湘教版九年级数学上册第三章《图形的相似》教案

这是一份湘教版九年级数学上册第三章《图形的相似》教案，共64页。

第3章 图形的相似
3.1 比例线段
3.1.1比例的基本性质

1.理解比例的基本性质.
2.能根据比例的基本性质求比值.
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形.
4.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.
5.建立初步的空间观念，发展形象思维，并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
比例的基本性质及运用.

一、 情景导入，初步认知
1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形.如:照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等.
2.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成，0.618，许多美丽的形状都与，0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗?
3.如何求两个数的比值?
【教学说明】说明学习本章节的重要意义.
二、思考探究，获取新知
1.阅读与思考题
（1）什么是两个数的比? 2与－3的比；－4与6的比.如何表示? 其比值相等吗? 用小学学过的方法可说成什么? 可写成什么形式?
（2）比与比例有什么区别?
（3）用字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式? 你知道内项、外项和第四比例项的概念吗?
【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把ａ，ｂ，ｃ，ｄ四个实数成比例表示成ａ：ｂ＝ｃ：ｄ或＝，其中ａ，ｄ叫作比例外项，ｂ，ｃ叫作比例内项.
2.如果四个数ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例，即＝，那么ad＝bc吗? 反过来呢?
【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明.
由此，你能得到比例的基本性质吗?
【归纳结论】比例的基本性质:如果＝，那么 ad＝bc.
3.已知四个数 ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例，即：，下列各式成立吗? 若成立，请说明理由.

分析：（1）比较条件和结论的形式得到解题思路；
（2） 采用设比值较为简单.
【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值.
4. 根据下列条件，求a∶b的值.
（1）4a＝5b，（2）
解:（1）∵ 4a ＝5bꎬ
∴
（2）∵
∴8a=7b，
∴ab=78.
三、运用新知，深化理解
1.已知：x∶(x+1)=(1—x)∶3，求x.
解：根据比例的基本性质得，
(x+1)(1—x)=3x，
解得：
2. 若
解：根据比例的基本性质得，
2（2x-3y）=x+y，
4x-6y=x+y，
3x=7y，

3.已知a∶b∶c=1∶3∶5且a+2b-c=8,求a、b、c.
解：设a=x，
则b=3x，c=5x,
∴x+2×3x-5x=8,
2x=8,
x=4,
∴a=4，b=3×4=12，c=5×4=20.
4.已知x∶y=3∶4，x∶z=2∶3，求x∶y∶z的值.
解：因为x∶y=3∶4=6∶8，
x∶z=2∶3=6∶9，
所以x∶y∶z=6∶8∶9.
，求k的值(两种情况).
解：①当x+y+z=0时，
y+z=-x，z+x=-y，x+y=-z，
∴k为其中任何一个比值，
即
②x+y+z≠0时，

6.已知1，2，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式.
分析：可以设再添上的数是x，根据比例的定义就可解得．
解：设添上的数是x，
得到：1∶2=2∶x，
解得x=22．
则比例式是：1∶2=2∶22．
答案不唯一．
7.操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2,后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4,求原来有多少名男生和女生？
解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k,
由题意得，，
整理得，12k=10k+30,
解得k=15,
3k=3×15=45,
2k=2×15=30.
答：原来有45名男生和30名女生.
【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业∶教材“习题3.1”中第1题.

在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b=c∶d，a，d在比例式的外部，所以称为比例外项，b，c在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解.概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解.
3.1.2成比例线段

1.掌握比例线段的概念及其性质.
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.
3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
4.能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
5.感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.
【教学重点】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【教学难点】
掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.

一、情景导入，初步认知
1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？
2.比例基本性质是什么？
【教学说明】复习回顾，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.

