新高考数学一轮复习提升训练1.3 复数（精练）（含解析）

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这是一份新高考数学一轮复习提升训练1.3 复数（精练）（含解析），共24页。

B． SKIPIF 1 < 0 是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，不是纯虚数，故B错误，
对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误，
对于D，点 SKIPIF 1 < 0 在角α的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确故选：D
2．（2022·广东·二模）(多选）已知复数z的共轭复数是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的虚部是0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BC
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，A错；
SKIPIF 1 < 0 ，虚部是0；B正确
SKIPIF 1 < 0 ；C正确
SKIPIF 1 < 0 ，对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限，D错；
故选：BC．
3．（2022·山东潍坊·二模）（多选）若复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，则下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，那么 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 为纯虚数， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD.
4．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为实数，则下列说法中正确的有（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数D． SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限
【答案】AC
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，
SKIPIF 1 < 0 ，故B错误，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，其对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，故D错误．
故选:AC．
5（2022·湖南湘潭·三模）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，A不正确； SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.
6．（2022·广东佛山·二模）（多选）关于复数 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点位于第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 故A正确
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点为 SKIPIF 1 < 0 位于第三象限故B错误
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故C正确
SKIPIF 1 < 0 故D正确故选：ACD
7．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数是 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 .故ABC错误，D正确.故选：D
8．（2022·内蒙古赤峰·三模）若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题设， SKIPIF 1 < 0 且对应点在第一象限，A、C错误；
SKIPIF 1 < 0 不是纯虚数，B错误；由 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D
题组二复数的模长
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第四象限，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复数z的模的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 与到点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为2．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 表示为点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数
B．如果复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不互为共轭复数，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确
故选： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】设复数 SKIPIF 1 < 0 ，对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心、 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
设复数 SKIPIF 1 < 0 ，对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一条直线，
SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的距离，即圆上的一点到直线的距离，
圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相离，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）若存在复数 SKIPIF 1 < 0 同时满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为任意角），
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值；当 SKIPIF 1 < 0 时取到最小值，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】A：因为复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论正确；
B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论正确；
C，D：设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，因此点 SKIPIF 1 < 0 是在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆， SKIPIF 1 < 0 表示圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到 SKIPIF 1 < 0 点距离，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
7（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，且 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离是到点 SKIPIF 1 < 0 距离的 SKIPIF 1 < 0 倍.
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
即复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面对应得点为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，5为半径的圆上的点.
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 距离为3，
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面对应得点为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，2为半径的圆即以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：
SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 和原点 SKIPIF 1 < 0 的距离，由图可知 SKIPIF 1 < 0 的最小为0，最大为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 表示以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆及其内部，
又 SKIPIF 1 < 0 表示复平面内的点到 SKIPIF 1 < 0 的距离，据此作出如下示意图：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆；
SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆；
SKIPIF 1 < 0 ，表示 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是直线 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离，
先作出点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 , 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
题组三复数的几何意义
1．（2022·全国·江西师大附中）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以z在复平面内对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，位于第二象限，故选：B
2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
3．（2022·贵州）复数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】复数 SKIPIF 1 < 0
所以对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，即在复平面的第二象限内.故选：B
4．（2022·湖南·一模）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，位于复平面内的第一象限.故选：A
题组四复数与其他知识的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）设n是偶数， SKIPIF 1 < 0 ，a､b分别表示 SKIPIF 1 < 0 的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】展开通项公式通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，项的系数为实数，其 SKIPIF 1 < 0 项，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是偶数，
所以正的项 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，负的项 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 项．即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为复数，则“ SKIPIF 1 < 0 是实数”是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，不妨设 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 是实数，则 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故必要性成立.
因此“ SKIPIF 1 < 0 是实数”是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，又数列 SKIPIF 1 < 0 满足：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的虚部．若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的通项公式： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·全国·高三专题练习）设复数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，若对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由复数模的几何意义知， SKIPIF 1 < 0 表示复平面上的点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 间的距离，而点 SKIPIF 1 < 0 在单位圆 SKIPIF 1 < 0 上，要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则点 SKIPIF 1 < 0 必在圆 SKIPIF 1 < 0 上或其内部，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当 SKIPIF 1 < 0 时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）
A．|eix|＝1B．cs x＝ SKIPIF 1 < 0
C．cs x＝ SKIPIF 1 < 0 D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABD
【解析】因为eix＝cs x＋isin x，所以|e ix|＝ SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为eix＝cs x＋isin x，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则cs x＝ SKIPIF 1 < 0 ，故B正确C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）设复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】15
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中的常数项的值是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位)，则复数 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ___________.(结果用数值表示)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，可得常数项为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0
故答案为：5
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），在复平面上，设复数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0
题组五解复数的方程
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））下列关于复数的命题中（其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），说法正确的是（）
A．若复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的模相等，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是共轭复数
B．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有实根，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有实根， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚数根，且 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的一个虚数根，
从而 SKIPIF 1 < 0 ①，
又因为 SKIPIF 1 < 0 无实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由一元二次函数性质易知，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值5；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故向量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高三专题练习）实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一根为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】1
【解析】因为实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一根为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据虚根成对定理可得，实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的另一共轭虚根为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·上海徐汇·二模）若关于 SKIPIF 1 < 0 的实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一根为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一根，
所以 SKIPIF 1 < 0 也为方程 SKIPIF 1 < 0 的根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组六复数的综合运用
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，则下列结论正确的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】对于A：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
对于C：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D：如下图所示，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以D错误.
故选：ABC
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故错误.
故选：AC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数
【答案】ABD
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，B正确；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，实部为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，D正确.
故选：ABD.
4．（2022·江苏·南京大学附属中学高三阶段练习）（多选）下列命题中正确的有（）
A．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；B．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
C．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；D．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】AD
【解析】对于A中，设复数 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
对于B中，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
对于C中，例如： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D中，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
故选：AD
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列命题中，正确命题的个数为（）
A．两个复数不能比较大小；
B．若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则实数 SKIPIF 1 < 0 ；
C． SKIPIF 1 < 0 的一个充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ；
D． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】CD
【解析】对于A选项，两个复数为实数时，可以比较大小，故A选项错误；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
对于C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确；
对于D选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故D选项正确.
故选：CD
6（2022·全国·高三专题练习（文））（多选）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为复数， SKIPIF 1 < 0 .下列命题中正确的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】对于A：取 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但是 SKIPIF 1 < 0 不成立，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 时,有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故D错误
故选：BC
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第一象限D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第一象限.
SKIPIF 1 < 0 ，则选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD
8．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题为真命题的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 为实数
B．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 为正整数，则 SKIPIF 1 < 0
C．复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 为实数）为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为实数， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
【答案】ACD
【解析】A选项， SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为实数，A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误.
C选项， SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.
D选项， SKIPIF 1 < 0 在第四象限，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项正确.
故选：ACD
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列结论正确的是（）
A．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
B．若复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】对于A：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为实数，故A错误；
对于B：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C：设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该曲线为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：CD．
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位）在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数对应的点与点 SKIPIF 1 < 0 关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D． SKIPIF 1 < 0 与z对应的点z间的距离有最小值
【答案】ACD
【解析】复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数对应的点与点 SKIPIF 1 < 0 关于实轴对称，B错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ；即Z点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，C正确；
易知点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线段的长度即为 SKIPIF 1 < 0 、Z之间距离的最小值，故D正确.
故选：ACD