新高考数学一轮复习精选讲练专题2.8 函数的周期性与对称性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题2.8 函数的周期性与对称性（含解析），共16页。试卷主要包含了＝x2﹣x+1，有以下四个命题等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•北京期中）函数是（ ）
A．周期为π的奇函数B．周期为2π的奇函数
C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数
【解题思路】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶性的定义可得结论．
【解答过程】解：函数的最小正周期为T2π，
定义域为{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，关于原点对称，
f（﹣x）＝tan（x）＝﹣tanf（x），
则f（x）为奇函数．
故选：B．
2．（5分）（2022•合肥二模）函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线x＝﹣e对称B．点（﹣e，0）对称
C．直线x＝﹣2对称D．点（﹣2，0）对称
【解题思路】计算f（x﹣4），f（﹣x）可得f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，可得f（x）的图象的对称性．
【解答过程】解：由f（x）＝ex+4﹣e﹣x，可得f（x﹣4）＝ex﹣e﹣x+4，
f（﹣x）＝e﹣x+4﹣ex，
所以f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，
则f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称．
故选：D．
3．（5分）（2022•道里区校级四模）已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（ ）
A．e3+eB．﹣e3+eC．e3﹣eD．﹣e3﹣e
【解题思路】由周期性和奇偶性求得f（2）＝0，结合，可求得a＝e3，进而得到所求答案．
【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，
∴f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0，
又，
∴，即e3+a＝2e3，
∴a＝e3，
∴，
故选：D．
4．（5分）（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数B．f（x）周期为2
C．D．f（x﹣2）是奇函数
【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D．
【解答过程】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，
即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；
由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），
即为f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，故B错误；
由f（）＝f（4）＝f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣1，故C错误；
由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确．
故选：D．
5．（5分）（2022春•日照期末）已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（ ）
A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝g（x）是偶函数
C．2是y＝f（x）一个周期
D．y＝g（x）关于直线x＝2对称
【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，则y＝g（x）关于x＝﹣1对称，
y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则y＝f（x）关于x＝1对称，
又由y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，则y＝f（x）关于原点中心对称，故y＝f（x）是奇函数，故A正确．
对于B，y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，故y＝g（x）也是奇函数，故B错误．
对于C，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
y＝f（x）关于x＝1对称，故f（﹣x+1）＝f（x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x），
联立可得：f（﹣x）＝﹣f（﹣x+2），变形可得f（x）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，故C错误．
对于D，因为4是函数f（x）的周期，y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，所以（﹣2，0）−是y＝f（x）的中心对称，（﹣2，0）关于y轴对称为（2，0），为y＝g（x）的对称中心，故D错误．
故选：A．
6．（5分）（2022春•南通期末）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足f（﹣x+2）＝f（x+2），则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．f（x+8）＝f（x）
D．若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝﹣1
【解题思路】由已知结合函数的奇偶性，对称性及周期性分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：由f（2﹣x）＝f（2+x）可得f（4﹣x）＝f（x）．函数图象关于x＝2对称，B错误；
因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（4+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（8+x）＝f（x），C正确；
因为f（4）＝f（0）＝0，A正确；
若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝f（5）＝f（﹣3）＝﹣1，D正确．
故选：B．
7．（5分）（2021秋•番禺区校级期末）若对∀x，y∈R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，则函数g（x）f（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
【解题思路】求出g（x）＝φ（x）+h（x）+4，根据函数的奇偶性得到y＝φ（x）+h（x）为奇函数，求出答案即可．
【解答过程】解：∀x，y∈R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，
取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）﹣4，故f（0）＝4，
