新高考数学一轮复习精选讲练专题4.4 同角三角函数的基本关系及诱导公式（含解析）

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1．（5分）（2021秋•包头期末）若tanα＝3，则sin2α﹣sinαcsα＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接利用同角三角函数的关系式的变换的应用求出三角函数的值．
【解答过程】解：由于tanα＝3，
所以sin2α﹣sinαcsα．
故选：A．
2．（5分）（2022春•汉中期中）已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A．sin（﹣x）＝﹣sinxB．sin（π+x）＝sinx
C．tan（﹣x）＝tanxD．cs（π+x）＝csx
【解题思路】根据诱导公式逐一判断即可．
【解答过程】解：A．sin（﹣x）＝﹣sinx，故正确；
B．sin（π+x）＝﹣sinx，故错误；
C．tan（﹣x）＝﹣tanx，故错误；
D．cs（π+x）＝﹣csx，故错误．
故选：A．
3．（5分）（2022春•南阳期末）化简的结果是（ ）
A．B．cs10°C．D．
【解题思路】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解．
【解答过程】解：（cs10°﹣sin10°）cs10°sin10°．
故选：D．
4．（5分）（2022春•阜阳期末）已知，若θ是第二象限角，则tan（π+θ）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意求出sinθ，又，再将sinθ，csθ的值代入即可得出答案．
【解答过程】解：∵θ是第二象限角，又，
∴，
∴．
故选：C．
5．（5分）（2022春•榕城区校级月考）如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用诱导公式即可化简求解．
【解答过程】解：因为，
所以sinα﹣sinα＝﹣2sinα．
故选：B．
6．（5分）（2022春•浙江月考）若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，可得要求式子的值．
【解答过程】解：∵，∴tanθ，
则，
故选：C．
7．（5分）（2022春•沈阳期中）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【解题思路】利用诱导公式即可求解．
【解答过程】解：tan（π）＝﹣tan，
cs（8π）＝cs，
sin（8π）＝﹣sin，
所以c＜a＜b．
故选：C．
8．（5分）（2022春•榆阳区校级期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线4x+3y＝0上，则（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣4
【解题思路】通过题目所给条件求出tanθ，然后通过诱导公式对进行化简，最后弦化切得到答案．
【解答过程】解：由已知可得，tanθ，
又因为3．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•德州期末）已知，θ∈（0，2π），则θ可能等于（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意，利用诱导公式，求得tanθ，可得θ的值．
【解答过程】解：∵，θ∈（0，2π），
∴sinθ＝csθ，即tanθ，∴θ，或θ，
故选：BD．
10．（5分）（2022春•赣州期末）已知，α∈（0，π），则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由已知结合同角平方关系分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为，α∈（0，π），
两边平方得1+2sinαcsα，
所以2sinαcsα0，
所以sinα＞0，csα＜0，
所以sinα﹣csα，A正确；
所以sin，csα，tanα，sin2α＝2sinαcsα，B错误，C正确，D正确．
故选：ACD．
11．（5分）（2021秋•广东期末）已知3，α，则（ ）
A．tanα＝2
B．sinα﹣csα
C．sin4α﹣cs4α
D．
【解题思路】根据已知利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解．
【解答过程】解：因为3，
所以tanα＝2，故A正确，
因为tanα2＞0，又α，
则0＜α，
所以sinα＞0，csα＞0，
由3＞0，可得sinα﹣csα＞0，故B错误，
因为sin4α﹣cs4α＝（sin2α﹣cs2α）（sin2α+cs2α）＝sin2α﹣cs2α，故C正确，
因为，故D正确．
故选：ACD．
12．（5分）（2021秋•大同期末）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
【解题思路】A，由sinα＝csα•tanα，可得解；
B，先利用tanα进行化简，再由sin2α+cs2α＝1进行求值，即可；
C，根据“同除余弦可化切”的思想，得解；
D，先利用二倍角公式对分母进行化简，再去根号后，即可得解．
【解答过程】解：选项A，2，即A正确；
选项B，tanα2，即B正确；
选项C，2，即C错误；
选项D，（），即D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022•丽水开学）已知，，则csα﹣sinα＝ ．
