新高考数学一轮复习精选讲练专题4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式（含解析），共10页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系，诱导公式等内容，欢迎下载使用。

1．同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系
(2)基本关系式的变形公式
2．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【方法点拨】
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；
第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.
【例1】（2021秋•仁怀市校级月考）已知，且α是第三象限的角，则tanα的值等于（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据正余弦的同角关系求出csα，进而可以求解．
【解答过程】解：因为，且α是第三象限的角，
所以csα，
则tan，
故选：D．
【变式1-1】（2022春•揭阳期末）已知，则（ ）
A．B．2C．D．6
【解题思路】对所给的代数式进行化简，即可解出．
【解答过程】解：∵，∴1+sinθ≠0，
∴


．
故选：A．
【变式1-2】（2022春•温州期末）已知，且，则csα﹣sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】把已知等式两边平方可得2sinαcsα，再由csα﹣sinα，展开完全平方式求解．
【解答过程】解：由，得，
则2sinαcsα，
∵，∴sinα＞csα，
则csα﹣sinα．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•凯里市校级期中）若，且满足，则sinθ+csθ＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知可得tanθ＝﹣3，进而可求得，csθ，可求sinθ+csθ．
【解答过程】解：由，
得（tanθ﹣2）（tanθ+3）＝0，
∴tanθ＝﹣3或tanθ＝2（舍去），
∵，tanθ＜0，
由，及sinθ＞0，
得，
∴，sinθ+csθ．
故选：A．
【题型2 诱导公式的应用】
【方法点拨】
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行
运算.
【例2】（2022春•潍坊期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用诱导公式即可求解．
【解答过程】解：因为，
所以cs[（α）]＝﹣sin（α）．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•商洛期末）（ ）
A．﹣2csxB．0C．﹣2sinxD．csx﹣sinx
【解题思路】由已知利用诱导公式即可求解．
【解答过程】解：csx﹣csx＝﹣2csx．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•渭南期末）若，且α是第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sinα，再次利用诱导公式可求得结果．
【解答过程】解：∵，∴，
又α是第三象限角，∴，
∴．
故选：C．
【变式2-3】（2022春•榕城区校级月考）如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用诱导公式即可化简求解．
【解答过程】解：因为，
所以sinα﹣sinα＝﹣2sinα．
故选：B．
【题型3 同角关系式和诱导公式的综合应用】
【方法点拨】
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进
行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
(2)用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.
【例3】（2022春•华阴市期末）已知α为第二象限角，．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若，求f（α）的值．
【解题思路】（Ⅰ）根据α为第二象限角，，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系求解即可；
（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，求解即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）α为第二象限角，．
所以，故；
（Ⅱ），
故．
【变式3-1】（2022春•宝鸡期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第四象限角，且，求f（α）的值．
【解题思路】（1）利用诱导公式即可化简得解．
（2）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答过程】解：（1）csα；
（2）若α是第四象限角，且，即sinα，
所以csα，
所以f（α）＝﹣csα．
【变式3-2】（2022春•梧州期末）已知，且α为第二象限角．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【解题思路】（1）由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
（2）由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
【解答过程】解：（1）由sin（π+α）＝﹣sinα，得．
∵α为第二象限角，
∴，
∴tanα2．
（2）．
【变式3-3】（2022春•赣州期中）已知α为第三象限角，．
（1）化简f（α）；
（2）若，求f（α）．
【解题思路】（1）由诱导公式化简；
（2）由诱导公式化简已知式得sinα，再由平方关系求得csα即可得．
【解答过程】解：（1）因为csα．
（2）∵，
∴﹣sinα，sinα，
∵α是第三象限角，
∴csα，
∴f（α）＝﹣csα．
【题型4 三角恒等式的证明】
【方法点拨】
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
【例4】（2021秋•芜湖期末）已知α，β为锐角，tan（α﹣β）＝sin2β，求证：tanα+tanβ＝2tan2β
【解题思路】由已知条件推导出，从而得到tana，由此能够证明tanα+tanβ＝2tan2β．
【解答过程】解：∵α，β为锐角，tan（α﹣β）＝sin2β，
∴，
∴tana，
∴tana+tanβ
＝tanβ


＝2tan2β，
∴tanα+tanβ＝2tan2β．
【变式4-1】（2021秋•龙川县校级期中）求证：tanα．
【解题思路】已知等式左边利用诱导公式变形，约分得到结果，与右边等式相等，得证．
【解答过程】证明：已知等式，左边tanα＝右边，
则原式成立．
【变式4-2】（2022春•平阴县校级月考）（1）求证：
（2）已知tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab．
【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得等式成立．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为，同理化简等式的右边也等于，从而证得等式成立．
【解答过程】解：证明：∵，
∴成立．
（2）证明：∵tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，∴（a2﹣b2）2＝[（a+b）•（a﹣b）]2＝（2tanθ•2sinθ）2，
再根据16ab＝16（tan2θ﹣sin2θ）＝1616•，
∴（a2﹣b2）2＝16ab 成立．
【变式4-3】（2022春•禅城区校级期中）求证：
（1）sinα﹣csα；
（2）已知1，求证3sin2α＝﹣4cs2α．
【解题思路】（1）由同角三角函数基本关系化简可得左边等于右边，从而原式成立．
（2）由同角三角函数基本关系化简即可，可用分析法，直接法两种方法证明．
【解答过程】解：（1）左边sinα﹣csα＝右边
所以原式成立．
（2）解法1（分析法）：因为1，所以1+2tanα＝0，从而2sinα+csα＝0，
另一方面，要证3sin2α＝﹣4cs2α，只要证2sinαcsα＝﹣4（cs2α﹣sin2α），
即证2sin2α﹣3sinαcsα﹣2cs2α＝0，
即证（2sinα+csα）（sinα﹣2csα）＝0，
由2sinα+csα＝0可得（2siα+csα）（sinα﹣2csα）＝0成立，于是命题成立．
解法2（直接证明）由1知tanα所以cs2α≠0．
因为1
所以3sin2α＝﹣4cs2α．