新高考数学一轮复习精选讲练专题1.8 基本不等式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题1.8 基本不等式（含解析），共15页。

1．（5分）（2022春•遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．D．
【解题思路】先得到x+2＞0，x，再利用配凑法和基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2，
∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0，
∴xx+22≥22＝0，
当且仅当x+2，即x＝﹣1时取等号，
∴x+22≥0，
∴的最小值为0，
故选：A．
2．（5分）（2022春•丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【解题思路】利用配凑法，再结合基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数x
＝x2＝x﹣13≥23＝7，
当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，
∴的最小值为7，
故选：C．
3．（5分）（2022春•运城期末）已知x，y∈R，且（x+2）（y+1）＝4，则下列一定正确的为（ ）
A．x2+y2+4x+2y≥3B．2x+3y+xy≥3
C．ex+1+ey≥2eD．xy≤2﹣2
【解题思路】举反例x＝﹣6，y＝﹣2可判断选项B、C、D，化简x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5，从而判断选项A．
【解答过程】解：当x＝﹣6，y＝﹣2时，
（x+2）（y+1）＝4成立，
但2x+3y+xy＝﹣6＜3，
ex+1+ey＝e﹣5+e﹣2＜2e，
xy＝12＞2﹣2，
故选项B、C、D错误；
x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5
≥2（x+2）（y+1）﹣5＝3，
当且仅当x+2＝y+1时，等号成立，
故选项A正确；
故选：A．
4．（5分）（2022春•长治期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解题思路】利用题中的条件构造函数f（x）＝x，即可解出a与b的关系，利用1的变形，即可解出．
【解答过程】解：由，
∴，
令函数，f′（x）0，
则函数f（x）单调递增，
∴1﹣a＝2b，得a+2b＝1，
∴（a+2b）（）5≥25＝9，
当且仅当时取等号．
故选：C．
5．（5分）（2021春•陕西校级期末）把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为（ ）
A．cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【解题思路】把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x．则这两个正三角形面积之和，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答过程】解：把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x．
则这两个正三角形面积之和
[x2+（12﹣x）2]2．当且仅当x＝6时取等号．
∴这两个正三角形面积之和的最小值为2cm2．
故选：B．
6．（5分）（2021秋•怀仁市期末）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2+∞）
【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质，求出的最小值，然后求出实数m的取值范围．
【解答过程】解：∵两个正实数x，y满足，
∴（）（）（2）≥2（2+2）＝2，
当且仅当且，即x＝1，y＝2时取等号，
∵不等式有解，∴m2﹣m＞2，
解不等式可得m＞2或m＜﹣1．
故选：D．
7．（5分）（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式2恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≥1C．0＜m≤1D．1＜m≤2
【解题思路】根据题意可得（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，从而（x+y）（）（m+1）（m+1+2）（m+1+2），进一步利用基本不等式并结合不等式2恒成立即可求解．
【解答过程】解：由xy＞0，x+y＝2，得（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，
又m＞0，所以（x+y）（）（m+1）（m+1+2）（m+1+2），
当且仅当，即x，y时等号成立，
又不等式2恒成立，
所以（m+1+2）≥2，即（）2+23≥0，解得1，即m≥1，
故选：B．
8．（5分）（2022春•南充期末）△ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（ ）
A．24B．9C．16D．