【归纳结论】如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比mn叫做这两条线段的比，记作：或AB∶A′B′= m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成或AB∶A′B′= k.
【教学说明】注意：（1）两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
（2）度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.
（3）表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
2.什么是比例线段？
【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：
【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.
4.根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C.即：
【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且，那么线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
黄金分割比的数值近似为0.618.
【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解.
三、运用新知，深化理解
1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.
（1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm；
（2）a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.
解：（1）所以a、b、d、c成比例.
（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 B
3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】 D
4.若2x-5y=0，求y∶x与的值.
解：略.
5.已知，成立吗？
解：由，
得a=3b，c=3d.
所以，
，
因此.
6.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.（1）求a，b，c；（2）求4a-3b+c的值.
解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.
∵a+3b-3c=14，
∴4k+9k-6k=14，
∴7k=14，∴k=2，
∴a=8，b=6，c=4.
（2）4a-3b+c=32-18+4=18.
7.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2 cm，求BC.
解：略.
8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？
解：设两地之间的实际距离为x，
则：，
x=5×2000=10000cm=100m
9.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则，
解得：x≈5.2cm.
故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美.
10.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB，
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB，
（3）在AB上截取AC＝AE.
如图，点C就是线段AB的黄金分割点.

【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业∶教材“习题3.1”中第2、3、4 题.

在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.
这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.
3.2 平行线分线段成比例

1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会做已知线段成已知比的作图题.
2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
3.通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.
【教学重点】
定理的应用.
【教学难点】
定理的推导证明.

一、情景导入，初步认知
1.求出下列各式中的x∶y.
（1）3x=5y； （2）x=y； （3）3∶2=y∶x； （4）3∶x=5∶y.
2．已知，求.
3．已知，求.
【教学说明】其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并以追问理论根据的方式进行.
二、思考探究，获取新知
1.下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1，由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗？

2.如图，已知直线a∥b∥c，直线l1、l2被直线a、b、c截得的线段分别为AB、BC和A1B1、B1C1，且AB=BC.你能证明A1B1=B1C1吗？

【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出证明过程.
【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
3.如图，任意画直线l1、l2，再画三条与其相交的平行线a、b、c.分别度量l1、l2被直线a、b、c截得的线段AB、BC、A1B1、B1C1的长度.相等吗？任意平移直线c，再度量AB、BC、A1B1、B1C1的长度，还相等吗？
【教学说明】引导学生进行分析，说出理由.
由此，你能得到什么结论？
【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
4.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则成立吗？为什么？

由此，你能得到什么结论？
【归纳结论】平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P71例题.
2.若_______.
分析：∵
∴a=b，c=b
∴
【答案】
3.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=_______.
分析：过点D作DH∥BE交AC于H.
∴
∴EH=CE
∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1
∴AE=CE=EH
∴
【答案】 3∶4
4.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=3∶1，AE∶EC=2∶1，AD与BE交于F，则AF∶FD=_______.
分析：过点D作DH∥BE交AC于H.
∴，
∴EH=CE.
∵AE∶EC=2∶1 ，
∴AE=2CE，
∴.
【答案】 8∶1
5.如图所示，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE∶AB=2∶3.求GF的长．
解：∵EG∥BC，
∴，EG=6，
∵EG=6，EF∥AD，
∴，EF=2，
∵EF＝2，
∴GF=4.
6.已知，如图，AD∥EF∥BC，BE=3，AE=9，FC=2．求DF的长.
解：∵AD∥EF∥BC，
∴
∵BE=3，AE=9，FC=2，
∴，
解得：DF=6.
7.如图，已知AB∥EF∥CD，AF=3，AD=5，CE=3，求BE的长.
分析：连接AE并延长交CD于G，根据平行线分线段成比例定理，可得AF∶AD=AE∶AG，从而求出AE∶EG，再据平行线分线段成比例定理，可得BE∶EC=AE∶EG，计算可得BE的值.
解：连接AE并延长交CD于G.
∵EF∥CD，
∴AF∶AD=AE∶AG，
AE∶AG=3∶5，
∴AE∶EG=3∶2，
∵AB∥CD，
∴BE∶EC=AE∶EG，
BE∶3=3∶2，
∴BE=．
【教学说明】通过本例题分析使学生进一步理解定理.
四、 师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业∶教材“习题3.2”中第1、2、4题.

对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.
3.3 相似图形

1.了解相似三角形、多边形的概念和性质.
2.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.
3.了解相似的概念，能按要求作出简单图形的相似图形.
4.在探索的学习过程中感受成功，建立自信，体验数学学习活动充满着探索与创造，交流与合作的乐趣.
【教学重点】
相似多边形的定义和性质.
【教学难点】
判断两个多边形是否相似.

