新高考数学一轮复习精选讲练专题4.8 三角函数的图象与性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.8 三角函数的图象与性质（含解析），共18页。

1．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（文））若，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】对进行降幂化简得，再求出的范围，利用正弦函数的单调性，即可得到值域.
【解答过程】
，
，，
当，即时，，
当，即时，，
故的值域为，
故选：A.
2．（5分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接利用正余弦函数的图像和单调性求出结果.
【解答过程】由于，∴，
则，
由于，
所以，得，
∴．
故选：A.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【解答过程】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故选：B.
4．（5分）（2022·河北·高三开学考试）已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.
【解答过程】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；
对②，令，解得，
即函数的定义域为，所以②错误；
对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；
故①③④正确；
故选：C.
5．（5分）（2022·北京市高三阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为-2B．偶函数，且最小值为-2
C．非奇非偶函数，且最小值为D．非奇非偶函数，且最大值为
【解题思路】利用三角函数的余弦二倍角公式，结合奇偶性定义，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】，其定义域为，
，故函数为非奇非偶函数，
令，则，则，
易知，
故选：C.
6．（5分）（2022·山西·高二学业考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．函数为奇函数D．函数的图象关于直线对称
【解题思路】根据三角函数平移变换和诱导公式可化简得到；由正弦型函数最小正周期、对称轴和对称中心、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.
【解答过程】由题意得：；
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，当时，，不是的对称中心，B错误；
对于C，，为奇函数，C正确；
对于D，当时，，不是的对称轴，D错误.
故选：C.
7．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上单调递增
C．在上的值域为
D．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
【解题思路】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断D
【解答过程】解：，
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
函数的最小正周期是，∴，
∴，，
， ∴关于对称，故A正确；
由，解得，
所以的一个单调增区间为，而，
∴在上单调递增，故B正确；
当时，有，则，所以，
∴，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度得到关于轴对称，故D正确.
故选：C.
8．（5分）（2022·四川省高二阶段练习（理））设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的单增区间为
D．函数在区间上的零点个数共有6个．
【解题思路】由题意得函数周期后求解，再由三角函数性质与图象变换对选项逐一判断，
【解答过程】由题意得的周期为，则，，则A错误，
对于B，的图像向左平移得，不为奇函数，故B错误，
对于C，令，得，
当，的递增区间为，故C错误，
对于D，当时，，当取时，为的零点，共6个，故D正确，
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·贵州省高二阶段练习（理））若函数在区间内不存在最小值，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先求函数的最小值点，由区间内不存在最小值，判断区间端点与最近的最小值点的大小，解出的取值范围，最后根据范围选择可能的取值即可.
【解答过程】令，得为函数的最小值点，
当时，是区间右侧第一个最小值点，
因为区间内不存在最小值，
所以，满足条件的的值有，.
故选：CD.
10．（5分）（2022·江苏苏州·高三期中）已知函数，则（ ）
A．的最大值为1B．
C．在上单调递增D．的图象关于直线对称
【解题思路】对于A，先利用余弦的和差公式化得，由此易得的最大值为1；
对于B，代入角易得；
对于C，由得，先判断在的单调情况，从而判断的单调情况；
对于D，由余弦函数的图像性质得到的对称轴，由此可判断为的对称轴.
【解答过程】 ，
对于A，因为，所以，即，所以的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上先减后增，故C错误；
对于D，因为的对称轴为，
所以由得，可知的对称轴为，
当时，的对称轴为，故D正确.
故选：ABD.
11．（5分）（2022·浙江·高一期中）函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（ ）
A．
B．的一个对称中心为
C．函数图像向右平移个单位可得图象
D．是函数的一条对称轴
【解题思路】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.
【解答过程】解：因为为该图像最高点，
所以，
又函数的图象与轴交于点，
则，
又，所以，
则
，
则，
所以，
由图可知，所以，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；
对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；
对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.
故选：AB.
12．（5分）（2022·湖北恩施·高二期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．直线是图像的一条对称轴
C．在区间上是增函数
D．若，则
【解题思路】由题知，再结合函数性质依次分析各选项即可得答案.
【解答过程】解：当时，即，时，，
当时，即，时，，
所以，，的部分图像如图，
所以，的最大值为1，故A错误；
因为，所以的图像关于直线对称，故B正确；
观察图像知，在区间上不单调，，在区间上不是增函数，C错误；
因为且，则当时，且，
则且，，
所以，，D正确．
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数单调递增区间为 .
【解题思路】令，求得的范围，即可求得的单调递增区间．
【解答过程】令，
解得，
故的单调递增区间为．
故答案为：．
14．（5分）（2022·天津高三阶段练习）设，则在上的值域为 .
【解题思路】先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数的性质可解出函数的值域
【解答过程】 ，
因为，所以，
所以，所以，
所以在上的值域为，
故答案为：.
15．（5分）（2022·山东省高三期中）若将函数的图像关于点对称，则函数在上的最小值为 0.5 .
【解题思路】利用辅助角公式，再利用性质求出参数，从而得到相应函数的解析式，再利用函数的性质求出最小值.
【解答过程】∵，
∵图像关于点对称，∴， ，
∵，∴，故，
∵，∴.
在区间上的最小值为：
故答案为：或0.5.
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数给出下列四个结论：
①f(x)的值域是；
②f(x)在上单调递减：
③f(x)是周期为的周期函数
④将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【解题思路】先将化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可
【解答过程】



