新高考数学一轮复习精选讲练专题2.6 函数的奇偶性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题2.6 函数的奇偶性（含解析），共15页。

1．（5分）（2022•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定义域关于原点对称，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，从而得到a+b的值．
【解答过程】解：对于函数知f（x）＝ax2+bx，
依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．
又 a﹣1＝﹣2a，∴a，
∴a+b．
故选：B．
2．（5分）（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1B．f（x﹣2）+1C．f（x+2）﹣1D．f（x+2）+1
【解题思路】化简函数f（x）＝1，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．
【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1．
对A，f（x﹣2）﹣1是奇函数；
对B，f（x﹣）+1＝2，关于（0，2）对称，不是奇函数；
对C，f（x+2）﹣1，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
对D，f（x+2）+1＝2，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
故选：A．
3．（5分）（2022春•满洲里市校级期末）若函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝lg3x，则（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解题思路】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝lg3x，所以，
又由f（x）为奇函数，所以1，
故选：A．
4．（5分）（2022秋•渝中区校级月考）已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x+ln（x+1），则x＜0时，f（x）＝（ ）
A．﹣x﹣ln（1﹣x）B．x﹣ln（1﹣x）C．﹣x+ln（1﹣x）D．x+ln（1﹣x）
【解题思路】利用偶函数的性质对应求解即可．
【解答过程】解：令x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x+ln（﹣x+1）．
故选：C．
5．（5分）（2022•宝坻区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，先通过对称点的方法求出函数在区间（﹣∞，0）上的表达式，从而得出函数完整的表达式，然后利用对数函数y＝lnx图象向左平移一个单位的图象与原函数在（0，+∞）上图象进行对照，得到正确的选项．
【解答过程】解：∵当x＞0时，f（x）＝ln（x+1），
∴设x＜0，得﹣x＞0，f（﹣x）＝ln（﹣x+1），
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
即当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x+1），
综上所述，得f（x），
由自然对数的底为e＝2.71828…＞1，当x＞0时原函数由对数函数y＝lnx图象左移一个单位而来，
得当x＞0时函数为增函数，函数图象是上凸的，
根据以上讨论，可得C选项符合条件，
故选：C．
6．（5分）（2022•黄州区校级二模）已知函数f（x）＝xln（e2x+1）﹣x2+1，f（a）＝2，则f（﹣a）的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【解题思路】构造函数g（x）＝xln（e2x+1）﹣x2，可判g（x）为奇函数，易得答案．
【解答过程】解：构造函数g（x）＝xln（e2x+1）﹣x2，
则g（﹣x）+g（x）＝﹣xln（e﹣2x+1）﹣x2+xln（e2x+1）﹣x2
＝xln2x2＝xlne2x﹣2x2＝0，
故函数g（x）为奇函数，
又f（a）＝g（a）+1＝2，∴g（a）＝1，
∴f（﹣a）＝g（﹣a）+1＝﹣g（a）+1＝0
故选：B．
7．（5分）（2021秋•城关区校级期末）若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（lg2x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（0，4）B．（4，+∞）
C．（0，）∪（4，+∞）D．（，4）
【解题思路】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（﹣∞，0]内lg2x的范围，再根据对称性写出lg2x解集，最后根据对数的单调性求出不等式的解集．
【解答过程】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴在[0，+∞）上是增函数，
∴f（lg2x）＝f（|lg2x|），则不等式等价于f（|lg2x|）＜f（2），∴|lg2x|＜2．
∴﹣2＜lg2x＜2∴x＜4．
故选：D．
8．（5分）（2021•河南模拟）设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），若a＝f（21.1），b＝f（50.4），c＝f（ln），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解题思路】由已知先求出x＞0时函数解析式，然后结合函数的单调性即可比较大小．
【解答过程】解：因为x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），
