新高考数学一轮复习精选讲练专题1.7 基本不等式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题1.7 基本不等式（含解析），共18页。试卷主要包含了基本不等式，几个重要的不等式，算术平均数与几何平均数，利用基本不等式求最值问题等内容，欢迎下载使用。


1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab(a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
【题型1 利用基本不等式判断不等关系】
【方法点拨】
将代数式灵活变形，利用基本不等式求解最值的方法，来求出所给代数式的最值或取值范围，以此来判断不等关系是否成立，注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.
【例1】（2022春•赤峰期末）若a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则下列不等式中成立的是（ ）
A．ab＜2B．
C．lg2a+lg2b＜1D．9a+3b≥18
【解题思路】利用基本不等式可得ab得范围，判断选项A；利用和与平方和的关系判断选项B；利用对数运算化简结合选项A判断出选项C；利用基本不等式可得选项D正确．
【解答过程】解：对于A，a＞0，b＞0，2a+b＝4≥2，解得ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项A错误；
对于B，4a2+b2＝（2a）2+b2（2a+b）2＝8，即2，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项B错误；
对于C，由A可得ab≤2，lg2a+lg2b＝lg2ab≤1，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项C错误；
对于D，9a+3b＝32a+3b≥218，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项D正确；
故选：D．
【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2B．a+b＜2C．2b＞2D．2b＜2
【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误，
2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误，
故选：A．
【变式1-2】（2021•安徽模拟）设a＞0，b＞0，c＞0，下列不等关系不恒成立的是（ ）
A．c2B．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|
C．若a+4b＝1，则8D．ax2+bx﹣c≥0（x∈R）
【解题思路】首先对于此类选择题，考虑用排除法求解．对于选项A和选项C，都应用基本不等式化简求解即可．对于选项B根据式子的几何意义直接判断．对于选项D，选定特殊值，然后利用方程的判别法计算即可得出错误．
【解答过程】解：对于选项A：c2，可直接根据基本不等式求解．显然恒成立．
对于选项B：|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|，所表示的含义是在三角形内两边之和大于第3边，所以显然成立．
对于选项C：若a+4b＝1则根据基本不等式得：，即，对于式，所以得不等式恒成立．
对于选项D：ax2+bx﹣c≥0（x∈R）．当a＞0，Δ＝b2+4ac＞0，显然ax2+bx﹣c≥0不恒成立．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．
【解答过程】解：因为，
所以，故①错误；
当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误；
因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，
所以，故③正确．
故选：C．
【题型2 利用基本不等式求最值】
【方法点拨】
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答
技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例2】（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【解题思路】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．
【解答过程】解：已知x，y都是正数，且x+y＝2，
则（x+y）（）（5）（5+2），当且仅当x，y时等号成立，
所以的最小值为：．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•信州区期末）已知正数m，n满足m+n＝1，则的最小值为（ ）
A．3B．3+2C．3D．3+2
【解题思路】化简，再结合基本不等式求最值．
【解答过程】解：∵m+n＝1，m＞0，n＞0，
∴

＝（）（m+n）
3
≥23＝3+2，
当且仅当，即m1，n＝2时，等号成立；
故的最小值为3+2，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•三明期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【解题思路】先变形得到4b2，再利用乘“1”法和基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵正实数a，b满足，∴ab+1＝2b，∴ab＝2b﹣1，
∴4b2＝（4b）（a）2＝（4ab5）2≥（25）22，
当且仅当4ab，即a，b，时取等号，
∴的最小值是，
故选：A．
【变式2-3】（2022春•恩施州期末）若a＞2，b＞3，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【解题思路】根据题意，分析可得a﹣2b﹣310，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，若a＞2，b＞3，则a﹣2＞0，b﹣3＞0，
则有，
（当且仅当a＝4，b＝6时，等号成立），
所以的最小值是20．
故选：C．
【题型3 利用基本不等式解决恒成立（或存在性）问题】
【方法点拨】
对于恒成立（或存在性）问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化为最值问题，利用基本不等式求出有关代数式的最值，进行转化求解即可.
