同一个圆中最长的弦只有一条
B. 垂直于弦的直径必平分弦
C. 平分弦的直径必垂直于弦
D. 圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.(10分)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(C)
A. ∠AOD=∠BOD B. AD=BD
C. OD=DC
3.(10分)半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的长是6.
4.(10分)如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.
∴四边形ADOE是矩形.
又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,
∴AE＝AC＝AB＝AD,
∴四边形ADOE是正方形.
5.(10分)如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：
(1)∠AOB的度数；
(2)点O到AB的距离.
解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.
(2)作OM⊥AB，则∠AOM=∠AOB=30°.

即点O到AB的距离为25mm.
6.(10分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解：连接OC.
∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.
设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=cm2+Om2，即r2=22+(6-r)2.解得r=，即⊙O的半径为m.
8.(10分)如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,
则AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.

二、综合应用(10分)
9.(10分) ⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：分两种情况讨论.
第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.

第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，
如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，
∴EM=OM+OE=17cm.
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.

三、拓展延伸(10分)
10.(10分) 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON.
理由如下：连接OA、OC.
则OA＝OC. ∵ON⊥CD, OM⊥AB,
∴CN＝CD,AM＝AB.
又∵AB＞CD,∴CN＜AM,
∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,
∴Om2＜ON2.∴OM＜ON.
24.1.3 弧、弦、圆心角
一、新课导入
1.导入课题：
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(板书课题)
2.学习目标：
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.
(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.
(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
3.学习重、难点：
重点：弧、弦、圆心角关系定理.
难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第83页至第84页例3之前的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和任意角度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转之后的图形 都与原图形重合.
②顶点在圆心的角叫做圆心角.

重合


④结论：在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)弧、弦、圆心角关系定理，尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”.
(2)该定理可以实现角、线段(弦)、弧的相互转换.
(3)练习：如图，AB,CD是⊙O的两条弦.


解：相等.理由：
∵OE⊥AB,OF⊥CD，由垂径定理得AE=BE=AB，CF=DF=CD.
又AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中，
OA=OC,AE=CF,
∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴OE=OF.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第84页例3.
(2)自学时间：3分钟.
(3)自学方法：阅读理解，推理论证.
(4)自学参考提纲：

它们所对的弦AB=BC=AC，或证明它们都是120°.
b.在每一步后面填上相应的依据:
证明：
∴AB=AC(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等).
又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等).
c. 你还有其他的证法吗？

∴AB＝AC. 又∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
易证△AOB≌△BOC≌△AOC,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.

2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：观察学生是否会用定理实现角、线段、弧的转换.
②差异指导：看图逐步适应从直线到曲线的过渡.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性，小组合作情况、存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探究的良好习惯，培养动手解决问题的能力.
(2)本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
A．36° B．72° C．108° D．48°
2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60°.
3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．


二、综合应用(20分)
6. (20分)如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C的中点，求证：四边形OACB是菱形.
证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.
又∵OA=OC=OB,
∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.
又∠AOB=120°,∴AC∥OB.
∵AC=OC=OB,
∴四边形OACB是平行四边形.
又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.

三、拓展延伸(10分)
7.(10分)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．

(2)解：对称.理由：连接OB、OC. 则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
∴点B与点C关于直线OE对称.
24.1.4 圆周角
一、新课导入
1.导入课题：
情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？
由此导入课题.（板书课题）
2.学习目标：
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.
(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.
(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.
3.学习重、难点：
重点：圆周角定理及其推论.
难点：圆周角定理的证明与运用.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
1）圆周角的概念
①顶点在 圆上 ，并且两边 都与圆相交 的角叫做圆周角.
②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.

② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？
②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.
a.如图，∠ACB=∠AOB.
b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？
可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.
③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？
有3种位置关系.
③ 证一证：

a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:

b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得.
c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得

⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 .
2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内交流、研讨.
4.强化：
（1）圆周角定理的内容.
（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.
（3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.

a.如图1，∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB，
∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.
即同弧所对的圆周角 相等 .
b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.
∵∠ACB=∠AOB, ∠ADE=∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.
即等弧所对的圆周角 相等 .
c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角 相等 .
d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？
∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8
②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 .为什么？
因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.
90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.
④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？

第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.
④如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴在中，.
同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°,
∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.
在中，AD2+BD2=AB2,∴.
⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？
能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
两直径交点就是圆心.
2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否会完成任务.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内交流、研讨.
4.强化：
（1）常规辅助线：遇直径，想直角.
（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：7分钟.
（3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
②在图中标出和所对的圆心角，这两个圆心角有什么关系？
∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度.
③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 互补 .
④练习：
a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝ 50° ，
∠BCD＝ 130° .
b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠B=110°.
c.求证：圆内接平行四边形是矩形.
∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，
∴圆内接平行四边形四个角都是直角.
∴圆内接平行四边形是矩形.
d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形.
连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，
∴∠C+∠ABE=180°.
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.
∴∠D+∠ABF=180°.
又∵∠ABE+∠ABF=180°.
∴∠C+∠D=180°.
∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形EFDC是平行四边形.
2.自学：学生可结合自学指导自主学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：生生互动，交流研讨.
4.强化：
（1）圆内接四边形的性质.
（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.
（3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.
解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°,
∴∠A＝45°，∠C＝135°.
又∠A∶∠B＝2∶3,
∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.
（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（80分）
1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）

2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）
A.15° B.40° C.5° D.35°

3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° .
4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125° .
5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.
又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.
∴.
7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形.证明如下：
∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,
∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
二、综合应用（10分）
9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是上一动点（点F不与B、C重合），A是上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数;
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.
解：（1）连接OA，交BF于点M.
∵A是上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=∠AOB=×40°=20°,
即β=20°.
（2）β=45°-α.
证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB,
∴β＝（90°-α）＝45°-α.
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
一、新课导入
1.导入课题：
问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
这个问题与我们今天要学习的内容密切相关.（板书课题）
2.学习目标：
（1）知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.
（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.
（3）知道三角形外心的概念及其性质.
（4）了解反证法的证明思想及一般步骤.
3.学习重、难点：
重点：点和圆的位置关系；三角形的外心及其性质.
难点：反证法.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第92页的内容.
（2）自学时间：4分钟.
（3）自学方法：阅读理解，观察归纳.
（4）自学参考提纲：
①设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则

②教材中“点P在圆上d=r”是什么意思？
点P在圆上可以推出d=r，反过来d=r也可以推出点P在圆上.
③圆可以看成是 到圆心距离等于定长（半径）的点的集合；
圆的内部可以看成是 到圆心距离小于定长（半径）的点的集合；
圆的外部可以看成是 到圆心距离大于定长（半径） 的点的集合.
④体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m,他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
小明投出的铅球在④区域，小丽投出的铅球落在③区域.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学困生的答题情况.
②差异指导：主要指导学困生.
（2）生助生：生生互动，交流研讨，改正.
4.强化：
（1）点和圆的三种位置关系及其判定方法.
（2）设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP=3，则点P在圆 外 .
（3）画出由所有到已知点O的距离大于或等于1cm并且小于或等于2cm的点组成的图形.
解：如图所示.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第93页“探究”至第94页的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：阅读，思考，动手操作，推理归纳.
（4）自学参考提纲：
①过一个已知点A作圆，这样的圆能作 无数 个,在图(1)中作图探究.
②过两个已知点A、B作圆，这样的圆能作 无数 个，满足条件的圆的圆心在 线段AB的垂直平分线上 ,在图(2)中作图探究.

③过不在同一直线上的三个已知点A、B、C作圆,在图(3)中作图探究.
a.因为要作的圆过点A和点B，所以圆心在 AB的垂直平分线 上.
b.因为要作的圆过点B和点C，所以圆心在 BC的垂直平分线 上.
所以经过点A、B、C的圆的圆心在 AB、BC垂直平分线的交点 上，这样的圆能作1个.
c.如右图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 2 次就可以找到圆形工件的圆心．
d.经过四个点是不是一定能作圆？不一定.
④由③可得：不在同一直线上的三点 确定一个圆 .
⑤三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离 相等 .
⑥假设 命题的结论不成立 ，由此经过推理得出 矛盾 ，由 矛盾 断定假设不正确，从而得到原命题 成立 ，这种方法叫反证法，反证法是一种 间接证法 (填“直接证法”或“间接证法”).
⑦用反证法说明经过同一直线上的三个点不能作出一个圆的道理.
假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，
又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l，l2⊥l,
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1）师助生：
①明了学情：看学生能否在提纲的指引下顺利画圆.
②差异指导：根据学情确定指导方案.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨、帮助画图.
4.强化：
(1）不在同一直线上的三点作一个圆的作法.
(2）三角形的外心及其性质.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、动手情况、小组交流协作情况以及存在的问题等.
（2）指标评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手操作的能力.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(20分)判断下列说法是否正确：
（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. （√）
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. （×）
（3）经过三点一定可以确定一个圆. （×）
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. （√）
2.(10分)⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在圆内；点B在圆上 ；点C在圆外．
3.(10分)若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（B）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4.(30分)如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，它们的外心位置有什么特点？