所以x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝lnx＝f（x），
因为x＞0时，f（x）＝lnx单调递增，
因为lnlne＝1，50.4＞1，
则b＞c，
因为21.1÷50.41，
故21.1＞50.4，
故a＞b．
综上a＞b＞c．
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•滨州期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．y＝﹣x2C．D．y＝csx
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性和奇偶性，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是反比例函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝﹣x2，是二次函数，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于C，y，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，y＝csx，是余弦函数，区间（0，+∞）上不具有单调性，不符合题意；
故选：BC．
10．（5分）（2022春•扬州期末）已知奇函数f（x）与偶函数g（x）的定义域、值域均为R，则（ ）
A．f（x）+g（x）是奇函数B．f（x）|g（x）|是奇函数
C．f（x）g（x）是偶函数D．f（g（x））是偶函数
【解题思路】根据奇函数、偶函数的定义逐一判断即可．
【解答过程】解：对于A选项，因为f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠f（x）+g（x）且f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，
所以f（x）+g（x）既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于B选项，因为f（﹣x）|g（﹣x）|＝﹣f（x）|g（x）|，所以f（x）|g（x）|是奇函数，故B正确；
对于C选项，因为f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）≠f（x）g（x），所以f（x）g（x）是奇函数，不是偶函数，故C错误；
对于D选项，因为f（g（﹣x））＝f（g（x）），所以f（g（x） ）是偶函数，故D正确．
故选：BD．
11．（5分）（2022春•烟台期末）若函数f（2x+2）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（e）＝1
C．
D．当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣ln（2﹣x）
【解题思路】由函数的奇偶性的定义，推得f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x）的奇偶性和周期性，结合已知区间上的函数解析式，计算可得结论．
【解答过程】解：若函数f（2x+2）为偶函数，可得f（﹣2x+2）＝f（2x+2），
即为f（﹣x+2）＝f（x+2），即f（﹣x）＝f（x+4），
又f（x+1）为奇函数，可得f（﹣x+1）+f（x+1）＝0，
即有f（﹣x）+f（x+2）＝0，
所以f（x+4）＝﹣f（x+2），
即有f（x+2）＝﹣f（x），
可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，故A正确；
当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
由f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，
f（e）＝f（﹣e）＝f（4﹣e）＝﹣f（e﹣2）＝﹣ln（e﹣2），故B错误；
f（4）＝f（）＝f（）＝ln1，故C正确；
当x∈[1，2）时，2﹣x∈（0，1]，f（2﹣x）＝ln（2﹣x），
而f（2﹣x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）＝﹣ln（2﹣x），x∈[1，2），故D正确．
故选：ACD．
12．（5分）（2022春•菏泽期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），则（ ）
A．当x＜0时，f（x）＝ex•（x+1）
B．函数f（x）有2个零点
C．f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2
【解题思路】由已知结合函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），
当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）＝ex•（﹣x﹣1）＝﹣f（x），
所以f（x）＝ex•（x+1），A正确；
当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1）有一个零点x＝1，
当x＜0时，f（x）＝ex•（x+1）有一个零点x＝﹣1，
由奇函数性质得f（0）＝0，故有3个零点，B错误；
当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1）＞0得x＞1，当x＜0时，f（x）＝ex•（x+1）＞0得﹣1＜x＜0，C正确；
当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），
则，
易得，当x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故当x＝2时，函数取得极大值f（2），x→+∞时，f（x）→0，x→0时，f（x）→，
故此时函数有最大值f（2），
根据函数对称性可知，x＜0时，函数取得最小值f（2），