【例3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}
C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
【解题思路】由x＞0，y＞0，，得3x+2y＝（）（3x+2y），以此变形可解决此题．
【解答过程】解：由x＞0，y＞0，，得3x+2y＝（）（3x+2y）12≥212＝24，
当且仅当且，即x＝4且y＝6时等号成立．
又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）
【解题思路】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．
【解答过程】解：因为x＞0、y＞0，且1，
2x+y＝（2x+y）（）＝59，
当且仅当且1，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9，
若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•香坊区校级期中）若x＞0，y＞0，x+y＝1，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m＜3}B．{m|m＜6}C．{m|m＜5}D．{m|m＜9}
【解题思路】利用乘1法，然后结合基本不等式可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值相互转化关系可求．
【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，x+y＝1，
所以59，
当且仅当且x+y＝1，即x，y时取等号，此时取得最小值9，
恒成立，则实数m＜9．
故选：D．
【变式3-3】（2021秋•包河区校级期中）若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[，1]B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【解题思路】根据基本不等式的性质求得2x+y≥1，进而求解结论．
【解答过程】解：∵正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，
∴8xy＝2﹣（2x+y）≤4•（）2⇒（2x+y）2+（2x+y）﹣2≥0⇒2x+y≥1，（2x+y≤﹣2舍去）
∵存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，
∴3m2﹣2m≥1⇒m≥1或m，
故选：C．
【题型4 利用基本不等式证明不等式】
【方法点拨】
(1)对于与基本不等式有关的不等式证明问题，对所给条件进行合理转化，利用基本不等式进行证明，其解
答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)证明过程中，若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例4】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：．
【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成a+b，由基本不等式即可证明．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1
∴

＝5
当且仅当，即a＝b时取“＝”号．
故原题得证．
【变式4-1】（2021春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
（1）；
（2）．
【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；
（2）利用基本不等式的结论即可证明．
【解答过程】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b＝1，
所以（）（a+b）＝59，
当且仅当且a+b＝1，即b，a时取等号，
故；
（2）因为（）22，当且仅当且a+b＝1，即a＝b时取等号，
所以．
【变式4-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．
（1）若，求证：a+b≥16；
（2）求证：a+b+1．
【解题思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证；
（2）由基本不等式可得a+1≥2，b+1≥2，a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，三个式子相加即可得证．
【解答过程】证明：（1）因为，a＞0，b＞0，
所以a+b＝（a+b）（）＝1010+216，当且仅当，即a＝4，b＝12时等号成立，
所以a+b≥16．
（2）因为a＞0，b＞0，
则a+1≥2，b+1≥2，a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，
所以a+1+b+1+a+b≥222，
所以a+b+11．
【变式4-3】（2020•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：
（1）a+b+c；
（2）（）．
【解题思路】（1）运用分析法证明．要证a+b+c，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．
（2）问题转化为证明abc1，根据基本不等式的性质证明即可．
【解答过程】证明：（1）运用分析法证明．
要证a+b+c，
即证（a+b+c）2≥3，
由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，
即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，
即为a2+b2+c2≥1，①
由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，
则①成立．
综上可得，原不等式成立．
（2）∵，
而由（1）a+b+c，
∴（），
故只需，
即abc1，
即：abcab+bc+ac，
而a•，b，c，
∴abcab+bc+ac＝1成立，（当且仅当a＝b＝c时）．
【题型5 利用基本不等式解决实际问题】
【方法点拨】
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再结合基本不等式解决问题(求解)，最后
要回应题意下结论(作答)．
【例5】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
【解题思路】（1）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件．
【解答过程】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．
又，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；
（2）由题意得：x+2y＝30，
又，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
【变式5-1】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
【解题思路】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；
（2）利用基本不等式，即可求得最值．
【解答过程】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，∴b
广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），
广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600；