解：如图所示：
锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形的外接圆的圆心在三角形斜边中点处，锐角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.
二、综合应用（20分）
5.(20分)爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？为什么？
解：∵导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，导火索的长度是18cm.
∴导火索燃烧完需18÷0.9=20（s）.
又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，
则导火索燃烧完撤离的最大距离为6.5×20=130（m）.
∵130＞120，∴安全.
三、拓展延伸（10分）
6.(10分)某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
（2）连接AB、BC；
（3）分别作出AB、BC的垂直平分线；
（4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
24.2.2直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
一、导学
1.导入课题：
情景：如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？

问题：直线和圆有几种位置关系？怎样判断直线和圆这几种位置关系？
2.学习目标：
（1）知道直线和圆的位置关系及有关概念.
（2）会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系.
3.学习重、难点：
重点：直线和圆的三种位置关系.
难点：如何判定直线和圆的位置关系.
4.自学指导：
(1)自学内容：教材第95页到第96页的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：阅读，观察，画图，推理.
(4)自学参考提纲：
①（学生活动）在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，移动直尺，你能得出直线和圆的位置关系吗？
②在纸上画一条直线，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现钥匙环与直线的公共点个数的变化情况吗？

③填写下表：

④设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则，
直线l与⊙O相交d < r；
直线l与⊙O相切d = r ；
直线l与⊙O相离d > r.
二、自学学生结合自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：关注学生得出直线与圆相切这种特殊位置关系的情况.
（2）差异指导：指导学生直线与圆相切的画图.
2.生助生：生生互动、协作交流.
四、强化
1.直线和圆的三种位置关系及两种判定方法.
2.例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2cm(2)r＝2.4cm(3)r＝3cm
解：(1)相离，因为rd.
3.练习1：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.

4.练习2：圆的直径是13cm，如果圆心到直线的距离分别是：
(1)4.5cm； (2) 6.5cm； (3) 8cm.
那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
解：(1)相交，有两个公共点.(2)相切，有一个公共点.(3)相离，无公共点.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你有哪些收获？还有哪些疑问？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的积极性、专注度、学习效果和存在问题等.
(2)指标评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种位置关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看圆心到直线的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（C）
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
2.(10分)直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（A）
A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6
3.(10分)⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系为 相切 .
4.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 相交 .
5.(30分)如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，OM＝5cm，以点M为圆心，r为半径的⊙M与直线OA有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2cm;（2）r＝4cm;（3）r＝2.5cm.
解：过M作MN⊥OA,垂足为N.
∵∠AOB=30°,∠MNO=90°,
∴MN=OM=2.5cm.
所以(1)⊙M与直线OA相离，因为rMN.
(3)⊙M与直线OA相切.因为r=MN.
二、综合应用（20分）
6.(10分)已知⊙O的半径为，直线l与点O的距离为d，若直线l与⊙O有公共点，则（D）
A.d﹥ B.d= C.d﹤ D.d≤
7.(10分)直线l 和⊙O有公共点，则直线l与⊙O（D）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为（4，2），现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D的坐标为(1，1)和(3，1).

24.2.2直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
一、新课导入
1.导入课题:
情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?

