新高考数学一轮复习精选讲练专题4.7 三角函数的图象与性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.7 三角函数的图象与性质（含解析），共19页。试卷主要包含了正弦函数与余弦函数的图象，正弦函数与余弦函数的性质，正切函数的性质与图象，余切函数的图象及性质等内容，欢迎下载使用。


1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),( SKIPIF 1 < 0 ,1),( π,0),( SKIPIF 1 < 0 ,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道 SKIPIF 1 < 0 ，而函数 SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象可以通过正弦函
数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象可以看出，要作出函数y= SKIPIF 1 < 0 在[0,2 SKIPIF 1 < 0 ]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),( SKIPIF 1 < 0 ,0),( SKIPIF 1 < 0 ,-1),( SKIPIF 1 < 0 ,0),(2 SKIPIF 1 < 0 ,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y= SKIPIF 1 < 0 在[0,2 SKIPIF 1 < 0 ]上的简图，再通过左右平移(每次移动2 SKIPIF 1 < 0 个单位长度)即可得到余弦函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数 SKIPIF 1 < 0 及余弦型函数 SKIPIF 1 < 0 的性质
函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(- SKIPIF 1 < 0 ,-1),(0,0),( SKIPIF 1 < 0 ,1);“两线”是指直线x=- SKIPIF 1 < 0 和x= SKIPIF 1 < 0 .在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，即将 SKIPIF 1 < 0 的图象先向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象.余切函数的图象与性质如下表：

【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：
(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
【解答过程】因为，所以.
故的定义域为.
故选：A.
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为，结合正弦函数的图像和性质，求解即可.
【解答过程】由题意，
,
当时，有，
当，即时，；
当，即时，.
即函数的值域为.
故选：A.
【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案
【解答过程】解：函数，
∵，，
∴函数的值域为，
故选：C．
【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【解答过程】 ，
当时，，，
当时，；当时，；
.
故选：C.
【题型2 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【解题思路】利用正弦函数的周期求解．
【解答过程】f(x)的最小正周期为．
故选：D．
【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.
【解答过程】∵，
∴最小正周期．故A，B，C错误.
故选：D.
【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由周期求出，从而可求出，进而可求出.
【解答过程】因为函数的最小正周期为，，所以，
得，
所以．
故选：A.
【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为且在为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.
【解答过程】对于A，的图像关于轴对称，在为增函数，不符题意，故A错；
对于B，的最小正周期为，，不是减函数，不符题意，故B错；
对于C，的最小正周期为，在为减函数，符合题意，故C对；
对于D，的最小正周期为，不符题意，故D错；
故选：C.
【题型3 三角函数的奇偶性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数是偶函数，则可取一个值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据偶函数的定义得 ,结合选项可确定答案.
【解答过程】∵函数是偶函数，∴，即.
∴或.
当时，可得，不满足函数定义.
当时， ,
若，解得，故A错误;
若，解得，故B正确;
若，解得，故C错误;
若，解得，故D错误;
故选:B.
【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.
【解答过程】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；
对于B，定义域为，，为偶函数，B正确；
对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，，为奇函数，C错误；
对于D，定义域为，，为奇函数，D错误.
故选：B.
【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数的最值.
【解答过程】函数的定义域为，，
故函数为偶函数，
因为，则，
所以，，.
故选：B.
【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先对化简得到，再写出平移后的解析式，因为其为奇函数，则，解出即可得到最小值.
【解答过程】，向右平移个单位后得到函数，由于是奇函数，因此，得，.又，则当时，的最小值是，
故选：B.
【题型4 三角函数的对称性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可.
【解答过程】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故选：D.
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据余弦函数的性质可得，进而即得.
【解答过程】因为，
所以，
所以，
解得．
故选：C.
【变式4-2】已知函数，则结论正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称
C．在区间内有2个零点D．在区间上单调递增
【解题思路】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性.
【解答过程】A：，故不是对称中心，错误；
B：，故不是对称轴，错误；
C：在，则，故，可得，所以为在内的唯一零点，错误；
D：在，则，故递增，正确.
故选：D.
【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为，且为奇函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定为正弦函数，由此条件得出的解析式，再根据平移得出的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.
【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为可知，即，，,
因为为奇函数，根据可知，,
,
对称中心：，，故A正确，B错误;
对称轴：，，故C、D错误;
故选：A.
【题型5 三角函数的单调性】
【方法点拨】
三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性
求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.
【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.
【解答过程】，
，，，
令可的的递增区间为.
故选：C.
【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】 ，
由，则，
由题意，，则，解得.
故选：C.
【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由对数的运算法则求出，又，分别可看做，的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为估值困难，故考虑利用与函数近似的有理函数对其大小进行估值，最后求得答案.
【解答过程】由题意，，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，即，所以，因为函数在上单调递增，所以，又，，
所以，因为在单调递减，所以，所以，故，
因为，函数在上单调递减，所以，所以，所以，即，
所以，
故选：A.
【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【解题思路】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可.
【解答过程】解：因为函数在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以，函数在上单调递减，则有，解得，
所以的取值范围是，即的最大值为.
故选：A.
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路：
(1)熟练掌握函数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
【例6】已知函数.
(1)求的最小正周期及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到，从而利用求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；
（2）根据求出，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为.
【解答过程】（1）因为

所以的最小正周期；
令，，解得：，，
令，，解得：，，
单调增区间为，，
单调减区间为，；
（2）已知，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为2，
当，即时，取得最小值，最小值为-1，
所以在区间上的最大值为2，最小值为.
【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数（，）图象的一条对称轴为直线，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为．
(1)求；
(2)求在上的值域．
【解题思路】（1）先求出周期，由此求出的值，利用对称轴方程求出，即可得到函数的解析式；
（2）根据自变量的范围求得，根据正弦函数的取值求得函数的值域
【解答过程】（1）因为函数图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为，
所以，故，
又的图象的一条对称轴方程为，
则，，即，，
又，所以，
故；
（2）因为，所以，
所以，所以，
故在上的值域为.
【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的值．
【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据正弦函数的性质即得；
（3）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式即得.
【解答过程】（1）
因为
．
所以的最小正周期，
∵，
∴，
所以的单调递减区间为；
（2）
由（1）知的单调递减区间为，
∵，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
故；
另解：∵，
∴，
∵在单调递增，在上单调递减，
∴当时，，
∴当时，；
（3）
∵，
∴，
由，得，
∴，
∴
．
【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期T和单调递减区间；
(2)四边形ABCD内接于⊙O，BD=2，锐角A满足，求四边形ABCD面积S的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求出最小正周期，再由求出其单调区间，
（2）由，求得，再由圆的性质可得，设AB=a，AD=b，BC=c，CD=d，分别在和中利用余弦定理结合基本不等式可得，，从而可求出四边形ABCD面积S的取值范围.
【解答过程】（1）
，
∴
∴.
由，得，
所以单调递减区间为.
（2）
由于，根据（1）得，
∵，∴，.
分别设AB=a，AD=b，BC=c，CD=d.
因BD=2，分别在和中由余弦定理得，，
∴，.
∵，，等号在a=b=2，时成立，
∴，，解得，.
∴.等号在a=b=2，时成立，
∵，
所以S的取值范围是.