一、情境导入，初步认识
1.你能看出下例两组图片的共同之处吗？

2.你还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别！
【教学说明】通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似．
二、思考探究，获取新知
1.上面两组图片，它们分别是由其中的一幅图放大或缩小得到的，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形之间有什么关系呢？
【归纳结论】把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的.
2.你能列举生活中，有哪些图形是相似的呢？
3.如图，在方格纸内先任意画一个△ABC，然后画出△ABC经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像△A′B′C′（点A′、B′、C′分别对应点A、B、C）.

问题讨论1：△A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系？
问题讨论2：△A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系？
【归纳结论】我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.
4.相似三角形的表示方法.
表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，
如△A′B′C′与△ABC相似，记作“△A′B′C′∽△ABC”.
5.相似三角形对应边的比叫作相似比.如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k，则△A′B′C′与△ABC相似比为.由此，我们可以得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
6.如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的，
请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数，
然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?

【归纳结论】对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
【教学说明】本节课要说明两个相似多边形，应结合定义说明理由，也就是说要同时满足对应角相等，对应边成比例；但要说明不相似，则只要否定其中一个条件即可.
三、运用新知，深化理解
1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？
(1)正三角形ABC与正三角形DEF;
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
分析:(1)由于正三角形每个角等于60°，
所以∠A=∠D= 60°,∠B=∠E=60°,
∠C=∠F= 60°.
由于正三角形三边相等，
所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD.
(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E= 90°,∠B=∠F=90°，∠C=∠G= 90°，∠D=∠H= 90°，由于正方形的四边相等，所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.
解：各对应角相等、各对应边成比例.
2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一个多边形的周长为25，求另一个多边形的面积．
分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等可得．
解：两个相似多边形，周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，
而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，
则8∶x=（2∶5）2，
解得：x=50，
另一个多边形的面积是50．
3.两个相似的五边形，一个各边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边长为10，求后一个五边形的最短边的长．
分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得．
解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，因而设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，
解得：x=2，
后一个五边形的最短边的长为2．
4.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1、D与D1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为_______．
分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长．
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形,
∴
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8,
∴ ,
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6,
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．
5.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____．

分析：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠1=∠B=70°，
，
即 ，
解得AD=28，∠1=70°．
【答案】 70°28
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解相似多边形的有关知识．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题3.3”中第1 、2 、3题.

本节课主要是相似多边形的定义，这节课主要是让学生自学，将定义和相似比等概念进行理解记忆，通过与相似三角形的定义的对比，得到要理解相似多边形的概念，要从以下几方面入手：（1）两个多边形相似，必须具备两个条件：①各角对应相等；②各边对应成比例，这两个条件缺一不可；（2）在相似多边形中，对应相等的角是对应角，对应成比例的边是对应边；（3）两多边形相似用“∽”表示，读作“相似于”；（4）形状相同的多边形相似.在这里，初学者因为有相似三角形的基础，往往在判定两个多边形相似时出现只说明满足一个条件便下结论是相似多边形的错误.另外在用符号表示两个多边形相似时，要把表示对应角的顶点写在对应位置上，这样可以一目了然地知道它们的对应角和对应边.
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线截三角形所得的两个三角形相似

1.经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的探索及证明过程.
2.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
3.通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐.
【教学重点】
三角形相似的判定定理及应用.
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用.

一、情境导入，初步认识
观察下列一组图形，观察其中的规律，图①中l1∥l2∥l3，图②中l1，l2，l3不存在平行关系.

试着判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并探究其中规律.
二、思考探究，获取新知
1.在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？

【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
2.如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似.
证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
3.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A，∠B′=∠B.
（1）∠C′=∠C吗？
（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题.如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.
【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P78例2.
2.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽_______∽_______.

解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1=∠4（对顶角），由AB∥DG可得∠3=∠G，所以△EGC∽△EAB.
【答案】 △EGC △EAB
【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第1题.

通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明.
第2课时 相似三角形的判定定理1

1.经历三角形相似的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程.
2.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
3.通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐.
【教学重点】
理解并掌握相似三角形的判定定理1.
【教学难点】
运用相似三角形的判定定理1解决简单数学问题.