这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）
2.学习目标:
（1）能推导切线的判定定理和性质定理.
（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.
3.学习重、难点：
重点：切线的判定定理与性质定理.
难点：切线的判定与性质的初步运用.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第97页的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.
（4）自学提纲：
①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？
a.直线l满足的条件是 经过A点且垂直于OA .
b.直线l和⊙O的位置关系是 相切 ，为什么？
②经过 半径的外端 并且 垂直于这条半径 的直线是 圆的切线 .
③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.
④请总结一下判定切线共有哪几种方法？
a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.
b.切线的判定定理.
2.自学：学生参照自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.
4.强化：
（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.
（2）常见的辅助线作法及证法：
①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.
②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.
（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？
解：是.理由：
∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.
又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读、思考、归纳.
（4）自学提纲：
①如图， OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？
l⊥OA.
②切线的性质定理：圆的切线 垂直于 过 切点 的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.
③切线共有哪些性质？
a.切线与圆只有一个公共点.
b.圆心到切线的距离等于半径.
c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.
d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.
e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.
④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线.
2.自学：学生参照自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.
②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.
4.强化：
（1）
.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.
证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列说法正确的是（B）
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）
A.24° B.25° C.28° D.30°

3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为cm.
4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.
∴AP=BP（垂径定理）.

5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.
又∵∠B=∠CAD.
∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.
∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.
证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.
∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.
又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.
∴∠E=90°.即DE⊥AC.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.
解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.
24.2.2直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
一、新课导入
1.导入课题：
情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).
2.学习目标：
（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.
（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
3.学习重、难点：
重点：切线长定理及其运用.
难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.
②在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间线段的长 叫做这点到圆的切线长，
如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.
③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？
PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.
④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.
文字语言：从圆 外 一点引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，
这一点和圆心的连线 平分 两条切线的 夹角 .
几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.
∴PA = PB,OP平分 ∠APB .
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.
②差异指导：根据学情确定指导方案.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）切线长定理及它的证明.
（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？
解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.
解得r=3. 即⊙O的半径长为3.

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.
(4)自学参考提纲：
①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.
因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；
因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；
所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.
a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；
b.过I作ID⊥BC于D，以 I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.
②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.
③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.
设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.
解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.
2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.
②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.
（2）生助生：生生互动，交流，研讨.
4.强化：
(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.
(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB=×（50°+75°）＝62.5°.
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）
A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm

2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）
A.172° B.130° C.133° D.100°
3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝.
4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且xY⊥WY,这个油桶底面半径是多少?
解：设圆心为O，连接OW,Ox.
∵YW,Yx均是⊙O的切线，
∴OW⊥WY,Ox⊥xY，
又∵xY⊥WY,∴∠OWY＝∠OxY＝∠WYx＝90°，
∴四边形OWYx是矩形，又∵OW=Ox.
∴四边形OWYx是正方形.∴OW=WY=1.65m.
即这个油桶底面半径是1.65m.
二、综合应用（15分）
6.(15分)△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC）
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC.
则
.
三、拓展延伸（15分）
7.(15分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.
∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.
∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.
∴在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm）.
24.3正多边形和圆
一、新课导入
1.导入课题：
情景：欣赏下面图片.

问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
2.学习目标：
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.
（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.
3.学习重、难点：
重点：正多边形的有关概念与计算.
难点：正多边形的有关计算.
二、分层学习

1.自学指导：
(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：完成自学参考提纲.
(4)自学参考提纲：
①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形.
②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
是轴对称图形，不一定是中心对称图形.
③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.
中心：点O.半径：OC、OE、OF.
中心角：∠EOF.边心距：OM.
④正n边形的每个内角都为，每个外角都为，中心角为.
⑤有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).
解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC,∵ABCDEF是正六边形,
∴△OBC为正三角形,∴∠MOC=∠BOC=30°，OB=BC=OC.
∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMC中，∵∠MOC=30°，∴MC=OC=2m.
∴OM=OC2-MC2=m.
∴.
∴.
即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)正多边形的相关概念.
(2)正n多边形的对称性.
(3)填表：



1.自学指导：
(1)自学内容：教材第107页的内容.
(2)自学时间：4分钟.
(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解.
(4)自学参考提纲：
①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是 作相等的圆心角 ；第二种方法的依据是在圆上作相等的弧.
②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.