取y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣4，故f（x）+f（﹣x）＝8，
令h（x）＝f（x）﹣4，则h（x）+h（﹣x）＝0，
故h（x）为奇函数，
∵g（x）f（x），设φ（x），
则g（x）＝φ（x）+h（x）+4，
∵φ（﹣x）φ（x），故φ（x）为奇函数，
故y＝φ（x）+h（x）为奇函数，
故函数g（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
8．（5分）（2022春•海淀区校级期中）设函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个命题：
①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数；
②函数y＝f（x）﹣g（x）的图象是轴对称图形；
③函数y＝f（x）⋅g（x）的图象关于坐标原点对称；
④函数存在最大值．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】对于①，利用反证法可得①不正确；
对于②，通过证明f（1﹣x）+g（1﹣x）＝f（x）+g（x）恒成立可得②正确；
对于③，根据f（）g（）≠﹣f（）g（），可得③不正确；
对于④，根据f（x）＝sinπx≤1，以及不等式的性质可得④正确．
【解答过程】解：对于①，假设函数y＝f（x）+g（x）是周期函数，周期为T（T≠0），则f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T）恒成立，
即sinπx+x2﹣x+1＝sin[π（x+T）]+（x+T）2﹣（x+T）+1恒成立，
即sinπx﹣sin[π（x+T）]＝2Tx+T2﹣T恒成立，
当x＝0时，得﹣sinπT＝T2﹣T，
当x＝1时，得﹣sin（π+πT）＝T2+T，即sinπT＝T2+T，
所以T2﹣T＝﹣T2﹣T，即T＝0，不合题意，
所以所以y＝f（x）+g（x）不是周期函数，故①不正确；
对于②，因为f（1﹣x）+g（1﹣x）＝sin[π（1﹣x）]+（1﹣x）2﹣（1﹣x）+1＝sinπx+x2﹣x+1＝f（x）+g（x），
所以函数y＝f（x）﹣g（x）的图象关于直线x对称，故②正确；
对于③，因为f（）g（）＝sin（）[（）2﹣（）+1]，
f（）g（）＝sin[（）21]，
所以f（）g（）≠﹣f（）g（），
所以函数y＝f（x）⋅g（x）不是奇函数，所以函数y＝f（x）⋅g（x）的图象不关于坐标原点对称，故③不正确；
对于④，因为f（x）＝sinπx≤1，当且仅当x＝2k（k∈Z）时，等号成立，
g（x）＝x2﹣x+1＝（x）2，当且仅当x时，等号成立，
所以，
所以1，当且仅当x时，等号成立，
所以函数存在最大值，最大值为，故④正确．
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•海安市校级期中）若函数f（x+1）（x∈R）是奇函数，g（x）＝x•f（x）是奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数f（x）图象关于点（1，0）对称
B．函数f（x）的周期为1
C．f（2021）＝0
D．f（2022）＝0
【解题思路】由g（x）＝x•f（x）是奇函数可得，f（x）为偶函数，再结合f（x+1）是奇函数，得出f（x）是周期函数，最小正周期为4．
【解答过程】解：因为g（x）＝x•f（x）是奇函数，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），即﹣x•f（﹣x）＝﹣x•f（x），
所以f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数，
因为f（x+1）是奇函数，所以函数f（x+1）图像关于点（0，0）对称，所以函数f（x）图像关于点（1，0）对称，因此选项A正确，
f（x+4）＝f[（x+3）+1]＝﹣f[﹣（x+3）+1]＝﹣f（﹣x﹣2）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
所以，f（x）是周期函数，最小正周期为4，故选项B错误
因此f（2021）＝f（1）＝0，故选项C正确，f（2022）＝f（2）不一定为0，故选项D错误，
故选：AC．
10．（5分）（2022春•辽宁期中）已知函数f（x）＝||csx|﹣|sinx||，则下列结论中，正确的有（ ）
A．函数f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）的值域为[0，1]
【解题思路】利用三角函数的性质及绝对值的定义对四个选项依次判断即可．
【解答过程】解：∵f（﹣x）＝||cs（﹣x）|﹣|sin（﹣x）||
＝||csx|﹣|sinx||＝f（x），
∴函数f（x）的图像关于y轴对称，
故选项A正确；
∵f（x）＝||cs（x）|﹣|sin（x）||
＝||sinx|﹣|csx||＝f（x），
∴是函数f（x）的周期，
故选项B错误；
当x∈时，
f（x）＝||csx|﹣|sinx||＝|csx﹣sinx|＝sinx﹣csxsin（x），
故f（x）在上单调递增，
故选项C正确；
∵0≤|csx|≤1，0≤|sinx|≤1，
∴﹣1≤|csx|﹣|sinx|≤1，
∴0≤||csx|﹣|sinx||≤1，即0≤f（x）≤1，
又∵f（）＝0，f（0）＝1，
∴f（x）的值域为[0，1]，
故选项D正确；
故选：ACD．
11．（5分）（2022•青岛二模）已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（ ）
A．g（x）为奇函数
B．g（x）为偶函数
C．h（x）的图象关于直线x＝1对称
D．h（x）的图象关于点（1，0）对称
【解题思路】由已知结合函数的奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），
所以g（﹣x）＝f（2+x）﹣f（2﹣x）＝﹣g（x），即g（x）为奇函数，A正确，B错误；
因为h（x）＝f（2﹣x）+f（x），
所以h（2﹣x）＝f（x）+f（2﹣x）＝h（x），即h（x）的图象关于x＝1对称，C正确，D错误．
故选：AC．
12．（5分）（2021秋•荆州期末）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x），函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，若当x∈（0，1]时，，则（ ）
A．f（x）偶函数B．f（x）为周期函数
C．f（2023）＝﹣1D．当x∈[3，4）时，
【解题思路】根据条件分别判断函数的奇偶性，周期性，利用奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【解答过程】解：∵f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，故B正确，
∵函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，
∴将f（x+1）的图象向右平移一个单位得到f（x），即f（x）关于x＝0对称，即关于y轴对称，则f（x）是偶函数，故A正确，
f（2023）＝f（253×8﹣1）＝f（﹣1）＝f（1）1，故C错误，
当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（﹣x），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）f（x），即当x∈[﹣1，0）时，f（x），
