新高考数学一轮复习提升训练7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（含解析），共17页。试卷主要包含了柱锥台表面积，柱锥台的体积，球的体积与表面积，空间几何的截面等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．32D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 ，故其侧面积 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【解析】如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆柱侧面积为： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则其侧棱为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以顶点到底面圆圆心的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10 SKIPIF 1 < 0 m的圆锥的侧面积的 SKIPIF 1 < 0 ，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）
A．16mB．17mC．18mD．19m
【答案】A
【解析】底面直径为40m，高为10 SKIPIF 1 < 0 m的圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
设二宜楼外层圆柱墙面的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10 SKIPIF 1 < 0 m的圆锥的侧面积的 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱体部分的高 SKIPIF 1 < 0 ，圆锥体部分的高 SKIPIF 1 < 0 ，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆锥体的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆柱体的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的底面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此陀螺的表面积为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），故选：C
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的所有顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 为球 SKIPIF 1 < 0 的直径，且 SKIPIF 1 < 0 ，则此棱锥的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为球 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
此棱锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 及直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 组成，作 SKIPIF 1 < 0 于M，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BHC，则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设重叠后的EG与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
则该几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，甲圆锥底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，乙圆锥底面圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以甲圆锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，
乙圆锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,进而可知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是球心, SKIPIF 1 < 0 为球的半径.
由 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,等号成立,故此时 SKIPIF 1 < 0 ,所以球半径 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,体积最小值为 SKIPIF 1 < 0 故选:C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以球的半径 SKIPIF 1 < 0 ,
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,所以正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
考点三 球的体积与表面积
【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球 SKIPIF 1 < 0 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】如图.
设圆柱底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，球的半径与圆柱底面夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆柱的高 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆柱的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的侧面积最大，为 SKIPIF 1 < 0 ，
球的表面积与圆柱的表面积之差为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个三棱锥的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 内的射影点 SKIPIF 1 < 0 为等边 SKIPIF 1 < 0 的中心，
取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
设正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正四面体，
因此，正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其轴截面如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即这个几何体的外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这个几何体的外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
考点四 空间几何的截面
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．2
【答案】D
【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，假设底面圆周长为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
故底面圆周长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 .
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，因此轴截面的顶角是 SKIPIF 1 < 0 .故当截面为顶角是 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形时面积最大，此时 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 SKIPIF 1 < 0 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， SKIPIF 1 < 0 为圆柱上下底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为球心，EF为底面圆 SKIPIF 1 < 0 的一条直径，若球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为 SKIPIF 1 < 0
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．四面体CDEF的体积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，可知圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则球表面积
为 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的表面积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球与圆柱的表面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面DEF的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，平面DEF截得球的截面圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由题可知点 SKIPIF 1 < 0 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 SKIPIF 1 < 0 在底面的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 SKIPIF 1 < 0 .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，其体积的近似公式为 SKIPIF 1 < 0 ，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】D
【解析】若圆锥母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若截面顶角 SKIPIF 1 < 0 ，当截面为轴截面时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时截面面积的最大值为8.
故选：D
2．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则切割面的面积为______；若圆台的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则切割面的面积为______.
【答案】 2 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：如图，将圆台 SKIPIF 1 < 0 补成圆锥PO，设圆台 SKIPIF 1 < 0 的上、下底面半径分别为r，R，高和母线长分别为h，l，则 SKIPIF 1 < 0 .因为等腰梯形ABCD为过两条母线的截面，设 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，切割面的面积最大，最大面积 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，切割面的面积最大，最大面积 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：如图，设圆台上底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面圆心为O，过两条母线的截面为四边形 SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形.设 SKIPIF 1 < 0 ，圆台的高 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，AB的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，D，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，OD，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交OD于点C.因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取最大值3.此时 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2； SKIPIF 1 < 0
3．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，过一母线的截面是面积 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，则该圆锥的体积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意知：圆锥的底面半径 SKIPIF 1 < 0 ；
设圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆锥的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 圆锥的体积 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .