新高考数学一轮复习提升训练6.1 等差数列（精练）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练6.1 等差数列（精练）（含解析），共18页。试卷主要包含了等差数列的前n项和性质，等差数列的实际运用等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．15D．30
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
所以其前20项和为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，可得所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据等差数列公式及性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
4．（2022·江西·南昌十中高三阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前11项和为（ ）
A．40B．45C．50D．55
【答案】D
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 .
又根据等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和性质 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．（2022·河北石家庄·二模）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3033B．4044C．6066D．8088
【答案】C
【解析】由等差数列 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5．（2022·河南平顶山）已知 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．22B．20C．16D．11
【答案】A
【解析】由题意设正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 故由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-3B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
题组二 等差数列的前n项和性质
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．10B．15C．20D．40
【答案】C
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，
根据等差数列的性质得到： SKIPIF 1 < 0 仍成等差数列，
记 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
计算可得到结果为：20.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【解析】由等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．13C．-13D．-18
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为等差数列，∴S3，S6 SKIPIF 1 < 0 S3，S9 SKIPIF 1 < 0 S6为等差数列，
即a， SKIPIF 1 < 0 6a， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故选:D.
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质，若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也成等差数列；
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：A．
5．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意自然数n都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 故选：A﹒
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】60
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，也构成等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：60
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 公差为___________.
【答案】4
【解析】由等差数列性质可知， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得， SKIPIF 1 < 0 故答案为：4
题组三 等差数列的最值
1．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使得前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
【答案】D
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，使得前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
使得 SKIPIF 1 < 0 的正整数n的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选: D.
4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 则得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，即得 SKIPIF 1 < 0 .
因为首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入①得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
因此当 SKIPIF 1 < 0 或11时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列的性质可知， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故使前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则 SKIPIF 1 < 0 中最大的项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵等差数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，
由S15>0，S16<0，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若视为函数则对称轴在 SKIPIF 1 < 0 之间，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴Sn最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
分析 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0， SKIPIF 1 < 0 递减，前8项中 SKIPIF 1 < 0 递增，
∴前8项中 SKIPIF 1 < 0 最大 SKIPIF 1 < 0 最小时 SKIPIF 1 < 0 有最大值，∴ SKIPIF 1 < 0 最大．
7．（2022·湖南永州·三模）（多选）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最大值
【答案】BD
【解析】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选：BD
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-1（舍），
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．故选：A．
9．（2022·广东·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 时的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，使 SKIPIF 1 < 0 时的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为810；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （验证符合题意），
即 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，使 SKIPIF 1 < 0 时的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为809；
综上可得： SKIPIF 1 < 0 的最小值为809，
故答案为：809.
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列{| SKIPIF 1 < 0 |}中值最小的项为第___项．
【答案】10
【解析】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递减数列，即公差为负数，
因此 SKIPIF 1 < 0 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，∴{| SKIPIF 1 < 0 |}最小的项是第10项，
故答案为：10
11．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当满足 SKIPIF 1 < 0 成立时，n的最小值为___________.
【答案】31
【解析】等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，因此，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为正的递减数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当满足 SKIPIF 1 < 0 成立时，n的最小值为31.
故答案为：31
12．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．
【答案】88
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程有实数解，故 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
故 SKIPIF 1 < 0 .此时 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为88.故答案为：88．
题组四 等差数列的综合运用
1．（2022·广东江门）（多选）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是递增数列B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 ，或17时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 适合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 或17时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故选：BC
2．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）（多选）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】对于AB，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以AB正确，
对于C，所以 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误，
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误，故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 时，不满足 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列；
SKIPIF 1 < 0 ，因此数列 SKIPIF 1 < 0 不是单调递增数列；
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不成等差数列．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为第 SKIPIF 1 < 0 项B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】对于C选项，由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于B选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 单调递减，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由不等式的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为第 SKIPIF 1 < 0 项，故A正确.
故选：ABC.
5．（2022·河北张家口·三模）（多选）已知公差为d的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是关于n的二次函数
C． SKIPIF 1 < 0 不可能是等差数列D．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
【答案】AD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是n的二次函数，故B不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故C不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
题组五 等差数列的实际运用
1．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（ ）
A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸
【答案】B
【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2．（2022·江西·模拟预测（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（ ）
A．58B．59C．60D．61
【答案】A
【解析】因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．即该数列的项数为58．故选：A
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【解析】依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，
而数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.
故选：D
4．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五向中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，”其大意为“官府陆续派遣1864人修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人”，则派出总人数为708人时，共用时（ ）
A．7天B．8天C．9天D．10天
【答案】B
【解析】由题意可知，每天派出的人数构成一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其中首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ）
A．160片B．170片C．180片D．190片
【答案】B
【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” SKIPIF 1 < 0 ，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立 SKIPIF 1 < 0 周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戊年
【答案】A
【解析】由题意知，天干是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，地支为公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 年为辛丑年，则 SKIPIF 1 < 0 年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到 SKIPIF 1 < 0 年为辛酉年，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把 SKIPIF 1 < 0 条狗分成 SKIPIF 1 < 0 群，每群都是单数， SKIPIF 1 < 0 群少， SKIPIF 1 < 0 群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即 SKIPIF 1 < 0 ，那么，所有分法的种数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设少的 SKIPIF 1 < 0 群狗有 SKIPIF 1 < 0 条，多的 SKIPIF 1 < 0 群狗每群有 SKIPIF 1 < 0 条， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，
可设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是分配方法有以下 SKIPIF 1 < 0 种： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， SKIPIF 1 < 0 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 SKIPIF 1 < 0 是举， SKIPIF 1 < 0 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 成公差为0.1的等差数列，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0.725，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D