一、情境导入，初步认识
现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°,
而∠BHF=∠DHE，
∴∠D=∠B，
又∵∠HED=∠C=90°，
∴△DEH∽△BCA．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
分析：已知∠B是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证AD⊥BC，有∠ADB=∠CEB=90°，即可得证.
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，又∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE.
【归纳结论】解此类题型时首先要根据题设寻求两三角形相似的条件，再证明两三角形相似，并根据相似获得题目要求的数量关系.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P80例3、例4.
2.判断题：
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
（2）所有的直角三角形都相似. （ ）
（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（ ）
（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（ ）
【答案】 (1)√; (2)×; (3)×; (4)√
3.已知：在△ABC和△DEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：△ABC∽△DEF .

证明：∵ 在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°-∠A -∠B
=180°-40°-80°
=60°，
∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°，
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F，
∴ △ABC∽△DEF.（两角对应相等，两三角形相似）
4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.
证明：∵∠A=36°，
△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°，在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，
∴△ABC∽△BCD.
5.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高.
求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.
证明: ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，（两角对应相等，两三角形相似）
同理△CBD∽△ABC，
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第2题.

教学过程中，注重引导学生自主探究并且验证相关定理，在实际学习的过程中反复验证定理的准确性，进而加深学生对定理的理解和记忆，巩固基础知识，为进一步学习打下坚实基础.
第3课时 相似三角形的判定定理2

1.经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的探索及证明过程.
2.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
3.在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.

一、情境导入，初步认识
问题：（1）相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.
（2）判定两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；
方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望.
二、思考探究，获取新知
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
1.我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？
2.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A，.
(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？
(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？
(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.


【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似.
4.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.

分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似.可以利用勾股定理来证明.
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P82例6.
2.如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

解:（1）△ADE∽△ABC，两角相等；（2）△ADE∽△ACB，两角相等；（3）△CDE∽△CAB，两角相等；（4）△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；（5）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；（6）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．
3.如图，BC与DE相交于点O.问
（1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE?
（2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？
（学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导.）
解：（1）∵∠A=∠A ，
∴ 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
（2）∵∠A=∠A ，
∴当AC∶AE=AB∶AD时，△ABC∽△ADE.
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
又∵∠MCN=45°，
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN，
∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN．
∴∠CNA=∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
，
∴△BCM∽△ANC．
5.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.
证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠DBE=∠CBA=45°，
∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE.
即∠ABE=∠CBD，又，
∴△ABE∽△CBD.
6.在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．试说明△AMD∽△EMB.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC，
∠MAD=∠MEB，∴△MAD∽△MEB．
7.如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.
分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，如果再进一步证明，则问题得证．
证明:∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE．
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
∵△ABD∽△ACE，∴．
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC=∠DAE，，
∴△ABC∽△ADE.
【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第1、3题.

此次教学过程中，对前一课时内容进行拓展，而本课时所涉及的知识点在考试中多出现在综合应用问题中，综合性和变化性强，在教学过程中需学生应用创新意识，结合实际情况灵活运用.
第4课时 相似三角形的判定定理3

1.经历三角形相似的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程.
2.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
3.在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
理解并掌握相似三角形的判定定理3.
【教学难点】
相似三角形的判定定理3的相关应用.

一、情境导入，初步认识
观察下列几组图形，探究其中规律.

试判断与△ABC相似的三角形.
二、思考探究，获取新知
1.我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？
2.你能证明你的结论吗？
已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，

求证：△A′B′C′∽△ABC.

【教学说明】引导学生证明.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P84例8.
2.在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
（1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
（2）∠A=38°，∠C=97°，
∠A′=38°，∠B′=45°；
（3）AB=2，BC=，AC=，
A′B′=，B′C′=1，A′C′=.
解：（1）SAS，相似；
（2）AA，相似；
（3）SSS，相似.
3.如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
分析：先设参数，求出各边，证明三边成比例，即可证△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形ABCD的边长为4a.∵P是BC边上的点，且BP=3PC，∴PC=a，∵Q是CD的中点，∴QC=QD=2a，AQ=a，QP=a，而，，，即，∴△ADQ∽△QCP.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第4题.

相似三角形的判定主要介绍了四种方法 ,从练习的结果来看,不是很理想,绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用,夹角也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味死记结论.不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力,合情推理的能力,争取这方面有所提高.
3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中三条重要线段的性质

1.理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系.
2.对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质的应用.
【教学难点】
相似三角形性质的应用.

