新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题6　微重点16　椭圆、双曲线的二级结论的应用（含解析）

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考点一 焦点三角形
核心提炼
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ＝b2·tan eq \f(θ,2)，
双曲线中 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝eq \f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq \f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
答案 D
解析 由e＝eq \f(1,2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c.①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以πr2＝3π，解得r＝eq \r(3)(舍负)，
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知 SKIPIF 1 < 0 ＝b2taneq \f(∠F1PF2,2)＝eq \f(1,2)r(2a＋2c)，
即eq \f(\r(3),3)b2＝eq \r(3)(a＋c)，②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3eq \r(3)，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．
跟踪演练1 如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1，
则有aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,1)＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为beq \\al(2,1)tan 45°＝eq \f(b\\al(2,2),tan 45°)，
即beq \\al(2,2)＝beq \\al(2,1)＝1.
所以aeq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,2)－beq \\al(2,2)＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝eq \f(c2,a2)＝eq \r(\f(3,2))＝eq \f(\r(6),2).
考点二 焦半径的数量关系
核心提炼
焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2).
例2 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－eq \r(7)，0)，F2(eq \r(7)，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若eq \(AF2,\s\up6(--→))＝2eq \(F2B,\s\up6(--→))，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________．
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1
解析 如图，令|F2B|＝t，
则|AF2|＝2t，
∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，
又eq \f(1,|AF2|)＋eq \f(1,|BF2|)＝eq \f(2a,b2)，
∴eq \f(1,2t)＋eq \f(1,t)＝eq \f(2a,b2)，
即eq \f(3,2t)＝eq \f(2a,b2)，
又|F1B|－|F2B|＝2a，
∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，
∴eq \f(3,2a)＝eq \f(2a,b2)，即3b2＝4a2，
又c＝eq \r(7)，∴a2＋b2＝7，
解得b2＝4，a2＝3，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1.
易错提醒 公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立．
跟踪演练2 已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cs∠F1AB＝________.
答案 eq \f(8,3) －eq \f(1,3)
解析 由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，
又eq \f(1,|AF2|)＋eq \f(1,|BF2|)＝eq \f(2a,b2)，
即eq \f(1,2)＋eq \f(1,|BF2|)＝eq \f(8,4)，
解得|BF2|＝eq \f(2,3)，
∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝eq \f(8,3)，
由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6，
|BF1|＝8－eq \f(2,3)＝eq \f(22,3)，
在△AF1B中，由余弦定理，得
cs∠F1AB＝eq \f(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(22,3)))2,2×6×\f(8,3))＝－eq \f(1,3).
考点三 周角定理
核心提炼
周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
例3 已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为( )
A．－eq \f(1,16) B．－eq \f(1,32)
C.eq \f(1,64) D.eq \f(1,1 024)
答案 B
解析 由椭圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(b2,a2)
＝－eq \f(1,2).
由椭圆的对称性可得
SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))5＝－eq \f(1,32).
规律方法 周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
跟踪演练3 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．－1 D．－eq \f(1,2)
答案 B
解析 ∵∠F1AF2＝90°，
∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，
∴a2＝2b2＝2c2，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，
且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，
又kMA·kMB＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
∴kMB＝eq \f(1,2).
考点四 过圆锥曲线上点的切线方程
核心提炼
已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
例4 已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(10)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(29),5) B.eq \f(\r(30),3)
C.eq \f(\r(35),5) D.eq \f(\r(30),5)
答案 C
解析 设P(x0，y0)，
由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq \f(xx0,a2)－eq \f(yy0,b2)＝1，
故切线l的斜率k＝eq \f(b2x0,a2y0)，
因为k·kOP＝eq \f(2,5)，
则eq \f(b2x0,a2y0)·eq \f(y0,x0)＝eq \f(2,5)，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,5)，
即双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(2,5))＝eq \f(\r(35),5).
2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．3 D．5
答案 B
解析 如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，
∴四边形MF2NF1为平行四边形，
∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，
∴NF2⊥MF2，∴四边形MF2NF1为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(π,4))＝4a2，即b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).
3．椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且eq \(AF2,\s\up6(--→))＝2eq \(F2B,\s\up6(--→))，则△AF1B的外接圆面积为( )
A.eq \f(5π,2) B．4π
C．9π D.eq \f(25π,4)
答案 D
解析 如图，a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，
令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，
∵eq \f(1,|AF2|)＋eq \f(1,|BF2|)＝eq \f(2a,b2)，
∴eq \f(1,t)＋eq \f(1,2t)＝eq \f(3,2)⇒t＝1，
∴|BF2|＝1，|AF2|＝2，
由椭圆定义知|BF1|＝5，|AF1|＝4，
∴△ABF1中，|AB|＝3，|AF1|＝4，|BF1|＝5，
∴AF1⊥AB，
∴△ABF1外接圆半径R＝eq \f(|BF1|,2)＝eq \f(5,2)，其面积为eq \f(25π,4).