故|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•满洲里市校级期末）设函数f（x）＝（x+1）（x+a）在区间（1﹣b，2）上为偶函数，则2a+b的值为 1 ．
【解题思路】根据题意，由偶函数的定义域要求可得b的值，结合二次函数的性质可得a的值，计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，因为函数f（x）＝（x+1）（x+a）在区间（1﹣b，2）上为偶函数，
必有（1﹣b）+2＝0，即1﹣b＝﹣2，解得b＝3．
又二次函数f（x）＝x2+（a+1）x+a为偶函数，则其对称轴为y轴，
必有a+1＝0，则有a＝﹣1，
所以2a+b＝1；
故答案为：1．
14．（5分）（2020秋•丰台区期中）已知偶函数f（x）部分图象如图所示，且f（3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为 （﹣3，3） ．
【解题思路】根据题意，由函数的图象分析f（x）＞0与f（x）＜0的区间，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，由函数f（x）在[0，+∞）上的图象，
在区间[0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，
又由f（x）为偶函数，则区间（﹣3，0]上，f（x）＜0，在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＞0，
综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）．
15．（5分）（2022春•福州期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）﹣2为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（﹣1）+f（0）＝1，则 ．
【解题思路】先由题设得函数f（x）关于点（1，2）和直线x＝2对称，再由对称性得出函数f（x）周期为4，再结合f（1）＝2以及f（﹣1）+f（0）＝1求出a，b的值，最后由周期性求函数值即可．
【解答过程】解：由f（x+1）﹣2为奇函数，可得f（x+1）﹣2＝﹣f（﹣x+1）+2，函数f（x）关于点（1，2）对称．
又定义域为R，则有f（1）＝2，又f（x+2）为偶函数．
可得f（x+2）＝f（﹣x+2），函数f（x）关于直线x＝2对称，则f（x）＝4﹣f（2﹣x）＝4﹣f（2+x）．
又f（2+x）＝4﹣f（﹣x），则f（x）＝f（﹣x），则f（x+2）＝f（﹣x+2）＝f（x﹣2），函数f（x）周期为4．
则f（）＝f（1012）＝f（）＝f（）＝4﹣f（）．
由上可得f（﹣1）＝f（1）＝a+b，f（0）＝4﹣f（2）＝4﹣4a﹣b，则，解得．
则f（）1，则f（）＝4﹣f（）．
故答案为：．
16．（5分）（2022春•湖南月考）函数f（x）＝ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）是偶函数，则f（a+b）、f（ab）与f（2）三者间的大小关系是 f（ab）＜f（2）＜f（a+b） ．
【解题思路】由偶函数的定义推得ab＝1，再由指数函数和对勾函数的单调性可得f（x）的单调性，结合基本不等式可得所求大小关系．
【解答过程】解：函数f（x）＝ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）是偶函数，
可得f（﹣x）＝f（x），即a﹣x+b﹣x＝ax+bx，
即ax+bx，
可得（ab）x＝1，即有ab＝1，即b，
由a+b＞22，
又f（x）＝ax+a﹣x，当x＞0时，若a＞1，则ax＞1；若0＜a＜1时，则a﹣x＞1，
令t＝ax，x＞0，
若a＞1时，则t＝ax递增；
又y＝t+t﹣1在（1，+∞）递增，可得f（x）在（0，+∞）递增；
若0＜a＜1时，则t＝ax递减，
又y＝t+t﹣1在（0，1）递减，可得f（x）在（0，+∞）递增；
由1＜2＜a+b，可得f（1）＜f（2）＜f（a+b），
即f（ab）＜f（2）＜f（a+b）．
故答案为：f（ab）＜f（2）＜f（a+b）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•长泰县校级期末）已知函数是奇函数，且，求f（x）的解析式．
【解题思路】先由奇函数的定义得到等式f（﹣x）＝﹣f（x）由其恒成立的特性得出q的值，再由求出p，即可得到函数的解析式．
【解答过程】解：．
∵f（x）是奇函数，
∴对定义域内的任意的x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），
即，整理得：q+3x＝﹣q+3x，
∴q＝0（8分）
又∵，
∴，解得p＝2
∴所求解析式为．
18．（12分）（2022春•三元区校级月考）已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（﹣2）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）画y＝f（x）的草图，并通过图像写出y＝f（x）的单调区间．
【解题思路】（1）由已知先求f（2），然后结合奇函数定义可求；
（2）由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义及性质可求；
（3）结合二次函数的图象及性质即可求解．
【解答过程】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．
所以f（2）＝0，
则f（﹣2）＝﹣f（2）＝0；
（2）当x＝0时，f（x）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝x2+2x＝﹣f（x），
所以f（x）＝﹣x2﹣2x，
∴f（x），
（3）结合函数图象可知，函数的增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．