一、情境导入，初步认识
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′，
又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
3.如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.

解：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B′=∠B，∠A′B′C′=∠ABC，
∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，
∴∠B′A′D′=∠BAD，
∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴
根据上面的探究，你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
4.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P86例9.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为________.
分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，

【答案】 6
3.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD；
（3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.
解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4 （cm）.
（3）∵△CBD∽△ABC，∴.∴，∴=9（cm）.
4.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2）由（1）知△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，∴BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG，CD=BG.
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．
5.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.
解：（1）设，那么x=2k，y=3k，z=5k，
由于3x+4z-2y=40，
∴6k+20k-6k=40，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=10．
（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，
则，
∴C=240，C+560=800，
即它们的周长分别为240cm，800cm．
【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第7题.

本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.
第2课时 与相似三角形的面积、周长有关的性质

1.理解掌握相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
2.对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
理解并掌握相似三角形的周长和面积的有关性质.
【教学难点】
学会综合运用相似三角形的性质解题.

一、情境导入，初步认识
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，BE长为6m.
根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.
二、思考探究，获取新知
如图△ABC∽△A′B′C′，，AD、A′D′为高线.
（1）这两个相似三角形周长比为多少？
（2）这两个相似三角形面积比为多少？

分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′，
所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′= k.
由并比的性质可知，
（AB+BC+AC）︰（A′B′+B′C′+A′C′）= k.
（2）由题意可知，
因为 △ABD∽△A′B′D′，
所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
因此可得，
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）
=k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P88例11、例12.
2.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.4，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.
【答案】 A
3.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，则AB∶A′B′=_______.
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶.
【答案】 1∶
4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的______.
分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的.
【答案】
5.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积.
解：设△ABC的三边依次为：BC=5，AC=12，AB=13，
∵AB2=BC2+AC2，
∴∠C=90°.
又∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=90°.

又BC=5，AC=12，
∴B′C′=10，A′C′=24.
∴S=A′C′×B′C′=×24×10=120.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第6、9题.

教学过程中，归纳总结相似三角形的性质，需要对前一段的学习进行复习，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，构建完整的知识体系，进一步开发学生潜能，培养严谨的学习态度.
3.5 相似三角形的应用

1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
2.通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.
3.进一步检验数学的应用价值.
【教学重点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
【教学难点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

一、情境导入，初步认识
我们已经学习的相似三角形的性质有哪些？
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面的数学问题转化为生活中的问题吗？
【教学说明】复习相似三角形的性质，为本节课的教学作铺垫．
二、思考探究，获取新知
1.思考：如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端.小张想测量出A，B间的距离.但由于受条件限制无法直接测量.你能帮他想出一个可以的测量办法吗？

【教学说明】由于我们学过三角形的全等，可能有一部分学生会用全等的知识来解决，应当鼓励.并引导学生思考能否用相似的知识来解决这个问题呢.
我们可以这样做：
如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使 （k为整数）测量出DE的长度后，就可以用相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离了.

2.根据上面的分析，写出当k=2，DE=50米时，AB的长，并写出解题过程.
3.在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛O，准星A，靶心B在同一条直线上，在射击时，李明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′.如图所示，已知OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米，求李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′.（AA′∥BB′）

解：∵AA′∥BB′，
∴△OAA′∽△OBB′，
∴，
∵OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米
∴BB′=0.125米.
【教学说明】鼓励学生大胆的发言，积极讨论，教师作适当的引导、点评.
三、运用新知，深化理解
1.（1）某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，则树高_____米.
（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD=_____米.

【答案】（1）4 （2）6
2.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x.

分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度.
解：∵ OA∶OC＝OB∶OD＝n 且∠AOB＝∠COD；
∴△AOB∽△COD.
∴ OA∶OC＝AB∶CD＝n 又∵CD＝b，
∴AB=CD·n ＝nb，
∴x＝.
3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

解：设正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD与PN相交于点E.
设正方形PQMN的边长为x毫米.
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
因此得x=48（毫米）.
答：这个正方形零件的边长是48毫米.
4.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？

分析：设眼睛到目标的距离为xcm，由于OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，又由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
解：设眼睛到目标的距离为xcm，
∵OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，
∴BE=AB=0.1cm，DF=CD=25cm，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴
解得x=20000．
因为20000cm=200m，
所以眼睛到目标的距离OF是200m.
【教学说明】通过练习，使学生掌握利用相似三角形解决实际问题的方法．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题3.5”中第2、3、5题.

