湘教版九年级上册2.1 一元二次方程教案

这是一份湘教版九年级上册2.1 一元二次方程教案，共55页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程

1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识．
2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．
3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重点】
一元二次方程的概念.
【教学难点】
如何把实际问题转化为数学方程.

一、情境导入，初步认识
问题1:已知一矩形的长为200cm，宽150cm．在它的中间挖一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.（π取3）
问题2：据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
你能列出相应的方程吗？
【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．
二、思考探究，获取新知
1.对于问题1：
找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×
列出方程：200×150-3x2=200×150× ①
对于问题2：
等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2
列出方程：75（1+x）2=1082 ②
2.能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
①化简，整理得 x2-2500=0 ③
②化简，整理得25x2+50x-11=0 ④
3.讨论：方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少？
【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次.
【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P27例题.
2.下列方程是一元二次方程的有____________.

【答案】 （5）
3.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二方程，则m的取值范围是__________.
分析：一元二次方程二次项的系数不等于零.故m≠-3.
【答案】 m≠-3．
4.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项.
解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0(若写成-5x2-8x+2=0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号).
5.关于x方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？
分析：先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.
解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0，所以m-1≠0，
即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.
6.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______________.
分析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.
【答案】 2x2-x-7=0
7.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为( )

【答案】 C
注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.
8.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0，当m满足__________时，它是一元一次方程；当m满足__________时，它是二元一次方程.
分析：当m＋2＝0，m＝-2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，m≠-2时，方程是二元一次方程.
【答案】 m＝-2 m≠-2
9.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程为____________________.
【答案】 1185(1-x)2=580
10.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?
解：当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.
【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征的理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、6题.

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且要真正能消化.
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程

1.理解并掌握一元二次方程的根的定义.
2.会用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n>0）的方程.
3.创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.
4.学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
会用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n>0）的方程.
【教学难点】
把一元二次方程转化为形如（x+m）2=n(n≥0)的过程.

一、情境导入，初步认识
1.根据完全平方公式填空：
（1）x2＋6x＋9＝( )2
（2）x2-8x＋16＝( )2
（3）x2＋10x＋( )2＝( )2
（4）x2-3x＋( )2＝( )2
2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？
【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.
二、思考探究，获取新知
1.解方程：x2-2500=0.
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
把方程写成x2=2500
这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
x=或x=
因此，原方程的解为x1=50，x2=-50
【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.
2.解方程（2x+1）2=2
〖HTH〗解：〖HTSS〗根据平方根的有意义，得
2x+1=或2x+1=
因此，原方程的根为

3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？
【归纳结论】对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解.
直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.
【教学说明】教师可让学生自主完成题目，小组展示，教师点评归纳.
三、运用新知，深化理解
1.已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是（ ）
A.-1 B.1 C.0 D.0或1
解析：把x=1代入x2-mx+2m=0得1-m+2m=0，∴m=-1，故选A.
【答案】 A
2.用直接开平方法解下列方程：
（1）x2-16=0； （2）3x2-27=0；
（3）（x-2）2=9； （4）（2y-3）2=16.
解：（1）移项，得x2=16，根据平方根的定义，得x=±4，即x1=4，x2=-4.
（2）移项，得3x2=27，两边同时除以3，得x2=9.根据平方根的定义，得x=±3，即x1=3，x2=-3.
（3）根据平方根的定义，得x-2=±3，即x1=5，x2=-1.
（4）根据平方根的定义，得2y-3=±4，即y1=，y2=.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题2.2”中第1题.

根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活，通过观察、思考、对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法，领会降次——转化的数学思想，培养学生形成从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
2.通过配方法体会“等价转化”的数学思想.
3.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.
4.鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.
【教学重点】
理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
【教学难点】
发现并理解配方的方法.