（2）S＝30（a+2b）+60600＝30（a）+60600≥30×212000+60600＝72600，
当且仅当a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．
【变式5-2】（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【解题思路】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，
（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
【解答过程】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，
则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），
S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝215×15tanθ，
（30tanθ+15ct2θ）（30tanθ+15），
当且仅当3tanθ，即tan时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450255.14m2．
【变式5-3】（2021秋•常州月考）如图，长方形ABCD表示一张6×12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P）到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．
（1）为使锯掉一块三角形废料MAN的面积最小，试确定m，n的值；
（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度（MB，BC，CD，DN的长度之和）的最大值．
【解题思路】（1）过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，可得△PNF∽△MPE，可得1．欲使锯掉的三角形废料MAN的面积Smn最小．利用基本不等式的性质即可得出．
（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即m+n最小．由（1）知，m+n＝（m+n）3，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答过程】解：（1）过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，
则△PNF∽△MPE，
从而，∴，
即1．
欲使锯掉的三角形废料MAN的面积Smn最小．
由1得，mn≥8（当且仅当，即m＝4，n＝2时，
“＝”成立），此时Smin＝4（平方分米）．
（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即m+n最小．
由（1）知，m+n＝（m+n）33+23+2，
（当且仅当即m＝2n时，“＝”成立），
答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33﹣2分米．
【题型6 基本不等式与其他知识综合】
【例6】（2022春•重庆校级期中）直角三角形ABC中角A，B，C对边长分别为a，b，c，∠C＝90°．
（1）若三角形面积为2，求斜边长c最小值；
（2）试比较an+bn与cn（n∈N*）的大小，并说明理由．
【解题思路】（1）由ab＝2，可得：ab＝4．由∠C＝90°，可得a2+b2＝c2，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）①当n＝1时，利用三角形三边大小关系可得a+b＞c；
②当n＝2时，由∠C＝90°，利用勾股定理可得a2+b2＝c2；
③当n≥3时，设csθ，sinθ，．由csnθ+sinnθ，再利用三角函数的单调性即可得出．
【解答过程】解：（1）∵ab＝2，∴ab＝4．
∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2≥2ab＝8，解得c．当且仅当a＝b＝2时取等号．
∴斜边长c最小值为2．
（2）①当n＝1时，a+b＞c；
②当n＝2时，∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2；
③当n≥3时，设csθ，sinθ，．
则csnθ+sinnθ＜cs2θ+sin2θ＝1，
∴an+bn＜cn．
【变式6-1】（2021秋•赫山区校级月考）已知向量（1，2），（﹣2，m），（t2+1），k，m∈R，k，t为正实数．
（1）若∥，求m的值；
（2）当m＝1时，若⊥，求k的最小值．
【解题思路】（1）根据题意，结合、的坐标，由向量平行的坐标判断方法，可得1×m＝2×（﹣2），解可得答案；
（2）根据题意，可得、的坐标，分析可得•0，由向量垂直与数量积的关系，可得•[（t2+1）]•（﹣k0，对其变形整理可得k＝t，由基本不等式的关系，计算可得答案．
【解答过程】解：（1）根据题意，（1，2），（﹣2，m），
若∥，则有1×m＝2×（﹣2），
解可得，m＝﹣4；
（2）若m＝1，有（1，2），（﹣2，1），易得•0，
则（t2+1）（﹣1﹣2t2，3+t2），y＝﹣k（﹣k，﹣2k），
若⊥，则•[（t2+1）]•（﹣k）＝﹣k2+（t）2＝5[（t）﹣k]＝0，
即k＝t，
又由t＞0，则k≥22，（当且仅当t＝1时等号成立）；
故k的最小值为2．
【变式6-2】（2021秋•东海县校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x，ab，5y成等差数列，2，a，b，5成等比数列．
（1）求lgx+lgy的最大值；
（2）求的最小值．
【解题思路】（1）通过等差数列推出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解即可．
（2）利用等比数列求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解即可．
【解答过程】解：（1）由题意知2x+5y＝2ab，ab＝2×5＝10
∴2x+5y＝20，
∵x＞0，y＞0，∴2x+5y≥2
即20≥2，∴0＜xy≤10，
∵函数y＝lgx在（0，+∞）上是单调递增函数，
∴lg（xy）≤1，即lgx+lgy≤1，
当且仅当2x＝5y且2x+5y＝20即x＝5，y＝2时，取“＝”，
∴当x＝5，y＝2时，lgx+lgy取得最大值为1．
（2）∵x＞0，y＞0
∴（）（2x+5y）[29+10（）]（29+10×2）
∴
当且仅当且2x+5y＝20即x＝y时，取“＝”，
∴当x＝y时，的最小值为．
【变式6-3】（2021春•高淳区期末）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
【解题思路】（1）AP+AQ＝200，可得S．
（2）设AP＝x，AQ＝y，可得1•x•150+1.5•y•100＝30000，化为：x+y＝200≥2，可得xy≤10000．
可得PQ2＝x2+y2﹣2xycs120°＝x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝40000﹣xy，即可得出PQ的最小值．
【解答过程】解：（1）∵AP+AQ＝200，
∴S2500．
当且仅当x＝y＝100时取“＝”．
∴当x＝y＝100时，可使得三角形地块APQ的面积最大．
（2）设AP＝x，AQ＝y，则1•x•150+1.5•y•100＝30000，
化为：x+y＝200≥2，可得xy≤10000．
∴PQ2＝x2+y2﹣2xycs120°＝x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝40000﹣xy≥30000．
当且仅当x＝y＝100时取“＝”．
即PQ≥100．
∴当且仅当x＝y＝100时，可使PQ取得最小值，即使用竹篱笆用料最省．