当x∈[3，4）时，当x﹣4∈[﹣1，0），
则由f（x+4）＝﹣f（x），得f（x）＝﹣f（x﹣4），故D正确，
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•河北区期末）函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1，则f（2.5）＝ 1 ．
【解题思路】由奇函数和周期函数的定义可得所求值．
【解答过程】解：函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1，
则f（2.5）＝f（2+0.5）＝f（0.5）＝﹣f（﹣0.5）＝1，
故答案为：1．
14．（5分）（2022春•白塔区校级期末）已知函数f（3x+1）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）+g（﹣x）＝ 2 ．
【解题思路】利用奇函数的定义可把已知转化为f（t）+f（2﹣t）＝0，从而可得函数f（x）关于（1，0）对称，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）关于（0，1）对称，代入可求．
【解答过程】解：∵函数y＝f（3x+1）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣3x+1）＝﹣f（3x+1），
令t＝1﹣3x代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，
函数f（x）关于（1，0）对称，
由函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，
函数g（x）关于（0，1）对称，从而有g（x）+g（﹣x）＝2，
故答案为：2．
15．（5分）（2020春•临澧县校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝ 0 ．
【解题思路】根据f（x）的图象关于直线x＝1对称，以及f（x）是奇函数，可推得f（x）是以4周期的周期函数，分别求出
f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，由于f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0，即可求解．
【解答过程】解：∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴f（2﹣x）＝f（x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f（2+x）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），
∴f（x）是以4周期的周期函数，
∵f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0．
故答案为：0．
16．（5分）（2021春•和平区校级期中）已知函数f（x）＝|sinx|+csx，现有如下几个命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）最小正周期为2π；
③函数f（x）值域为；
④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则函数f（x）单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为 ①②④ ．
【解题思路】根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，作出函数的草图，据此分析4个命题，综合即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝|sinx|+csx，其图象如图：
依次分析选项：
对于①，f（x）＝|sin（﹣x）|+cs（﹣x）＝|sinx|+csx＝f（x），即函数f（x）为偶函数，正确；
对于②，f（x）＝|sinx|+csx，其最小正周期为2π，正确；
对于③，函数f（x）值域为[﹣1，]，错误；
对于④，函数f（x）单调递增区间长度的最大值为，正确；
则其中正确的为①②④；
故答案为：①②④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021春•西吉县校级月考）判断下列函数的奇偶性及周期．
（1）f（x）＝sinx+tanx；（奇偶性）
（2）y＝sinx•csxcs2x．
【解题思路】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义判断即可．
（2）先化简，再求定义域，根据周期公式求周期，根据奇偶性的定义判断奇偶性．
【解答过程】解：（1）由题干可知，x∈{x|x}，关于原点对称．
则f（﹣x）＝sin（﹣x）+tan（﹣x）＝﹣sinx﹣tanx＝﹣（sinx+tanx）＝﹣f（x）．
所以为奇函数．
（2）y＝sinx•csxcs2x
cs2x
＝sin2xcscs2xsin
＝sin（2x）．
Tπ．
定义域为R，关于原点对称．
则f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x）．
很显然不具有奇偶性．
18．（12分）（2021春•大武口区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）．
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式．
【解题思路】（1）由已知中在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，可得f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1），进而求出f（1）和f（﹣1）的值；
（2）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）．由f（x）是奇函数，可得f（x）＝﹣f（﹣x），结合已知及（1）中结论，可得答案．
【解答过程】解：（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1），
∴f（1）＝0，f（﹣1）＝0．…（4分）
（2）由题意知，f（0）＝0．
当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）．
由f（x）是奇函数，
∴f（x）＝﹣f（﹣x），
综上，f（x）（12分）
19．（12分）（2021•浦东新区校级三模）已知函数f（x）＝ax+k•bx，其中k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1．
（1）若ab＝1，试判断f（x）的奇偶性；
（2）若a＝2，b，k＝16，证明f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴．
【解题思路】（1）由ab＝1得出，从而得出f（x）＝ax+k•a﹣x，容易得出k＝1时，f（x）为偶函数，k＝﹣1时，f（x）为奇函数，从而得出f（x）的奇偶性；
（2）先得出f（x）＝2x+16•2﹣x，若f（x）的图象是轴对称图形，并设对称轴为x＝m，从而得出f（x+m）为偶函数，从而得出f（m﹣x）＝f（m+x），即得到2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m，化简即得到（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0，从而得出2m﹣16•2﹣m＝0，求出m即可．
