新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题6　第4讲　母题突破1　范围、最值问题（含解析）

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母题突破1 范围、最值问题
母题 (2022·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点D(2,0)，过F的直线交抛物线C于M，N两点．设直线MD，ND与抛物线C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
思路分析
❶点差法求kAB，kMN
↓
❷联立MN与抛物线方程
↓
❸联立AM，BN与抛物线方程
↓
❹kAB与kMN的关系
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❺构造tanα－β关于kAB的函数
解 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝eq \f(π,2)，
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，
N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则直线MN的方程为
y－y1＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x－x1)，
即y－y1＝eq \f(y1－y2,\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,2),4))(x－x1)，
即y－y1＝eq \f(4,y1＋y2)(x－x1)，
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，
所以直线MN的方程为
y(y1＋y2)－y1y2＝4x，tan α＝eq \f(4,y1＋y2).
同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，
直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，
直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因为F(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4.
因为D(2,0)在AM，BN上，
所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，
所以y3＝－eq \f(8,y1)，y4＝－eq \f(8,y2).
所以y3＋y4＝－eq \f(8,y1)－eq \f(8,y2)＝－eq \f(8y1＋y2,y1y2)
＝－eq \f(8y1＋y2,－4)＝2(y1＋y2)，
y3y4＝eq \f(64,y1y2)＝eq \f(64,－4)＝－16，
所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，
所以tan β＝eq \f(2,y2＋y1)，
所以tan(α－β)＝eq \f(\f(2,y2＋y1),1＋\f(8,y2＋y12))
＝eq \f(2y2＋y1,y2＋y12＋8)＝2×eq \f(1,y2＋y1＋\f(8,y2＋y1)).
当y2＋y1