2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否明白画图的依据.
②差异指导：根据学情进行指导.
(2)生助生：生生互动，交流、研讨.
4.强化：正多边形的画法.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列说法中正确的是（ C ）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
2.(10分)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A）
A.36° B.18° C.72° D.54°
3.(10分) 如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使直角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（A）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(20分) 如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°.AB＝a,AC＝b.过B作BD⊥AC于点D,
则AD=DC=b.
在Rt△ABD中，∠BAC=30°,
∴BD=AB=3mm.
∴（mm）.
∴b=2AD=63mm.
即扳手张开的开口b至少要mm.
5.(20分) 如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
解：设正八边形的边长为xcm,
则.即x2+8x-16=0.
解得， (舍去).
∴剪去的四个小三角形的面积为cm2.
∴正八边形的边长为cm,面积为.
二、综合应用（20分）
6.(20分) 如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.
（1）求证：△BCF≌△CDM；
（2）求∠BPM的度数.
（1）证明：∵ABCDE是正五边形，
∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM,
∴△BCF≌△CDM.
（2）解：由（1）知∠FBC=∠MCD，
∴∠BPM=∠FBC+∠BCM=∠MCD+∠BCM=∠BCF=×180°=108°.三、拓展延伸（10分）
7.(10分) 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（B）

A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
24.4弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
一、新课导入
1.导入课题：
情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
问题：怎样求一段弧的长度呢？
这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).
2.学习目标：
（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.
（2）知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.
3.学习重、难点：
重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.
难点：阴影部分面积的计算.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第111页的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.
（4）自学参考提纲：
①圆的周长公式是什么？C＝2πR.
②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？
圆可以看作是360度的圆心角所对的弧.
1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？
n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？
所以在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的公式是.
③由弧长公式可知，一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知其中的两个，就可求出第三个.
如已知l和n，则R＝；已知l和R，则n＝.
④计算图中弯道的“展直长度”.
解：由弧长公式，得的长≈1570(mm).
因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm).
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.
（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1米）.
解：由得 (米).

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①圆的面积公式是什么？S＝πR2
②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？
圆的面积可以看作是圆心角为 360 度的扇形面积.
圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？
圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？
所以在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S扇形的公式是.
③试推导扇形的面积公式（这里的l指扇形的弧长，R指半径）.
.
④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.
a.怎样求圆心角∠AOD的度数？
在Rt△ADO中，OD=OC-DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=2∠AOD=120°.
b.阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积.
c.写出本题的解答过程.
解：如图，连接OA、OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交于点C，连接AC.
∵OC＝0.6m,DC＝0.3m,∴OD＝OC-DC＝0.3（m）.∴OD＝DC.又AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线.∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
∴.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD时遇到的困难情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.
（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.
（3）练习：已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以12a为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S.
解：连接AD,则AD⊥BC, .
∴.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π.
2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是6cm.
3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是150°.
4.(20分)如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）
解：（mm）.
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：.
答：它能喷灌的草坪的面积为.
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，求贴纸部分的面积.
解： (cm2),
(cm2),
∴ (cm2).
答：贴纸部分的面积是cm2.
三、拓展延伸（共10分）
7.(10分)正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
解：方法一：.
方法二：.
答：图中阴影部分的面积为.
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
一、新课导入
1.导入课题：
情景：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽.如图，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
本节课将学习圆锥的侧面积和全面积.(板书课题)
2.学习目标：
（1）知道什么是圆锥的母线，知道圆锥的侧面展开图是扇形.
（2）知道圆锥的侧面积和全面积的计算方法，会求圆锥的侧面积与全面积.
3.学习重、难点：圆锥侧面积和全面积的计算方法.
二、分层学习

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第113页“练习”以下第114页例3上面的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合展开图模型理解和阅读.
（4）自学参考提纲：
①圆锥是由 一个底面 和 一个侧面 围成的几何体，连接圆锥 顶点 和 底面圆周上任意一点 的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线处处相等.
②如图,沿圆锥的任意一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是扇形.该扇形的半径就是就是圆锥的母线长.扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
③若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，试求圆锥的侧面积和全面积.

2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对自学参考提纲第③题的求解过程.
②差异指导：合理选择扇形的面积计算公式.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）圆锥的侧面积，注意结合展开图模型理解.
（2）练习：圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是160°，全面积是5200πcm2.