一、情境导入，初步认识
前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？
（1）x2=5；
（2）（x+2）2=5；
（3）x2+12x+36=5.
第（3）题的左边是个什么式子？
【教学说明】用问题唤醒学生的回忆，同时导入新的知识点.
二、思考探究，获取新知
1.填上适当的数，使下列等式成立.
（1）x2+6x+_____=（x+_____）2；
（2）x2-6x+_____=（x-_____）2；
（3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____.
【答案】 （1）9 3（2）9 3（3）9 9 3 5
【归纳结论】当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里.
2.解方程x2+4x=12
我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？
我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流.
写出解题过程.
【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.
3.用配方法解方程：x2+2x-1=0.
解：移项，得x2+2x=1.
配方，得x2+2x+=1+，
即（x+1）2=2.
开平方，得x+1=±.
解得x1=-1，x2=-1.
【归纳结论】用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P33例3.
2.填空：
（1）x2+8x+_____=（x+_____）2；
（2）x2-x+_____=（x-_____）2；
（3）x2+12x=（x+_____）2-_____.
【答案】（1）16 4 （2） （3）6 36
3.解方程x2-8x+1=0
移项得x2-8x=-1
配方得x2-8x+16=-1+16
即(x-4)2=15
两边开平方得x-4=±
∴x1=4+，x2=4-.
【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.
四、师生互动，课堂小结
了解学生配方时的难点和易错点，根据具体情况指导学生配方.

布置作业：教材“习题2.2”中第2题.

教学过程中，注重引导学生对已学知识归纳总结，在自主探究过程中，适时引入新知识，培养学生主动探究的精神和积极参与的意识.
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

1.利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
2.能熟悉灵活地运用配方法解一元二次方程.
3.通过对配方法的进一步学习和探索，激发学生的自主学习能力.
4.学生在自主参与学习的过程中获得成功的体验，同时加深对核心知识的理解与巩固，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣.
【教学重点】
利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
【教学难点】
能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程.

一、情境导入，初步认识
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有教学，激发学生的主动性和求知欲.
二、思考探究，获取新知
1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？
如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流.
试着写出解题过程.
2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P34例4.
2.解方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导.）
（1）x2-10x+24=0；
（2）(2x-1)(x+3)=5；
（3）3x2-6x+4=0.
解：（1）移项，得x2-10x=-24，
配方，得x2-10x+25=-24+25，
由此可得(x-5)2=1，
x-5=±1，
∴x1=6，x2=4；
（2）整理，得2x2+5x-8=0，
移项，得2x2+5x=8，
二次项系数化为1得x2+x=4，
配方，得x2+x+()2=4+()2
(x+)2=，
由此可得x+=±，
x1=，x2=；
（3）移项，得3x2-6x=-4，
二次项系数化为1，得x2-2x=，
配方，得x2-2x+12=+12,
(x-1)2=
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根.
3.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式.



【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.
四、师生互动，课堂小结
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.

布置作业：教材“习题2.2”中第3题.

在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.
2.2.2 公式法

1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
4.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用.
【教学难点】
理解求根公式的推导过程.

一、情境导入，初步认识
1.用配方法解方程：
（1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0.
2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
二、思考探究，获取新知
1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解：移项，得：ax2+bx=-c
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
x2+x=
配方，得：x2+x+（）2=+（）2
即（x+）2=
∵a≠0,∴4a2>0
当b2-4ac≥0时，≥0
∴x+=±
即x=
∴x1=，
x2=.
当b2-4ac＜0时，方程无解.
【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=（b2-4ac≥0）
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分.
【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．
2.展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号.
3.引导学生完成P37例6.
4.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.
三、运用新知，深化理解
1.用公式法解下列方程．
2x2+3=7x
分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
解：2x2-7x+3=0
a=2，b=-7，c=3
∵b2-4ac=（-7）2-4×2×3=25>0
∴x===
即x1=3，x2=.
2.某数学兴趣小组对关于x的方程提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足∶


解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x==
x1=1，x2=.
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=．
【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题2.2”中第4题.

通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强.
2.2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元二次方程

1.理解并掌握用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．
4.通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法.
【教学重点】
用因式分解法一元二次方程.
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.

