新高考数学一轮复习提升训练4.5 导数的综合运用（精练）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练4.5 导数的综合运用（精练）（含解析），共27页。
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以1不是 SKIPIF 1 < 0 的零点．
当 SKIPIF 1 < 0 ，可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的零点个数即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象的交点个数．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 没有零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点．
(2)证明：由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·河南·长葛市）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当a＝2时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)答案不唯一，具体见解析
【解析】(1)当a＝2时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点0；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由单调性可知，此时 SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个零点0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一的实根；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个零点，方程 SKIPIF 1 < 0 有3个实根．
3．（2022·天津·二模）设函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 零点的个数；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．(2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减．
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个零点．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点．
(3)证明：由（2）及 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
下面证明 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
题组二 已知零点个数求参
1．（2022·河南濮阳·一模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 且关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个实数解，求t的值．
【答案】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
(2)2
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
(2)关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个实数解，即 SKIPIF 1 < 0 只有唯一正实数解．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
要使得方程 SKIPIF 1 < 0 只有唯一实数解，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 至多有一解．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，
由上得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 单增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 各存在一个零点，不合题意.
综上： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·山东日照·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ﹐
又由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
结合图象可得：
当 SKIPIF 1 < 0 时，无零点；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，一个零点；当 SKIPIF 1 < 0 时，两个零点．
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ，0个零点；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，1个零点； SKIPIF 1 < 0 ，2个零点
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解；
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
(2)
解：因为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的零点转化为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下：
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 没有交点，故函数有0个零点；
②当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点，故函数有1个零点；
③当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个交点，故函数有2个零点；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时，0个零点；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，1个零点； SKIPIF 1 < 0 时，2个零点；
题组三 不等式恒（能）成立
1（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
(2)由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0
2（2022·江西）函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 相切.
(1)求实数a的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是切线，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 无实数根，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一实数根，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立
SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围时 SKIPIF 1 < 0 .
3（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间．
(2) SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)解： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，设为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）
显见， SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是， SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是， SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
综上得， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立.
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的较大者.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上也单调递增.
注意到 SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 （*）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .不等式（*）无解
综上所述，对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)答案见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在定义域上递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
综上， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 递减； SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增.
(3)
由（2）， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 递减且 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，显然存在 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增，只需 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，满足题设；
综上，a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·海南海口·二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)1(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·山东烟台·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 .又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点.
(2)
不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 .
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
(2)对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
分离参数得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
题组四 证明不等式
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递增区间；
(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递增区间；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
下面证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上增函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得证．
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①证明： SKIPIF 1 < 0 ；
②方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数的导数 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①要证不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，即证明 SKIPIF 1 < 0 成立.即证明 SKIPIF 1 < 0 成立.
令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立得证.
②由①得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即直线 SKIPIF 1 < 0 始终在曲线 SKIPIF 1 < 0 下方或有唯一切点，
又结合（1）可知 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立解得交点的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0
因此，要证 SKIPIF 1 < 0 ，只要证 SKIPIF 1 < 0 即可
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 即可
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以只要证 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 恒成立
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 得证，原命题得证.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并证明方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不等实根；
(2)设(1)中方程 SKIPIF 1 < 0 的三根分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 变形为f(m)=m，即f(m)-m=0，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在定理，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 有两个零点1和 SKIPIF 1 < 0 ，方程f(m)=m有两个根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
则如图， SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 有一个根 SKIPIF 1 < 0 ，
下面考虑 SKIPIF 1 < 0 解的个数，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的单调性可得：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点，
故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即方程 SKIPIF 1 < 0 共有三个不等实根；
(2)
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，原命题得证．
4．（2022·湖南·长沙一中一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 处的切线l方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求a，b，并证明函数 SKIPIF 1 < 0 的图象总在切线l的上方（除切点外）；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)解：将 SKIPIF 1 < 0 代入切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 予盾，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综合得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象总在切线 SKIPIF 1 < 0 的上方（除切点外）．
(2)
解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综合得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，e为自然对数的底数）．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有两个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)见解析(2)证明见解析.
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，无极值.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极大值，且极大值为 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无极值；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
(2)
方程 SKIPIF 1 < 0 ，即为方程 SKIPIF 1 < 0 .
由题意，得方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有两个不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 .
只需证 SKIPIF 1 < 0 ， 只需证 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .x
SKIPIF 1 < 0
n
SKIPIF 1 < 0
m
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
－
0
＋
－
SKIPIF 1 < 0
单调递减
单调递增
单调递减