1.自学指导：
（1）自学内容：教材第114页例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读，观察，猜测，计算.
（4）自学参考提纲：
①例题中所求的问题实际上就是要求哪些图形的侧面积？
圆锥的侧面积和圆柱的侧面积.
②上部圆锥的母线是怎样求的？圆锥的侧面积又是如何计算的？
上部圆锥的母线是用勾股定理，使高和底面半径分别为直角边来求得的.
圆锥的侧面积是根据×圆锥的母线长×底面周长来求得的.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：能否理清例题的计算思路.
②差异指导：结合课本图形引导学生分析.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）实际问题抽象成数学问题.
（2）根据实际问题需灵活运用公式进行计算.
（3）练习：
①已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12cm、弧长为12πcm的扇形.求这个圆锥的侧面积、高(结果保留根号和π).
解：.
.
②如图，圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm，母线长50cm,制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
解：

三、评价
1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的专注度、小组交流协作状况、学习效果及存在的问题等.
(2)纸笔评价：课题评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
（1）本节课从观察圆锥模型开始,通过猜想侧面展开图的形状,然后由老师具体操作验证结论的正确性,并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式,培养了学生观察、猜想、探究等方面的能力.
（2）本小节教学是复习圆周长公式推出弧长公式，复习圆面积公式推出扇形面积公式，是小学基础知识上的提升，圆柱和圆锥的侧面积的计算，是将立体图形化为平面图形，通过具体操作，学生可以获得直观的感受，对于学习高中立体几何，会大有帮助.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高为（D）
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
2.(10分)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（D）
A.60° B.90° C.120° D.180°
3.(10分)已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（B）
A.15π B.24π C.30π D.39π
4.(20分)如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为32 m，母线长为7 m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少为多少平方米？
解：
答：所需油毡的面积至少是112m
5.(20分)如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴,
,
∴.
二、综合应用（20分）
6.(20分)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把它分别沿三边所在直线旋转一周，求所得的三个几何体的全面积.
解：,第一个几何体：绕AC旋转.
.
第二个几何体：绕BC旋转.
.
第三个几何体：绕AB旋转，底面半径.

三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，从一个直径是1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？
解：连接BC,AO,则AO⊥BC.
∵OA=m,∠BAO=45°，
∴m.
∴ (m2).
∴被剪掉部分的面积为.
∵（m）,
∴圆锥的底面半径为（m）.
数学活动—— 圆的探究活动
一、活动导入
1.导入活动:日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（板书课题）
2.活动目标:
（1）通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.
（2）探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.
（3）以圆和正多边形为基本图形设计图案.
3.活动重、难点：
重点：探究能过四边形的四个顶点作圆的条件；以圆和正多边形为基本图形设计图案.
难点：设计图案.
二、活动过程
活动1 车轮做成圆形的数学道理
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第118页活动1.
（2）活动时间：6分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①按照课本活动1的要求，用笔画出下面两个图形中圆和正方形运动时的中心的运动轨迹.
②车辆在平坦的路面行驶时，圆形车轮的中心经过的路线是直线，
正方形车轮的中心经过的路线是曲线.
③坐在圆形车轮的车上会很平稳.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生画圆和正方形的中心的运动轨迹等方面的情况.
②差异指导：对困难学生制作纸板和跟踪图形中心的运动轨迹等方面进行指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
（1）圆在直线上滚动时，圆心的轨迹是直线.
（2）正方形在直线上翻滚时，其中心的轨迹是一段段以对角线长的一半为半径，90°的弧连接而成的曲线.
活动2 探究四点共圆的条件
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第119页活动2.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①怎样作三角形的外接圆？
找其外心，再以外心到顶点的长为半径作圆即可.
②过平行四边形，矩形，正方形，菱形的四个顶点能作圆吗？如果能，这个四边形相对的两个内角之间有何关系？
过平行四边形、菱形的四个顶点不能作圆，过矩形和正方形的四个顶点可以作圆.相对的两个内角和为180°.
③如果过四边形的四个顶点不能作圆，那么这个四边形的对角和与180°之间有何关系？试用教材第119页图4分两种情况给予证明.
④如果一个四边形 对角互 补，那么过这个四边形的四个顶点可以作一个圆.
⑤请自己查找资料，归纳证明四点共圆的方法.
证明：如图，(1)连接对角两点，以其中一个三角形(ABC)作圆.
(2)分别连接对的两(上述)点与圆心，根据圆心角等于圆周角两倍.
则∠2=2∠A,∠1+∠2=360°
∠1=360°-∠2,因为∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以，∠D是∠1.
对应的圆周角，即PD也在圆上.命题得证.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学:
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会表示四个顶点不共圆的四边形的对角和与180°之间的不等关系.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：四点共圆的条件和证明方法.
活动3 设计图案
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第119页至第120页的活动3.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①通过等分圆周设计图案(仿照图6).
②利用正多边形平面镶嵌的性质设计图案.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会等分圆周，是否了解哪些正多边形组合可以平面镶嵌.
②差异指导：为困难学生提供等分圆周、正多边形组合平面镶嵌等方面的知识和方法.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：等分圆周的方法，正多边形组合平面镶嵌的条件.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时设计了三个活动，分别探究了车轮做成圆形的数学道理、四点共圆的条件、设计与圆有关的图案，能够激发学生的探究兴趣，教师给予适当的引导，让学生知道从哪里入手，运用什么具体知识.设计图案活动则要鼓励学生大胆动手操作，培养他们思维的灵活性与空间想象能力.

