新高考数学一轮复习精选讲练专题2.2 函数的概念及其表示（含解析）

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1．（5分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数的定义域和值域的关系，结合函数的定义逐个分析各个选项的图像即可．
【解答过程】解：由题意可知函数的定义域为集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，值域为集合B＝{y|﹣1≤y≤1}的子集，
对于选项A：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个x对应值域内唯一的一个y值，所以选项A正确，
对于选项B：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当x＝0时，y的值有2个，不符合函数的定义，故选项B错误，
对于选项C：函数的定义域不符合题意，故选项C错误，
对于选项D：函数的定义域不符合题意，故选项D错误，
故选：A．
2．（5分）（2022春•疏勒县校级期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0
【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答过程】解：要使原式有意义，则，即x≥2．
∴自变量x的取值范围是x≥2．
故选：B．
3．（5分）（2021秋•阳春市校级月考）函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为（ ）
A．[﹣6，2]B．[﹣6，1]C．[0，2]D．[0，1]
【解题思路】利用二次函数的性质判断函数的单调性，求出最值即可得出函数的值域．
【解答过程】解：函数f（x）＝﹣2x2+4x的开口向下，对称轴为x＝1，
所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣6，
所以函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为[﹣6，2]．
故选：A．
4．（5分）（2021春•临澧县校级期末）若f（x），则f（﹣2）的值为（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【解题思路】利用函数的解析式知道当x＜1时是以2周期的周期函数，故f（﹣2）＝f（2），再代入函数解析式即得
【解答过程】解：∵f（x）
∴当x＜1时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2），
∴当x＝2时即f（2）＝lg22＝1
故选：B．
5．（5分）（2022春•济宁期末）若函数的定义域为（1，+∞），则a＝（ ）
A．﹣3B．3C．1D．﹣1
【解题思路】由题意，不等式的解集为（1，+∞），可得 1是方程x2+2x+a＝0的一个解，由此求得a的值．
【解答过程】解：∵函数的定义域为（1，+∞），
∴不等式的解集为（1，+∞），
∴1是方程x2+2x+a＝0的一个解，∴1+2+a＝0，求得a＝﹣3，
故选：A．
6．（5分）（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．
【解答过程】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，
∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．
又3x﹣1＞0，∴，取交集可得函数g（x）的定义域为．
故选：C．
7．（5分）（2020•广东学业考试）已知函数f（x），若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）＝f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．
【解答过程】解：∵函数，
∴f（﹣1）＝2，f（1）＝a，
若f（1）＝f（﹣1），
∴a＝2，
故选：B．
8．（5分）（2021春•高安市校级期中）已知函数f（x），若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（ ）
A．（）B．（，）C．（，6]D．（，]
【解题思路】先作出函数f（x）的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x＝3对称，得到x2+x3＝6，且x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．
【解答过程】解：函数f（x）的图象，如图，
不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x＝3对称，故x2+x3＝6，
且x1满足x1＜0；
则x1+x2+x3的取值范围是：6＜x1+x2+x3＜0+6；
即x1+x2+x3∈（，6）．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•鄂州期末）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈N*}，集合B＝N*，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2C．y＝lg2xD．y＝2x
【解题思路】通过举反例可得对应关系f：y＝lg2x 不是从A到B的函数关系，而按照对应关系f：y＝2x，y＝x2，y＝2x构成从A到B的函数关系，由此得出结论．
【解答过程】解：由函数的定义可得A中的每个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应．
按照对应关系f：y＝lg2x，A中的6在B中没有元素与之对应，故不是映射．
而按照对应关系f：y＝2x，y＝x2，y＝2x，A中的每个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应，
满足函数的定义．
故选：ABD．
