新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题1　第5讲　母题突破3　零点问题（含解析）

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(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内的零点个数．
思路分析
❶求f′x，判断f′x的符号
↓
❷等价变形Fx＝0，构造新函数hx＝xsin x－excs x
↓
❸分类讨论hx的单调性
解 (1)函数f(x)＝eq \f(ex,x)的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝eq \f(exx－ex,x2)＝eq \f(exx－1,x2)，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，
h′(x)＝ex(sin x－cs x)＋(xcs x＋sin x)>0，
则h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增．
又heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(π,2)>0，
heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(π,4)－eq \f(\r(2),2)· SKIPIF 1 < 0
所以h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上存在一个零点．
综上，h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上零点个数为2，
即F(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的零点个数为2.
[子题1] (2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解 f(x)＝eq \f(xa,ax)＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔eq \f(ln x,x)＝eq \f(ln a,a)，
设函数g(x)＝eq \f(ln x,x)，
则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
令g′(x)＝0，得x＝e，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)