（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，则∠D等于(B)
A.36° B.72° C.144° D.54°
2.（10分）下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（D）

A B C D
3.（10分）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（B）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
4. （10分）如图（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为4∶9.

5.（10分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4π cm.

6.（10分）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 8 .

第6题图 第7题图
7.（10分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π-4 .
二、综合应用（20分）
8. （20分）如图，在△ABC中， AD⊥BC， DE⊥AB， DF⊥AC.求证： B、E、F、C四点共圆.
证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四点共圆.
∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC,
∴∠DAF+∠C=90°.
∴∠DEF+∠C=90°.
∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.
∴B、E、F、C四点共圆.
三、拓展延伸（10分）
9.（10分）如图， E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证： E、F、G、H四点共圆.
证明：连接OE、OF、OG、OH.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
又∵E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边中点,
∴OE=OF=OG=OH=AB=BC=CD=DA.
∴E、F、G、H四点共圆.
章末复习
一、复习导入
1.导入课题：本节课对全章的知识作一回顾，梳理其知识脉络，熟悉其知识构架，进一步澄清那些易混点，易错点，同时对本章中的一些常用辅助线和常见分类作一整理.
2.复习目标：
（1）梳理全章知识点，能画出它的知识结构框图.
（2）总结解题方法，提升解题能力.
3.复习重、难点：
重点：圆的有关性质和直线与圆的位置关系.
难点：综合应用知识解决问题的能力.
二、分层复习

1.复习指导：
（1）复习内容：教材第78页到第122页的内容.
(2)复习时间：10分钟.
（3）复习方法：翻阅教材，分类归纳、整理.
（4）复习参考提纲：

②常规辅助线.
a.与弦有关：垂直于弦的直径.
b.已知直径：垂直于直径的弦.
c.证切线：有明确公共点，连接圆心与公共点；无明确公共点，过圆心作切线的垂线段.
d.已知切线：垂直于切线且过切点的半径.
③圆中的分类讨论（各举一例和同桌交流）.
a.点和圆的位置关系：点到圆的最近距离和最远距离问题.
b.圆的轴对称性：求圆的两平行弦的距离;求有公共端点的两弦夹角.
c.弦所对的圆周角.
d.与三角形的外心有关的计算.
2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生提纲中三个方面的整理情况.
②差异指导：根据学情进行分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正.
4.强化：小组展示复习成果，教师总结归纳.

1.复习指导：
（1）复习内容：典例剖析，考点跟踪.
(2)复习时间：10分钟.
（3）复习方法：相互交流研讨.
（4）复习参考提纲：
①如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为（A ）
A.8cm B. cm C.6cm D.2cm
②如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8cm，AB＝10cm，求OA的长.
连接OC. ∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°.
又∵OA=OB,∴AC=CB=AB=5cm.
在Rt△AOC中，（cm）.
③如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度考虑）
∵A在圆外，B在圆上，∴∠PAQ