所以的值域为 ，故①错误；
令 ，
当时，的一个单调递减区间为，故②正确；
的周期 ,故③正确
的图像向左平移个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为 ，是偶函数，故④错误
故答案为：②③.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·广东·高三学业考试）已知函数.
(1)求函数f（x）的最小正周期和最大值；
(2)求函数f（x）的单调递减区间.
【解题思路】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值；
（2）将代入正弦函数的递减区间，解得x的范围即可.
【解答过程】（1）.
，，
即函数的最小正周期为.
，
即，
则的最大值为2.
（2）令，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
18．（12分）（2022·重庆市高三阶段练习（理））已知向量， 函数．
(1)求函数的值域;
(2)函数在上有 10 个零点， 求的取值范围．
【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可；
（2）由题知，再根据三角函数性质得，解不等式即可得答案.
【解答过程】（1）解：
，
所以，的值域为.
（2）解：令， 即，
因为，所以，
因为函数在上有10个零点，
所以方程在上有10个实数根，
所以， 解得．
所以，的取值范围为.
19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【解题思路】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
【解答过程】（1）
可知，
因为直线是图象的一条对称轴，故，
解得，而，故，则，
则周期，
再令，则，
故的递减区间为.
（2）
可知，

因为，故，
则在即取最小值，其最小值为.
20．（12分）（2022·全国·高一课时练习）如图，函数的图象与y轴交于点，最小正周期是.
(1)求函数的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
(2)已知点，点P是函数图象上一点，点是PA的中点，且，求的值.
【解题思路】（1）根据周期是可得的值，再由图象与y轴交于点，求得的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求得函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）点是PA的中点，点，利用中点坐标公式求出的坐标，点是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简,求解的值.
【解答过程】（1）
由题意，得.
由的图象与y轴交于点，得，可得，
∵，∴.
∴函数.
由，可得对称轴方程为，
由，可得对称中心为.
（2）
点是PA的中点，∴点P的坐标为.
又∵点P是函数图象上一点，∴，
整理可得.
∵，∴，∴或，
解得或.
21．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
（2）令，，则函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，做出函数图象，数形结合即可得解.
【解答过程】（1）
解：
，
令，
得，
所以函数的单调增区间；
（2）
解：函数在区间上有且仅有两个零点，
即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，
由，可得，
令，，
则曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，
如图分别作出函数的图象，
由图可知，当函数的图象有两个交点时，，
所以实数k的取值范围为.
22．（12分）（2022·河北·高三开学考试）设函数，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为，且为偶函数.
(1)求和的值；
(2)已知角，，为的三个内角，若，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意求得，得到，再结合为偶函数，即可求得的值；
（2）由题意结合三角恒等变换的公式，化简得到，求得，得到，
由（1）知，化简，结合三角函数的图象与性质，即可看求解.
【解答过程】（1）
解：因为的图象上相邻两个最高点间的距离为，
可得，解得，所以，
又因为为偶函数，可得，，
因为，所以.
（2）
解：因为，
可得，所以，
又因为，且，所以，所以，
因为，所以，则，即，
由（1）知，函数，
所以
，
因为，可得，所以，
则，即的取值范围为.