一、情境导入，初步认识
我们知道如果ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x-1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x+5）=0的解吗？
二、思考探究，获取新知
1.解方程 x2-3x=0
可用因式分解法求解
方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0
由此得x=0或x-3=0
即x1=0， x2=3
与公式法相比，哪种更简单？
【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解下列方程；
(1)x(x-5)=3x；
(2)2x(5x-1)=3(5x-1)；
(3)(35-2x)2-900=0.
3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.
4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程.
【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程.
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解下列方程：
（1）5x2＋3x＝0；
（2）7x（3-x）＝4（x-3）.
分析：（1）左边＝x（5x＋3），右边＝0； （2）先把右边化为0，7x（3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系.
解：（1）因式分解，得x（5x＋3）＝0，
于是得x＝0或5x＋3＝0，
x1＝0，x2＝；
（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，
因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，
于是得x-3＝0或-7x-4＝0，
x1＝3，x2＝
2.用因式分解法解下列方程：
（1）10x2＋3x＝0；
（2）7x（3-x）＝6（x-3）；
（3）9（x-2）2＝4（x＋1）2．
分析：（1）左边＝x（10x＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x（3-x）-6（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式．
解：（1）因式分解，得x（10x＋3）＝0，
于是得x＝0或10x＋3＝0，
x1＝0，x2＝；
（2）原方程化为7x（3-x）-6（x-3）＝0，
因式分解，得（x-3）（-7x-6）＝0，
于是得x-3＝0或-7x-6＝0，
x1＝3，x2＝；
（3）原方程化为9（x-2）2-4（x＋1）2＝0，
因式分解，得
［3（x-2）＋2（x＋1）］［3（x-2）-2（x＋1）］＝0，
即（5x-4）（x-8）＝0，
于是得5x-4＝0或x-8＝0，
x1＝，x2＝8．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题2.2”中第5题.

这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.
第2课时 选择合适的方法解一元二次方程

1.理解解一元二次方程的基本思路.
2.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.
3.通过对多个方法的比较、分析与选择，使学生对各个方法的性质和特点有更深的理解.
4.通过小组内的互相交流、研讨，同学间的相互改错、分析错因，培养学生间的分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
根据题目特征选用最恰当的方法求解.
【教学难点】
理解解一元二次方程，各个方法的性质和特点.

一、情境导入，初步认识
复习：将下列各式分解因式
(1)5x2-4x；
(2)x2-4x+4；
(3)4x(x-1)-2+2x；
(4)x2-4；
(5)(2x-1)2-x2；
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度.
二、思考探究，获取新知
1.方程（x-3）（x+1）=x-3的解是（〓〓）
A.x=0 B.x=-3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0
解析：方程两边有公因式（x-3），可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得（x-3）（x+1）-（x-3）=0，所以（x-3）（x+1-1）=0，即x-3=0或x=0，所以原方程的解为x1=3，x2=0.故选D.
【答案】 D
【归纳结论】解形如ax2=bx的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x，得到x=，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x1=0，x2=.如本题中易出现在方程两边同除以（x-3），从而得到x=0的错误.
2.选择合适的方法解下列方程：
(1)x2+3x=0；(2)5x2-4x-3=0；
(3)x2+2x-3=0.
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程.
3.如何选择合适的方法解一元二次方程呢？
【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.
总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.
三、运用新知，深化理解
1.选择合适的方法解下列方程：
（1）2x2-5x＋2＝0；
（2）（1-x）（x＋4）＝（x-1）（1-2x）.
分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1-x）与（x-1）的关系用因式分解法；
解：（1）a＝2，b＝-5，c＝2，
b2-4ac＝（-5）2-4×2×2＝9＞0，
x＝，
x1＝2，x2＝
（2）原方程化为（1-x）（x＋4）＋（1-x）（1-2x）＝0，
因式分解，得（1-x）（5-x）＝0，
即（x-1）（x-5）＝0，
x-1＝0或x-5＝0，
x1＝1，x2＝5
2.已知（a2＋b2）2-（a2＋b2）-6＝0，求a2＋b2的值．
分析：若把（a2＋b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2＋b2）为未知数的一元二次方程．
解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2-x-6＝0．
a＝1，b＝-1，c＝-6，b2-4ac＝12-4×（-6）×1＝25＞0，
x＝，∴x1＝3，x2＝-2．
即a2＋b2＝3或a2＋b2＝-2，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝-2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3．
四、师生互动，课堂小结
通过问题情境及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道解一元二次方程是本章教学的重点.

布置作业：教材“习题2.2”中第6、7、9、10题.

经历探索不同解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性.通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.
2.3 一元二次方程根的判别式

1.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
2.经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
3.积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.
【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.

一、情境导入，初步认识
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态．
二、思考探究，获取新知
1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？
2.观察求根公式回答下列问题：
（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，.
⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根.
⑶当Δ=b2-4ac0
所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2）将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0
因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0
所以，原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5=0
因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-510
∴方程有两个不相等的实根．
5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）