【解题思路】由已知0，，可知α，可得csα﹣sinα＜0，进而利用平方差公式及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答过程】解：因为0，，
可知α，
所以csα﹣sinα＜0，
所以（csα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcsα＝1−2，
所以csα−sinα．
故答案为：．
14．（5分）（2022春•东阳市校级月考）已知sin（α﹣3π）＝2sin（﹣α），求 ．
【解题思路】由题意，利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果．
【解答过程】解：∵，即﹣sinα＝﹣2csα，∴tanα＝2，
∴，
故答案为：．
15．（5分）（2022春•大名县校级月考）已知，α为第三象限角，则 ．
【解题思路】利用正弦的和角公式化简得出sinα的值，由此即可得出csα，tanα的值，再根据诱导公式以及弦化切化简所求的关系式，最后代入tanα的值，即可求解．
【解答过程】解：因为，
所以sin[（α﹣β）+β]＝sinα，又因为α为第三象限角，
所以cs，所以tan，
则
．
故答案为：．
16．（5分）（2022春•昌江区校级期中）已知，，则 ．
【解题思路】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解．
【解答过程】解：因为，，
所以tanα＝2，
则．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•仁怀市校级月考）已知θ∈（0，π），且sinθ+csθ，求下列各式的值：
（Ⅰ）sinθcsθ；
（Ⅱ）sinθ﹣csθ；
（Ⅲ）tanθ．
【解题思路】利用正余弦以及切的同角关系化简即可求解．
【解答过程】解：（Ⅰ）因为θ∈（0，π），且sinθ+csθ，
所以（sinθ+csθ）2，即1+2sinθcsθ，
则sin，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinθcsθ＜0，所以θ∈（），
则sinθ＞0，csθ＜0，所以sinθ﹣csθ＞0，
则sinθ﹣csθ，
（Ⅲ）由，解得tan．
18．（12分）（2022春•昌平区校级期中）已知sinα，且α∈（，π）．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【解题思路】（1）由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出csα的值，即可确定出tanα的值；
（2）原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）∵sinα，且α∈（，π），
∴csα，
则tanα；
（2）∵sinα，csα，
∴原式csα﹣sinα．
19．（12分）（2022春•上杭县校级月考）已知，且，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【解题思路】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答过程】解：（1）因为，且，
所以sinα，则tanα＝﹣2，
所以0；
（2）原式tanα＝2．
20．（12分）（2022春•武进区校级月考）（1）化简：；
（2）向量，，当时，求的值．
【解题思路】（1）结合诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的平方关系，化简即可；
（2）由，同角三角函数的商数关系，推出tanx，再根据“同除余弦可化切”的思想，运算得解．
【解答过程】解：（1）
1．
（2）因为，所以﹣sinxcsx＝0，即tanx，
所以．
21．（12分）（2021秋•青山区期末）已知α、β∈（0，）且sinβ＝cs（α+β）•sinα．
（1）求证：tanβ；
（2）求tanβ的最大值．
【解题思路】（1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立．
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简tanβ的解析式，再利用基本不等式求得tanβ的最大值．
【解答过程】解：（1）由于α、β∈（0，）且sinβ＝cs（α+β）•sinα，
∴sinβ＝csαcsβsinα﹣sinαsinβsinα，即 tanβ＝sinαcsα﹣sin2αtanβ，
解得tanβ，即tanβ成立．
（2）由于tanβ ，
当且仅当4tanα，即tanα时，取等号，故tanβ的最大值为．
22．（12分）（2022春•平阴县校级月考）（1）求证：
（2）已知tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab．
【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得等式成立．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为，同理化简等式的右边也等于，从而证得等式成立．
【解答过程】解：证明：∵，
∴成立．
（2）证明：∵tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，∴（a2﹣b2）2＝[（a+b）•（a﹣b）]2＝（2tanθ•2sinθ）2，
再根据16ab＝16（tan2θ﹣sin2θ）＝1616•，
∴（a2﹣b2）2＝16ab 成立．