新高考数学一轮复习提升训练10.3 平面向量的应用（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练10.3 平面向量的应用（精讲）（含解析），共19页。试卷主要包含了在几何中的运用，三角形的四心，平面向量的综合运用等内容，欢迎下载使用。


例题剖析
考点一 在几何中的运用
【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形ABCD为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
【例1-2】（2022·上海）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为边 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【例1-3】（2022·全国·模拟预测）已知H为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ．
由H为△ABC的垂心，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．同理有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【例1-4】（2022·云南）已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则AC边的中线的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,不符合三角形内角和定理，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ,
因此 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，负值舍去，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 边的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，因此
SKIPIF 1 < 0 故选：C
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∠A的平分线AD交边BC于D，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则AD的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 M为BC边上靠近C的三等分点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大的值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.

考点二 三角形的四心
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于 SKIPIF 1 < 0 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 SKIPIF 1 < 0 分别为任意 SKIPIF 1 < 0 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错误，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
【例2-2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 为边长为2的正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为-1
C．若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形且外心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹经过 SKIPIF 1 < 0 的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为垂心，易知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据向量数量积的几何意义知： SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B：构建以 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 为原点的直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；

C：由题设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 共线，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹经过 SKIPIF 1 < 0 的外心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2022农安月考） SKIPIF 1 < 0 为平面上的一定点， SKIPIF 1 < 0 是平面上不共线的三个动点，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹一定过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 方向上的单位向量，
则 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 的方向为∠BAC的平分线 SKIPIF 1 < 0 的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )的方向与 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 的方向相同.
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P在 SKIPIF 1 < 0 上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是平面内一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内不共线的三点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一定是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂心.故选：C
3．（2022·全国·）平面内 SKIPIF 1 < 0 及一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
则点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心.
故选:B.
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的 SKIPIF 1 < 0 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A：给定的 SKIPIF 1 < 0 ，其外心为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 为给定的 SKIPIF 1 < 0 的垂心，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 ,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D：由于点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的平分线上， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的平分线对应向量共线，所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．故选：BCD．
考点三 三角形的面积比
【例3-1】（2022·天津五十七中模拟预测）若点M是 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，且满足： SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，并且 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【例3-2】（2022·重庆）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内部一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心根据重心的性质可得，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离是点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离的 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
【一隅三反】
1．（2022·全国·课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内的一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022北京朝阳）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，同理 SKIPIF 1 < 0 也为 SKIPIF 1 < 0 中点，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为平行四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 ，又∵平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面为 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
3（2022·全国·课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内部一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·江西 ）已知点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】7
【解析】如图建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点四 平面向量的综合运用
【例4-1】（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．－1B．1C．－3D．3
【答案】C
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方形建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：C
【例4-2】（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .根据物理学知识得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28mB．20mC．31mD．22m
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2022·湖北模拟）设A、B为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】设C是AB中点，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即C在以原点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：C．
2．（2022·衡阳二模）设 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边，已知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边的中点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．-2
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：B
3．（2021·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】C
【解析】骑行过程中， SKIPIF 1 < 0 相对不动，只有 SKIPIF 1 < 0 点绕 SKIPIF 1 < 0 点作圆周运动．
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值36．
故答案为：C．
4．（2022·宜春模拟）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于A、B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，该椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 ，
则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入①得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则在三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，代入化简有： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：D.
5．（2022·商洛模拟）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点A，B分别在双曲线C的左､右支上，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的渐近线斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义及勾股定理得即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 25m2，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由cs SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案为：C