10．（5分）（2021秋•温州期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．f（x）＝2x+2﹣x
C．D．
【解题思路】根据“同族函数”分别进行判断即可．
【解答过程】解：A．f（x）是偶函数，当x∈[1，2]与x∈[﹣2，﹣1]时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，
B．f（﹣x）＝2﹣x+2x＝2x+2﹣x＝f（x），函数f（x）为偶函数，且f（x）为增函数，有可能是“同族函数”，
C．f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，且当x＞0或x＜0时，分别为减函数，不可能是“同族函数”，
D．由对勾函数的性质知当0＜x＜1时f（x）为减函数，当x＞1时，f（x）为增函数，当x∈[1，2]与x∈[，1]时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，
故选：ABD．
11．（5分）（2022春•道里区校级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的值域为[2，+∞）
C．函数的值域为
D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是[0，1]
【解题思路】直接利用二次函数的性质判断函数的值域，进一步确定A的结论；利用函数的关系式的变换和对勾函数的性质的应用判断B的结论，利用函数的定义域确定函数的值域，进一步确定C的结论，利用对数的性质的应用判断D的结论．
【解答过程】解：对于，故函数的值域为，故A错误；
对于B：函数，利用对勾函数y＝t（t＞0），整理得，故函数的值域为[），故B错误；
对于C：函数，由于，令f′（x）＝0，解得x＝2时，函数取的极大值，函数的定义域x∈[0，4]，根据导数的性质x∈[0，2]上单调递增，，函数f（x）在x∈[2，4]上单调递减，当x＝0或4时，函数取得最小值为2，当x＝2时，函数取得最大值2，所以的值域为，故C正确；
对于D：由于函数的值域为R，当a＝0时，函数的值域为R，成立，当a＞0且4﹣4a2≥0，解得a∈[0，1]，故D正确；
故选：CD．
12．（5分）（2021秋•天河区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数
B．函数定义域为[1，+∞）
C．若函数的值域为R，则a的取值范围为
D．函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，则y＝f（x）+f（﹣x）定义域为[﹣1，1]
【解题思路】根据题意，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答过程】解：对于A，两个函数的定义域与值域相同时，这两个函数为不一定是同一个函数，
如f（x）＝|x|，x∈R，与g（x）＝x2，x∈R，所以选项A错误；
对于B，函数定义域为（1，+∞），分母不能为0，选项B错误；
对于C，函数的值域为R时，Δ＝12﹣4a≥0，解得a，
所以a的取值范围是，选项C正确；
对于D，因为函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，令，解得﹣1≤x≤1，
所以函数y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]，选项D正确．
故选：CD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•博野县校级月考）已知f（2x+1）的定义域为[﹣1，2]，则f（x﹣1）的定义域为 [0，6] ．
【解题思路】根据函数f（2x+1）的定义域知x的取值范围，求出f（x）的定义域，再求f（x﹣1）的定义域．
【解答过程】解：函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，2]，
知x∈[﹣1，2]，
所以﹣1≤2x+1≤5，
即f（x）的定义域为[﹣1，5]；
令﹣1≤x﹣1≤5，
解得0≤x≤6，
所以f（x﹣1）的定义域为[0，6]．
故答案为：[0，6]．
14．（5分）（2021秋•新乡期末）函数的值域为 [3，+∞） ．
【解题思路】先判断和x2﹣x+1的单调性，从而判断f（x）的单调性，进而求值域．
【解答过程】解：由2x﹣4≥0，得x≥2．
因为在[2，+∞）上单调递增，且x2﹣x+1在[2，+∞）上单调递增．
所以因为f（x）在[2，+∞）上单调递增．
所以f（x）min＝f（2）＝3．
故答案为：[3，+∞）．
15．（5分）（2021春•龙凤区校级月考）已知f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，则f（x）的解析式为 f（x）x2﹣2x ．
【解题思路】由f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x，联立可求．
【解答过程】解：因为f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，
所以f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x，
联立可得，f（x）x2﹣2x．
故答案为：f（x）x2﹣2x．
16．（5分）（2022春•南平期末）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．
【解题思路】由题意，分类讨论a的范围，利用一次函数、二次函数的性质，可得结论．
【解答过程】解：∵函数的值域为R，
当a＝1时，f（x），不满足值域为R．
当a＞1时，应有a﹣1+1≥a2﹣2a•a+6，解得a≥2．
当a＜1时，由于（a﹣1）x+1（x≤1）和x2﹣2ax+6（x＞1）都有最小值，
故函数的值域不可能为R，故不满足题意．
综上，a≥2，
故答案为：[2，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•龙门县校级月考）求下列函数的定义域．
（1）；
（2）．
【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答过程】解：（1）由题意可知，解得，
∴2≤x≤3，
