年终活动
搜索
    上传资料 赚现金
    英语朗读宝

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析)

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析)第1页
    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析)第2页
    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析)第3页
    还剩11页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析)

    展开

    这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点13 截面、交线问题(含解析),共14页。
    考点一 截面问题
    考向1 多面体中的截面问题
    例1 (多选)如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则( )
    A.平面α截正方体的截面可能是三角形
    B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为2eq \r(6)
    C.点D到平面α的距离的最大值为eq \f(2\r(6),3)
    D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形
    答案 BCD
    解析 如图,建立空间直角坐标系,延长AE与z轴交于点P,
    连接PF与y轴交于点M,
    则平面α由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知截面不可能为三角形,故A错误;当F与C1点重合时,平面α截正方体的截面为边长为eq \r(5)的菱形,易得截面面积为2eq \r(6),故B正确;当F为CC1的中点时,易知平面α截正方体的截面为五边形,故D正确;
    D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),
    设点M的坐标为(0,t,0)(t∈[2,4]),
    eq \(DA,\s\up6(→))=(2,0,0),eq \(AM,\s\up6(→))=(-2,t,0),eq \(PA,\s\up6(→))=(2,0,-4),
    则可知点P到直线AM的距离为
    d=eq \r(|\(PA,\s\up6(→))|2-\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(PA,\s\up6(→))·\(AM,\s\up6(→)),|\(AM,\s\up6(→))|)))2)=eq \r(\f(20t2+64,4+t2)),
    S△APM=eq \f(1,2)eq \r(t2+4)·d=eq \r(5t2+16).
    S△PAD=eq \f(1,2)×2×4=4,
    设点D到平面α的距离为h,
    利用等体积法VD-APM=VM-PAD,
    即eq \f(1,3)·S△APM·h=eq \f(1,3)·S△PAD·t,
    可得h=eq \f(4t,\r(5t2+16))=eq \f(4,\r(5+\f(16,t2))),
    因为h=eq \f(4,\r(5+\f(16,t2)))在t∈[2,4]上单调递增,
    所以当t=4时,h取到最大值为eq \f(2\r(6),3),故C正确.
    考向2 球的截面问题
    例2 (2022·华大新高考联盟联考)已知在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=eq \r(2),AC=2,点E,F分别是线段AB,BC的中点,直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面α截三棱锥S-ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是__________________.
    答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8π,9),\f(3π,2)))
    解析 因为AB2+BC2=AC2,
    故AB⊥BC,又因为SA⊥平面ABC,
    故三棱锥S-ABC的外接球球O的半径
    R=eq \f(\r(2+2+2),2)=eq \f(\r(6),2);
    取AC的中点D,连接BD,BD必过点G,如图所示,
    因为AB=BC=eq \r(2),
    故DG=eq \f(1,3)BD=eq \f(1,3),
    因为OD=eq \f(\r(2),2),
    故OG2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2=eq \f(11,18),
    则过点G的平面截球O所得截面圆的最小半径
    r2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2-eq \f(11,18)=eq \f(8,9),过点G的平面截球O所得截面圆的最大半径为球半径R=eq \f(\r(6),2),
    故截面面积的最小值为eq \f(8π,9),最大值为eq \f(3π,2).
    故截面面积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8π,9),\f(3π,2))).
    规律方法 作几何体截面的方法
    (1)利用平行直线找截面;
    (2)利用相交直线找截面.
    跟踪演练1 (1)(多选)(2022·江苏六校联考)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,侧棱长为3,E,F分别是AB,BC的中点,过点D1,E,F的平面记为α,则( )
    A.平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形
    B.平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为eq \f(7\r(3),2)
    C.平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25
    D.点A1到平面α的距离与点B到平面α的距离之比为1∶3
    答案 BC
    解析 如图,延长EF分别与DA,DC的延长线交于点P,Q,连接D1P,交AA1于点M,连接D1Q,交CC1于点N,连接ME,NF,则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形D1MEFN,故A错误;
    由平行线分线段成比例可得,AP=BF=1,
    故DP=DD1=3,
    则△DD1P为等腰直角三角形,
    由相似三角形可知AM=AE=1,故A1M=2,则D1M=D1N=2eq \r(2),ME=EF=FN=eq \r(2),连接MN,易知MN=2eq \r(2),
    因此五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN,
    等腰梯形MEFN的高
    h=eq \r(\r(2)2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2)-\r(2),2)))2)=eq \f(\r(6),2),
    则等腰梯形MEFN的面积为
    eq \f(\r(2)+2\r(2),2)×eq \f(\r(6),2)=eq \f(3\r(3),2),
    又=eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(6)=2eq \r(3),
    所以五边形D1MEFN的面积为2eq \r(3)+eq \f(3\r(3),2)=eq \f(7\r(3),2),故B正确;
    记平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为V1,V2,

