新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第4讲　转化与化归思想（含解析）

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方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．
例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：eq \f(x2,a＋1)＋eq \f(y2,a)＝1(a>0)的离心率为eq \f(1,2)，则椭圆C的蒙日圆的方程为( )
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点
答案 B
解析 因为椭圆C：eq \f(x2,a＋1)＋eq \f(y2,a)＝1(a>0)的离心率为eq \f(1,2)，所以eq \f(1,\r(a＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝3，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
所以椭圆的上顶点A(0，eq \r(3))，右顶点B(2,0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝eq \r(3)，x＝2，
所以两条切线的交点坐标为(2，eq \r(3))，
又过A，B的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝eq \r(22＋\r(3)2)＝eq \r(7)，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
批注 根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想．
(2)在平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝12，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝8，若点M，N满足eq \(BM,\s\up6(→))＝3eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))等于( )
A．20 B．15 C．36 D．6
思路分析 假设ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算
答案 C
解析 假设ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，M(12,6)，N(8,8)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝(12,6)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(4，－2)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝12×4＋6×(－2)＝36.
规律方法 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．
对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．
例2 (1)(2022·济南模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin xlneq \f(n＋1,n)，
∴叠加得1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)>lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(3,2)×\f(4,3)×…×\f(n＋1,n)))＝ln(n＋1)．
即1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)>ln(n＋1)(n∈N*)．
规律方法 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．