即函数的定义域为[2，3]．
（2）由题意可知，解得﹣2≤x≤2且x≠2且x，
∴x，
即函数的定义域为[﹣2，）∪（，2）．
18．（12分）（2021秋•思南县校级月考）已知函数f（x）＝|x﹣2|+x2．
（1）去掉绝对值，写出f（x）的分段解析式；
（2）画出f（x）的图象，并写出值域．
【解题思路】（1）分x≥2和x＜2讨论，取绝对值即可；
（2）根据抛物线的性质，分别画出两段上的图象即可．
【解答过程】解：（1）当x≥2时，f（x）＝x2+x﹣2，
当x＜2时，f（x）＝x2﹣x+2，
所以f（x）；
（2）当x≥2时，f（x）为以x为对称轴，开口向上的抛物线，
当x＜2时，f（x）为以x为对称轴的抛物线，
所以f（x）的图象如图所示：
所以函数f（x）的值域为[，+∞）．
19．（12分）（2022春•桃源县月考）若指数函数f（x）的图像过点A（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域．
【解题思路】（1）由题意，利用待定系数法求出指数函数的解析式．
（2）由题意，结合函数的单调性求出函数f（x）的值域．
【解答过程】解：（1）设指数函数为f（x）＝ax（a＞0，a≠1），
∵它的图像过点A（2，9），
∴a2＝9，∴a＝3，∴函数f（x）＝3x．
（2）当x∈[﹣2，3]时，3x∈[，27]，
故函数f（x）的值域为[，27]．
20．（12分）（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝a|x﹣2|，F（x）＝f（x）+g（x）．
（1）a＝2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域；
（2）a＞2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域．
【解题思路】（1）求出F（x）的解析式，再结合图象可求出值域．
（2）求出F（x）的解析式，分0≤x≤2和2＜x≤3讨论．
【解答过程】解：（1）当a＝2时，
F（x）＝x2﹣2x+2|x﹣2|，
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，则值域为[0，4]；
当2＜x≤3时，F（x）＝x2﹣4，则值域为（0，5]；
∴F（x）的值域为[0，5]．
（2）当a＞2时，F（x），
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣（a+2）x+2a，对称轴为x，所以值域为[0，2a]；
当2＜x≤3时，F（x）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，对称轴为x，所以值域为[0，a+3]；
∴当2＜a＜3时，F（x）的值域为[0，a+3]；当a≥3时，F（x）的值域为[0，2a]．
21．（12分）（2021春•齐齐哈尔月考）（1）已知y＝f（x）的定义域为[0，1]，求函数y＝f（x2+1）的定义域；
（2）已知y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x）的定义域；
（3）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，求函数的定义域．
【解题思路】（1）由已知可得0≤x2+1≤1，求解x的范围得答案；
（2）y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，求出2x﹣1的范围得答案；
（3）由已知求得f（2x）的定义域，结合分母不为0，取交集得答案．
【解答过程】解：（1）∵y＝f（x）的定义域为[0，1]，
∴由0≤x2+1≤1，得x＝0，
即y＝f（x2+1）的定义域为{0}；
（2）∵y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，
∴﹣1≤2x﹣1≤1．可得y＝f（x）的定义域为[﹣1，1]；
（3）∵函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，
由2x∈[0，2]，得0≤x≤1，
∴y＝f（2x）的定义域为[0，1]．
又2x﹣1≠0，即，
∴函数y＝g（x）的定义域为．
22．（12分）（2021秋•中山市期末）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．
（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；
（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
（Ⅱ）直接利用定义性函数的应用和分类讨论思想的应用求出b的值；
（Ⅲ）利用同域函数的应用和分类讨论思想的应用求出参数b的取值范围．
【解答过程】解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：．
∴f（x）的定义域为；
（Ⅱ）当a＝1时，，
（1）当，即b≥0时，f（x）的定义域为[0，+∞），值域为，
∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．
（2）当，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．
∴．
综上所述，b的值为．
（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．
（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，
∴f（x）不是“同域函数”．
（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，
设，则f（x）的定义域A＝[0，x0]．
①当，即b≤0时，f（x）的值域．
若f（x）为“同域函数”，则，
从而，，
又∵﹣1＜a＜0，
∴b的取值范围为（﹣1，0）．
②当，即b＞0时，f（x）的值域．
若f（x）为“同域函数”，则，
从而，（*）
此时，由，b＞0可知（*）不成立．
综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．