19．（12分）（2021秋•海安市校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x+3x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＞2.5x．
【解题思路】（1）根据奇函数，利用换元法求出当x＞0时解析式，即可得到函数f（x）在R上的解析式；
（2）分别对x＜0，x＝0，x＞0三种情况解不等式f（x）＞2.5x．
【解答过程】解：（1）当x＜0时，f（x）＝2x+3x．
当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）＝2﹣x+3﹣x．
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．
所以f（x）＝﹣（2﹣x+3﹣x）．
当x＝0时，有f（﹣0）＝﹣f（0），从而f（0）＝0．
所以f（x）．
（2）由（1）知，当x＞0时，因为2﹣x＞0，3﹣x＞0，所以﹣（2﹣x+3﹣x）＜0．
当x＝0，f（0）＝0．所以当x≥0时，f（x）≤0．
而当x≥0时，2.5x＞0，所以不等式f（x）＞2.5x在[0，+∞）上无解．
当x＜0时，不等式f（x）＞2.5x为2x+3x＞2.5x，所以（）x+（）x＞2．
记函数g（x）＝（）x+（）x，x＜0．
因为，∈（0，1），所以函数y＝（）x，y＝（）x均为R上的单调减函数，从而函数g（x）为R上的单调减函数．
又g（0）＝1+1＝2，所以不等式（）x+（）x＞2的解集为（﹣∞，0）．
从而关于x的不等式f（x）＞2.5x的解集为（﹣∞，0）．
20．（12分）（2021秋•包头期末）函数f（x）＝lg2（2﹣x）+lg2（2+x）．
（1）求f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若2a＝3b＝m（1＜m＜2），比较f（2a）与f（﹣3b）的大小．
【解题思路】（1）根据对数函数成立的条件，建立不等式，以及利用函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）利用指数幂和对数之间的关系进行转化，利用复合函数单调性之间的关系进行转化即可．
【解答过程】解：（1）要使函数有意义，则，得，得﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），
则f（﹣x）＝lg2（2+x）+lg2（2﹣x）＝f（x），即f（x）是偶函数．
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣3b）＝f（3b），
由2a＝3b＝m得a＝lg2m，b＝lg3m，
∵1＜m＜2，∴0＜a＜1，0＜b＜1，
则2a＝2lg2m，3b＝3lg3m，
则1，
则2a＞3b，
f（x）＝lg2（2﹣x）+lg2（2+x）＝lg2（2﹣x）（2+x）＝lg2（4﹣x2），
则f（x）在（0，2）上为减函数，
则f（2a）＜f（3b），即f（2a）＜f（﹣3b）．
21．（12分）（2022春•大兴区校级期末）已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并进行证明；
（2）若实数a满足，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用奇函数的定义证明即可；
（2）利用对数的性质化简，利用函数的单调性脱去f，即可得解．
【解答过程】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为R，
且f（﹣x）f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）1，
由于e2x+1为增函数且e2x+1＞0，∴为减函数，∴f（x）为R上的增函数；
∴2f（lg2a）+f（a）+f（1）＝2f（lg2a）﹣f（lg2a）+f（1）≤0；
∴f（lg2a）≤﹣f（1）＝f（﹣1）；
∴lg2a≤﹣1＝lg2；
∴0＜a，
实数a的取值范围是（0，]．
22．（12分）（2021秋•泰州期末）若存在实数m，n使得h（x）＝m•f（x）+n•g（x），则称函数h（x）为f（x），g（x）的“T（m，n）函数“．
（1）若h（x）＝ex为f（x），g（x）的“T（2，1）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求f（x），g（x）的解析式；
（2）设函数f（x）＝ln（ex+1），g（x）＝x，是否存在实数m，n使得h（x）为f（x），g（x）的“T（m，n）函数”，且同时满足：①h（x）是偶函数；②h（x）的值域为[ln2，+∞）．若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．
【解题思路】（1）利用函数的奇偶性建立方程组进行求解即可．
（2）根据h（x）是偶函数，且h（x）的值域为[ln2，+∞），进行转化求解即可．
【解答过程】解：（1）因为h（x）＝ex为f（x），g（x）的“T（2，1）函数”，
所以2f（x）+g（x）＝ex①，所以2f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x．
因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）．
所以﹣2f（x）+g（x）＝e﹣x②．
联立①②解得f（x）（ex﹣e﹣x），g（x）（ex+e﹣x）．
（2）假设存在实数m，n，使得h（x）为f（x），g（x）的“T（m，n）函数”，
则h（x）＝mf（x）+ng（x）＝mln（ex+1）+nx．
①因为h（x）是偶函数，所以h（﹣x）＝h（x）．
即mln（e﹣x+1）﹣nx＝mln（ex+1）+nx，即mln2nx＝0，
整理得（2n+m）x＝0．
因为（2n+m）x＝0对∀∈R恒成立，所以m＝﹣2n．
②h（x）＝mln（ex+1）+nx＝﹣2nln（ex+1）+nx＝nlnnln，
因为ex2≥4，当且仅当ex，即x＝0时取等号．
所以lnln2ln2，
由于h（x）的值域为[ln2，+∞），
所以n＜0，且﹣2n＝1．
又因为m＝﹣2n，所以m＝1，n，
综上，存在m＝1，n满足要求．