    =eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×3×3-eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1-eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1=eq \f(25,6),
    所以-V2=12-eq \f(25,6)=eq \f(47,6),
    则V1∶V2=47∶25,故C正确;
    因为平面α过线段AB的中点E,所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等,
    由平面α过A1A的三等分点M可知,点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍,
    因此点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍,故D错误.
    (2)(2022·芜湖模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,D为棱AB的中点,则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为________.
    答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π,\f(7π,3)))
    解析 正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心O为上、下底面的外接圆圆心的连线O1O2的中点,连接AO2,AO,OD,如图所示,设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r=AO2=eq \f(2\r(3),3),
    则R2=r2+1=eq \f(7,3).
    ①当过点D的平面过球心时,截得的截面圆最大,截面圆的半径即为球的半径,所以截面圆的面积最大为πR2=eq \f(7π,3);
    ②当过点D的平面垂直OD时,截面圆的面积最小,OD2=OA2-AD2=eq \f(7,3)-1=eq \f(4,3),
    截面圆的半径为eq \r(R2-OD2)=eq \r(\f(7,3)-\f(4,3))=1,
    所以截面圆的面积最小为π·12=π,
    综上,截面面积的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π,\f(7π,3))).
    考点二 交线问题
    考向1 多面体中的交线问题
    例3 在四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形且AD=CD,AB=BD=2,平面α过点A,C,且BD⊥平面α,则平面α与侧面CBD的交线长为________.
    答案 eq \f(\r(7),2)
    解析 如图1,因为△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形且AD=CD,AB=BD=2,
    所以AB=AC=BC=BD=2,AD=CD=eq \r(2),
    所以△BCD与△BAD全等,且为等腰三角形,
    所以在△ABD中,过顶点A作边BD上的高,垂足为E,取AD的中点O,连接OB,如图2,
    因为AB=BD=2,AD=eq \r(2),
    所以OB⊥AD,OB=eq \f(\r(14),2),AE⊥BD,
    所以由等面积法得eq \f(1,2)AD·OB=eq \f(1,2)BD·AE,
    即eq \f(1,2)×eq \f(\r(14),2)×eq \r(2)=eq \f(1,2)×2×AE,
    解得AE=eq \f(\r(7),2),
    所以DE=eq \r(AD2-AE2)=eq \f(1,2).
    所以在△BCD中,过顶点C作边BD上的高,垂足为F,取CD的中点M,连接MB,
    如图3,
    同在△ABD中的情况,可得CF=eq \f(\r(7),2),DF=eq \f(1,2),
    所以点E,F重合,即BD⊥AE(F),BD⊥CE(F),
    因为AE∩CE=E,所以BD⊥平面ACE,
    平面α即为平面ACE,平面α与侧面CBD的交线为线段CF,长度为eq \f(\r(7),2).
    考向2 与球有关的交线问题
    例4 (2022·广州模拟)已知三棱锥P-ABC的棱AP,AB,AC两两互相垂直,AP=AB=AC=2eq \r(3),以顶点P为球心,4为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧,则最长弧的弧长等于________.
    答案 eq \f(4π,3)
    解析 由题设,将三棱锥P-ABC补全为棱长为2eq \r(3)的正方体,O为底面中心,如图所示,
    若AD=AF=2,则PD=PF=4,即D,F在以P为球心,4为半径的球面上,
    又OA=eq \r(6)>2,OP=3eq \r(2)>4,
    所以,平面ABC与球面所成弧是以A为圆心,2为半径的四分之一圆弧,故弧长为π;