4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(3) D．3
答案 A
解析 如图，
∵eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，
又BA⊥BP，∴kPB＝－eq \f(1,k)，
依题意知kPB·kPA＝eq \f(b2,a2)，
∴－eq \f(1,k)·(－k)＝eq \f(b2,a2)，
∴eq \f(b2,a2)＝1，即e＝eq \r(2).
5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是( )
A．若C的离心率为eq \f(1,2)，则直线PA1与PA2的斜率之积为－eq \f(4,3)
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5)))
答案 BD
解析 设P(x0，y0)，所以eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2c，∴a2＝eq \f(4,3)b2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,4)，
∴选项A错误；
若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan eq \f(π,4)＝b2，
∴选项B正确；
若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，
∴eq \f(1,2)·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2－c2，
∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，∴选项C错误；
若|PF1|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，
∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，
∴5e2＋2e－3≤0，
∴00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为2
B．若PF1⊥PF2，且 SKIPIF 1 < 0 ＝3，则a＝2
C．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切
D．若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1
答案 ACD
解析 对于A，设P(x，y)，则y2＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－1))，
因为A1(－a，0)，A2(a，0)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,a2)＝3，
得e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，故A正确；
对于B，因为eq \f(c,a)＝2，
所以c＝2a，
根据双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a，
又因为PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积为eq \f(b2,tan \f(π,4))＝b2＝3，
又eq \f(b2,a2)＝3，所以a＝1，故B错误；
对于C，设PF1的中点为O1，O为原点．
因为OO1为△PF1F2的中位线，
所以|OO1|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \f(1,2)(|PF1|＋2a)＝eq \f(1,2)|PF1|＋a，
则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；
对于D，设P(x0，y0)，则x00.
因为e＝2，所以c＝2a，b＝eq \r(3)a，
则渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
所以∠PA2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
∠PF1A2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
又tan∠PF1A2＝eq \f(y0,x0＋c)＝eq \f(y0,x0＋2a)，
tan∠PA2F1＝－eq \f(y0,x0－a)，
所以tan 2∠PA2F1＝eq \f(－\f(2y0,x0－a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0－a)))2)
＝eq \f(－2y0x0－a,x0－a2－y\\al(2,0))
＝eq \f(－2y0x0－a,x0－a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(－2y0x0－a,x0－a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(－2y0x0－a,x0－a2－3x\\al(2,0)－a2)
＝eq \f(y0,x0＋2a)＝tan∠PF1A2，
因为2∠PA2F1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确．
7．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为－eq \f(1,3)，则椭圆的离心率e＝________.
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 如图，设MN的中点为Q，
∴yQ＝－eq \f(1,3)，
∴xQ＝yQ－1＝－eq \f(4,3)，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,3)))，∴kOQ＝eq \f(1,4)，
M，N关于直线l对称，
∴MN⊥l，
∴kMN＝－1，
由点差法可得kMN＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(xQ,yQ)，
又kOQ＝eq \f(yQ,xQ)，
∴kOQ·kMN＝－eq \f(b2,a2)，
∴eq \f(1,4)×(－1)＝－eq \f(b2,a2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
即a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即3a2＝4c2，
∴e＝eq \f(\r(3),2).
8.(2022·成都模拟)经过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1中心的直线与椭圆相交于M，N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则cs∠NMP的值是________．
答案 0
解析 设M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，P(x0，y0)，
则N(－x1，－y1)，E(x1，0)，
所以kMN＝eq \f(y1,x1)，kPN＝kEN＝eq \f(y1＋y0,x1＋x0)＝eq \f(y1,2x1)，
kPM＝eq \f(y1－y0,x1－x0)，
kPN×kPM＝eq \f(y1－y0,x1－x0)·eq \f(y1＋y0,x1＋x0)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,0),x\\al(2,1)－x\\al(2,0))＝－eq \f(1,2)，
所以kPN＝－eq \f(1,2kPM)＝eq \f(y1,2x1)，
所以kPM＝－eq \f(x1,y1).
所以kMN×kPM＝eq \f(y1,x1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x1,y1)))＝－1，
所以MN⊥MP，所以cs∠NMP＝cs eq \f(π,2)＝0.