新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 思想方法　第1讲　函数与方程思想（含解析）

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第1讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．
方法一 运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
例1 (1)(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ax2＋4x－\f(5,2)，x<1，,lgax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
思路分析 分段函数是－∞，＋∞上的增函数→每一段都为增函数→x＝1右侧的函数值不小于左侧的函数值求解
答案 A
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ax2＋4x－\f(5,2)，x<1，,lgax，x≥1))
是(－∞，＋∞)上的增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(4,2a)≥1，,a>1，,－a＋4－\f(5,2)≤0，))解得eq \f(3,2)≤a≤2，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
批注 在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最大值”，为了保证函数是增函数，这个“最大值”应不大于第二段的最小值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点．
(2)(2022·河南名校联盟联考)已知ab＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，b≤a，,a，b>a，))且函数f(x)＝(0≤x<3)，对定义域内的任意的x，恒有Mf(x)＝f(x)，则正数M的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))
C．[2，＋∞) D．(0,2]
思路分析 “”的定义，表示取小→有Mfx＝fx知，M≥fx→求fx的最大值
答案 C
解析 令t＝x2－2x(0≤x<3)，则t∈[－1,3)，
则f(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))，
因为ab＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，b≤a，,a，b>a，))
又对定义域内的任意的x恒有Mf(x)＝f(x)，
所以M≥2，正数M的取值范围为[2，＋∞)．
批注 本题关键是理解“”的含义，对于复合函数f(x)的最值、值域问题，应采用换元法，
变成常见的二次和指数函数．
规律方法 解答本题，首先要明确分段函数和增函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据增函数的定义，两段函数都是增函数，但这不足以说明整个函数是增函数，还要保证在两段的衔接处呈增的趋势，这一点往往容易被忽视．
方法二 利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题．
例2 (1)(2022·山东名校大联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x－1，则使不等式f(ex－3e－x)A．(ln 3，＋∞) B．(0，ln 3)
C．(－∞，ln 3) D．(－1,3)
思路分析 解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断fx的单调性
答案 C
解析 当x<0时，f(x)＝3x－1单调递增且f(x)<0，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0满足f(x)＝3x－1，
所以函数y＝f(x)在R上是连续函数，
所以函数f(x)在R上是增函数，
f(－2)＝－eq \f(8,9)，
所以f(2)＝－f(－2)＝eq \f(8,9)，
f(ex－3e－x)所以ex－3e－x<2，
即e2x－2ex－3<0，(ex－3)(ex＋1)<0，
又ex＋1>0，
所以ex<3，x即原不等式的解集为(－∞，ln 3)．
(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 022(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 022(y－1)＝1，则x＋y＝________.
思路分析 观察两方程形式特征→借助函数ft＝t3＋2 022t的单调性、奇偶性→fx－1＝f1－y→求出x＋y
答案 2
解析 令f(t)＝t3＋2 022t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数．
由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，
可得x－1＝1－y，则x＋y＝2.
规律方法 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题．
方法三 构造函数解决一些数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果．
例3 (2022·浙江山水联盟联考)已知实数a，b∈(1，＋∞)，且lg3a＋lgb3＝lg3b＋lga4，则( )
A.eq \r(a)C.eq \r(a)思路分析 lg3a－lga4＝lg3b－lgb3→lg3b－eq \f(1,lg3b)lg4a－eq \f(1,lg4a)→构造函数y＝x－eq \f(1,x)→利用函数的性质求解
答案 A
解析 由lg3a－lga4＝lg3b－lgb3可得lg3b－eq \f(1,lg3b)＝lg3a－eq \f(1,lg4a)因为y＝x－eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且lg3a，lg3b∈(0，＋∞)，所以lg3b即b其次，lg3b－eq \f(1,lg3b)>lg4a－eq \f(1,lg4a)，
所以lg3b>lg4a，
又因为lg4a＝lg2eq \r(a)>lg3eq \r(a)且y＝lg3x单调递增，
所以由lg3b>lg3eq \r(a)可知b>eq \r(a)，
综上，eq \r(a)规律方法 在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的两个变量，揭示函数关系使问题明晰化．