    平面PBC与球面所成弧是以P为圆心,4为半径且圆心角为eq \f(π,3)的圆弧,故弧长为eq \f(4π,3);
    平面PBA,PCA与球面所成弧是以P为圆心,4为半径且圆心角为eq \f(π,12)的圆弧,故弧长为eq \f(π,3);
    所以最长弧的弧长为eq \f(4π,3).
    规律方法 找交线的方法
    (1)线面交点法:各棱线与截平面的交点.
    (2)面面交点法:各棱面与截平面的交线.
    跟踪演练2 (1)(2022·泸州模拟)已知三棱锥P-ABC的底面△ABC为等腰直角三角形,其顶点P到底面ABC的距离为4,体积为eq \f(16,3),若该三棱锥的外接球O的半径为eq \r(13),则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为( )
    A.6π B.12π
    C.2eq \r(3)π D.4eq \r(3)π
    答案 D
    解析 依题意得,设底面等腰Rt△ABC的直角边长为x(x>0),
    ∴三棱锥P-ABC的体积
    V=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×x2×4=eq \f(16,3),
    解得x=2eq \r(2).
    ∴△ABC的外接圆半径为
    r1=eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)=2,
    ∴球心O到底面ABC的距离为
    d1=eq \r(R2-r\\al(2,1))=eq \r(13-4)=3,
    又∵顶点P到底面ABC的距离为4,
    ∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.
    当球心在底面ABC和截面圆之间时,
    球心O到该截面圆的距离为d2=4-3=1,
    ∵截面圆的半径为r2=eq \r(R2-d\\al(2,2))=eq \r(13-1)=2eq \r(3),
    ∴顶点P的轨迹长度为2πr2=4eq \r(3)π;
    当球心在底面ABC和截面圆同一侧时,
    球心O到该截面圆的距离为d3=3+4=7>R=eq \r(13),故不成立.
    综上,顶点P的轨迹长度为4eq \r(3)π.
    (2)(2022·广安模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,S是A1B1的中点,P是A1D1的中点,点Q在正方形DCC1D1及其内部运动,若PQ∥平面SBC1,则点Q的轨迹的长度是________.
    答案 eq \r(5)
    解析 如图所示,
    要使PQ∥平面SBC1,作PE∥C1S交C1D1于E,
    SC1⊂平面SBC1,PE⊄平面SBC1,
    则PE∥平面SBC1,
    因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,
    所以D1E=eq \f(1,4)C1D1=eq \f(1,2),
    连接BD,取BD的中点O,连接PO,
    则PSBO为平行四边形,则PO∥SB,SB⊂平面SBC1,PO⊄平面SBC1,
    则PO∥平面SBC1,
    又PO∩PE=P,PO,PE⊂平面POE,
    所以平面POE∥平面SBC1,
    设平面POE∩平面DCC1D1=EF,
    则DF=eq \f(3,4)DC=eq \f(3,2),
    连接OF,EF,则PEFO为平行四边形,Q的轨迹为线段EF,EF=eq \r(DF-D1E2+D1D2)=eq \r(12+22)=eq \r(5).
    专题强化练
    1.(多选)(2022·重庆模拟)如图,一个平面α斜截一个足够高的圆柱,与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r,平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

    相关试卷

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题6 微重点17 抛物线的二级结论的应用(含解析):

    这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题6 微重点17 抛物线的二级结论的应用(含解析),共14页。

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点14 与空间角有关的最值问题(含解析):

    这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点14 与空间角有关的最值问题(含解析),共15页。

    新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点12 立体几何中的动态问题(含解析):

    这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题4 微重点12 立体几何中的动态问题(含解析),共18页。

    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map