【解题思路】由数量积公式可求得||•||＝4，由此求得△ABC的面积，进而得到x+y，且x＞0，y＞0，再由（x+y）（），利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：∵，∠BAC＝60°，
∴||•||cs∠BAC＝2，则||•||＝4，
∴S△ABC||•||sin∠BAC43，
又S△ABC＝S△MBC+S△MCA+S△MBA＝3，
即x+y3，即x+y，且x＞0，y＞0，
∴（x+y）（）（1+9）（10+2），
当且仅当x，y时取等号．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•湖南期末）下列函数的最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．y＝x2﹣2x+9
【解题思路】运用基本不等式或二次函数的性质逐项分析即可．
【解答过程】解：对于A，当x＜0时，显然不满足题意．
对于B，因为0＜|sinx|≤1，y＝|sinx|8，当且仅当|sinx|＝4时，等号成立；
因为等号取不到，所以其最小值不为8，B不符合题意．
对于C，y8，当且仅当x2＝16，即x＝±4时，等号成立，所以其最小值为8，C符合题意．
对于D，y＝x2﹣2x+9＝（x﹣1）2+8≥8，当x＝1时，取得最小值，D符合题意．
故选：CD．
10．（5分）已知a、b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为a、b均为正实数，
，当且仅当a＝b且2时取等号，A错误；
（a+b）（）＝24，
当且仅当时取等号，B正确；
令x，y，则（a+b）0，当x＝y时取等号，
所以（a+b），C正确；
当a，b时，，，而，D 错误．
故选：AD．
11．（5分）（2022春•沈阳期末）已知x＞0，y＞0且3x+2y＝10，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜y＜5B．的最大值为
C．x2+y2的最小值为D．xy的最大值为
【解题思路】由不等式的性质可得3x＝10﹣2y＞0，从而判断选项A；
由不等式可得（）2≤2（3x+2y），从而化简判断选项B；
由3x+2y＝10化简y，从而化简x2+y2x2﹣15x+25，利用二次函数的性质求最小值即可判断选项C；
由基本不等式得23x+2y，从而化简判断选项D即可．
【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，3x+2y＝10，
∴3x＝10﹣2y＞0，
故0＜y＜5，
故选项A正确；
∵（）2≤2（3x+2y），
即（）2≤20，
∴2，
当且仅当3x＝2y，即x，y时，等号成立，
故的最大值为2，
故选项B正确；
∵3x+2y＝10，
∴y，
故x2+y2＝x2+（）2
x2﹣15x+25，
由二次函数的性质知，
当x时取得最小值（）2﹣1525，
故选项C正确；
∵x＞0，y＞0，3x+2y＝10，
∴23x+2y，
即210，
即5，
故xy，
当且仅当3x＝2y，即x，y时，等号成立，
故xy的最大值为，
故选项D错误；
故选：ABC．
12．（5分）（2022春•保定期末）已知正实数x，y满足3x+y+xy﹣13＝0，且2t2﹣t﹣4≤2y﹣xy恒成立，则t的取值可能是（ ）
A．B．﹣1C．1D．
【解题思路】先根据题意及基本不等式可得x+y≥4，进而得到2y﹣xy≥﹣1，由此问题可转化为2t2﹣t﹣3≤0，解出即可得到答案．
【解答过程】解：∵3x+y+xy﹣13＝0，
∴（x+1）y＝﹣3x+13，
又x＞0，则x+1＞1≠0，
∴，
∴，当且仅当x＝3时等号成立，
∴2y﹣xy＝3（x+y）﹣13≥﹣1，
又2t2﹣t﹣4≤2y﹣xy恒成立，
∴2t2﹣t﹣3≤0，解得．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）已知x＞0，y＞0，，则x+y的最小值为 ．
【解题思路】由题意得x+y＝（x+y）（）3，从而利用基本不等式求最小值．
【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，，
∴x+y＝（x+y）（）
3≥23
＝23，
当且仅当，即x＝2，y1时，等号成立，
故x+y的最小值为23，
故答案为：23．
14．（5分）（2020秋•盘龙区期末）为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是 m2．
【解题思路】设直角三角形的两个直角边长分别为a，b，利用勾股定理以及基本不等式即可求出ab的最大值，进而可以求解．
【解答过程】解：设直角三角形的两个直角边长分别为a，b，
则由已知可得a2+b2＝132＝169，
所以169≥2ab，解得ab，当且仅当a＝b时，ab取得最大值为，
又空地的面积为S，
所以空地的面积的最大值为，
故答案为：．
15．（5分）（2022春•沙坪坝区校级期末）已知函数的值域是[0，+∞），则的最小值为 4 ．
【解题思路】利用二次函数的最值，解出a与b的关系式，再利用基本不等式，即可解出．
【解答过程】解：∵函数的值域是[0，+∞），
∴0，
∴a2b＝2，
∴a2﹣2b，
∵a且a2b＝2，
∴0＜b＜1，
∴a2﹣2b＞0，
∴a2﹣2b2，
当且仅当a时取等号．
故答案为：4．
16．（5分）（2021秋•锦州期末）已知实数x＞0，y＞0，且，如果存在实数m使得m≤x+2y恒成立，则m的最大值为 2 ．
【解题思路】依题意求m≤（x+2y）min，由6＝x+2y，后两项通分化为关于x+2y的关系式，应用基本不等式求得2≤x+2y≤4，问题化为存在实数m，使得m≤x+2y恒成立问题，即可得出m的最大值．
【解答过程】解：由x＞0，y＞0时，，
所以6＝x+2yx+2y（x+2y）（x+2y），当且仅当x＝2y时取等号，
所以（x+2y）2﹣6（x+2y）+8≤0，
解得2≤x+2y≤4；
又存在实数m，对于任意x，y，使得m≤x+2y恒成立，
所以m的最大值为2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•保定月考）已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
【解题思路】（1）直接运用基本不等式求解；
（2）原式要变凑出常数，原式乘以数1即可．
【解答过程】解：（1）因为a＞0，b＞0，所以，
所以，
当且仅当a＝10b，即时，等号成立，
所以ab的最大值为；
（2）因为a+10b＝1（a＞0，b＞0），
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
18．（12分）（2022春•达州期末）（1）已知x＞3，求的最小值；
（2）已知x＞0，y＞0，且3x+2y﹣1＝0，证明：．
【解题思路】（1）x可化为 x﹣22，再由基本不等式求其最值．
（2）由条件可得（）（3x+2y），结合基本不等式完成证明．
【解答过程】解：（1）由题干可知x＞3，故x﹣2＞1，原式变形：．
当且仅当，解得大病x＝5时，取到等号．
所以最小值8．
（2）由题干知x＞0，y＞0，3x+2y﹣1＝0，变形得到3x+2y＝1．
则原式变形：．
当且仅当时，即，时取等号，所以成立．
19．（12分）（2021秋•昌邑区校级月考）（1）用篱笆围成一个面积为64m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？
（2）用长为100m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【解题思路】设矩形菜园的长为xm，宽为ym，x＞0，y＞0，由基本不等式计算可得（1）（2）的所求．
【解答过程】解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，x＞0，y＞0，
则xy＝64，篱笆的长为2（x+y）m．
由，可得x+y≥216，
所以2（x+y）≥32，等号当且仅当x＝y时成立，
此时x＝y＝8，此时2（x+y）＝32m，
所以这个矩形的长、宽都为8m时，所用篱笆最短，最短的篱笆长32m；
（2）设矩形的长和宽分别为xm，ym，x＞0，y＞0，
所以2（x+y）＝100，
即x+y＝50，
因为x＞0，y＞0，
所以矩形的面积S＝xy≤（）2＝625，
当且仅当x＝y＝25时取“＝”，
所以当长和宽都为25m时，面积最大为625m2．
20．（12分）（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解xy的最大值；
（2）先利用乘1法求出的最小值，然后结合二次不等式的求法即可求解a的范围．
【解答过程】（1）解：4x+4y＝1，所以 ，解得 ，
当且仅当 取等号，
∴xy 的最大值为 ．
（2）解：，
当且仅当 ， 取等号，
∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．
即a的取值范围是[﹣9，4]．
21．（12分）（2021秋•亭湖区校级期中）已知正实数x，y满足等式x+y＝2．
（1）若不等式m2+4m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求的最小值．
【解题思路】（1）由已知利用基本不等式求出的最小值，代入m2+4m求出m的范围即可；
（2）由题意可将化简为，令t（t≥1），代入的t的二次函数求最值即可．
【解答过程】解：（1）∵（）（x+y）（）（2），
当且仅当x＝2y时，有最小值，
由不等式m2+4m恒成立，
∴m2+4m恒成立，
∴m，
故实数m的取值范围[，]；
（2）由，
由题意可得x+y＝2≥2，即0＜xy≤1，所以，
令t（t≥1），可得16t2﹣8t＝16（t）2﹣1，
所以当t＝1时，有最小值8．
22．（12分）（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
（Ⅰ）若，求x的取值范围；
（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【解题思路】（Ⅰ）由折叠性质可知△ADP≌△CEP，进而可得AP＝PC＝（x﹣a），再利用勾股定理得到（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，化简整理求出a，根据AB＞AD求出x的范围即可；
（Ⅱ），利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【解答过程】解：（Ⅰ）由矩形周长为40cm，可知AD＝（20﹣x）cm，设DP＝acm，则PC＝（x﹣a）cm，
∵△ADP≌△CEP，∴AP＝PC＝（x﹣a）cm．
在Rt△ADP中，AD2+DP2＝AP2，即（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，
得，
由题意，，即x2﹣60x+600＜0，
解得，
由AB＞AD得，10＜x＜20，∴，
即x的取值范围是（）．
（Ⅱ），10＜x＜20．
化简得．
∵x＞0，∴，
当且仅当，即时，，cm2．