【解答过程】解：（1）ab＝1，a＞0，b＞0；
∴；
∴f（x）＝ax+k•a﹣x，则f（﹣x）＝a﹣x+k•ax；
①若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即：a﹣x+k•ax＝ax+k•a﹣x；
∴（k﹣1）（ax﹣a﹣x）＝0对任意实数x恒成立；
∴k＝1；
②若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即：a﹣x+k•ax＝﹣ax﹣k•a﹣x；
∴（k+1）（ax+a﹣x）＝0；
∴k＝﹣1；
综上，k＝﹣1时，f（x）是奇函数，k＝1时，f（x）是偶函数，k≠±1时，f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：f（x）＝2x+16•2﹣x；
若f（x）的图象是轴对称图形，对称轴设为x＝m，则函数f（x+m）为偶函数；
∴f（m﹣x）＝f（m+x）；
即2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m；
化简得，（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0；
∵上式对任意的x∈R都成立；
∴2m﹣16•2﹣m＝0；
∴m＝2；
∴f（x）的图象是轴对称图形，对称轴为x＝2．
20．（12分）（2021秋•长沙县校级月考）设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x），当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x．
（1）判定f（x）的奇偶性；
（2）试求出函数f（x）在[﹣1，2]上的表达式．
【解题思路】（1）由f（x）是最小正周期为 2的函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），知f（1+x）＝f（﹣（1+x）），得f（x）是偶函数；
（2）由﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，得0≤x≤1时，f（x）；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）；
【解答过程】解：（1）∵f（x）是R上的周期函数，最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x），
∴对于任意x∈R，都有f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（1﹣x﹣2）＝f（﹣1﹣x）＝f（﹣（1+x）），
即f（﹣x）＝f（x）；所以，f（x）是R上的偶函数；
（2）∵当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，
∴当0≤x≤1时，有﹣1≤﹣x≤0，
∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝x，又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x；
当1≤x≤2时，有﹣1≤x﹣2≤0，且f（x）是最小正周期为 2的函数，
∴f（x）＝f（x﹣2）＝﹣（x﹣2）＝﹣x+2；
∴f（x）在[﹣1，2]上的表达式为：f（x）；
21．（12分）（2021秋•武昌区校级期中）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）＝﹣1．
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集．
【解题思路】（1）先求f（﹣1）的值，令y＝﹣1，推出f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），f（﹣x）＝f（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性．
（2）根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答过程】解：（1）令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），得f（1）＝0；
再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）＝0．
对于条件f（x•y）＝f（x）+f（y），令y＝﹣1，
则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x）．
又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则有1．
又∵当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（）＜0
而f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）＜f（x1）
即f（x2）＜f（x1），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
∵f（2）＝﹣1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣1﹣1＝﹣2，
f（16）＝f（4）+f（4）＝﹣2﹣2＝﹣4；
则由f（3x﹣2）+f（x）+4≥0得f（3x﹣2）+f（x）≥﹣4，
即f[x（3x﹣2）]≥f（16），
∵函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴或，
得或．
得﹣2≤x＜0或x或0＜x，
即不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或0＜x或x}．
22．（12分）（2021秋•杨浦区期中）函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函数，h（x）＝ax+b，a，b为常数．
（1）g（x）＝sinx，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，n）”；
（3）g（x）＝sinx+csx，|f（x）|在x∈[0，3π]上的最大值为M，求M的最小值．
【解题思路】（1）求出f（x）的解析式，通过讨论b的值，判断函数的奇偶性即可；
（2）根据充分必要条件的定义以及函数的对称性证明即可；
（3）求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出M的最小值即可．
【解答过程】解：（1）f（x）＝g（x）+h（x）＝sinx+ax+b，
若f（x）为奇函数，则，故b＝0，a∈R，
若f（x）为偶函数，
则f（x）＝f（﹣x）⇒2sinx+2ax＝0对x∈R恒成立⇒不存在，a，b满足条件，
⇒若b＝0，则f（x）为奇函数，若b≠0，则f（x）为非奇非偶函数；
（2）证明：若f（x）为奇函数，则f（0）＝0⇒g（0）＝﹣b，
且f（x）+f（﹣x）＝0，则g（x）+g（﹣x）＝﹣2b，
设g（x）的周期是T，则f（x+T）+f（﹣x+T）＝2aT，
故f（x）的图象有异于原点的对称中心（T，aT），必要性得证，
取g（x）＝sinx，h（x）＝1，则f（x）＝sinx+1关于（π，1）对称，
但f（0）＝1≠0，则f（x）不是奇函数，非充分性得证；
（3）f（x）＝sinx+csx+ax+bsin（x）+ax+b，
取a＝b＝0，则M，若存在更小的M，
则当x和时，ax+b≤0，
当x时，ax+b≥0，
故不存在最大值，最小值是Mmin．