本节课学生在富有故事性和现实性的数学情景问题中学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力.在教学中突出了“审题，画示意图 ，明确数量关系解决问题”的数学建模过程，培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识.一节课下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.
3.6 位似
第1课时 位似图形的概念及画法

1.了解图形的位似概念，会判断简单的位似图形和位似中心.
2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题.
3.采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
4.使学生亲身经历位似图形的概念的形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学学习内容的现实性、应用性.
【教学重点】
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.
【教学难点】
探索位似概念、位似图形的性质的过程及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小.

一、情境导入，初步认识
1.相似多边形的定义及判定是什么？
2.相似多边形有哪些性质？
3.我们已学过的图形变换有哪些？它们的性质是什么？
【教学说明】分析相关知识，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.下图是运用幻灯机（点O表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图.

（1）这两个图形之间有什么关系？
（2）在左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别取点A，B.右边小狗的头顶上和狗尾巴尖上的点A′，B′分别为点A，B的对应点.作直线AA′、BB′，你发现了什么？
（3）分别量出线段OA、OA′、OB、OB′的长度，计算（精确到0.1）：
=_______；=_______.
（4）任意在两只小狗上找一些对应点，每一对对应点与点O所连线段的比与上述的值相等吗？
【归纳结论】一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足：
（1）直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点O.
（2）=k
那么图形G与图形G′是位似图形，这个点O叫作位似中心，常数k叫作位似比.
2.在下图中，线段AB与A′B′成位似图形，O是位似中心，你能证明AB∥A′B′吗？

3.由此，你能得到什么结论？
【归纳结论】两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.
画位似图形的方法：
方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论.
三、运用新知，深化理解
1.下列说法中正确的是（ ）
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
【答案】 D
2.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】 B
3.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则火焰的长度为______.

【答案】 8cm
4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为2. 若五边形ABCDE的面积为17cm2， 周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为_______，周长为_______.

【答案】cm2 10cm
5.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与_______是位似图形，位似比为_______；△OAB与_______是位似图形，位似比为_______.

【答案】 △A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4
【教学说明】通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.6”中第1题.

在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识事物总是互相联系的，温故而知新.而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判断和归纳.在分析理解位似图形性质时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力.
第2课时 平面直角坐标系中的位似图形

1.学习巩固位似相关概念知识；
2.能够利用位似知识解决相关几何问题.
3.采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
4.使学生亲身经历位似图形的概念的形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学学习内容的现实性、应用性.
【教学重点】
学习巩固位似相关概念知识.
【教学难点】
能够利用位似知识解决相关几何问题.

一、情境导入，初步认识
观察如图所示的坐标系.

试着发现坐标系中几个图形间的联系，试着自己做出一个类似的图形.
二、思考探究，获取新知
1.如图所示，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），则M在△ODE中的对应点M′的坐标为（ ）
A.（-x，-y）
B.（-2x，-2y）
C.（-2x，2y）
D.（2x，-2y）
分析：△OBC与△ODE是以O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∴M（x，y）经放大交换后的点M′的坐标为（-2x，-2y），故选B.
【答案】B
【归纳结论】在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，则点P（x，y）的对应点的坐标为（kx，ky）或者（-kx，-ky）.
2.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2,4）、O（0,0）、B（6,0）.
（1）将各个顶点坐标分别缩小为原来的一半.所得到的图形与原图形是位似图形吗？
（2）将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗？
【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨论位似中心的位置有几种情况并画出图形.
【归纳总结】一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果位似图形以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P99例题.
2.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）

A.（-a，-2b） B.（-2a，-b）
C.（-2a，-2b） D.（-2b，-2a）
【答案】 C
3.如图：三角形ABC，请你在网格中画出把三角形ABC以C为位似中心放大2倍的三角形.

4.如图所示的平面直角坐标系中，△OAB的顶点O为原点，A（-2,0），B（-1,2），按要求作图.
以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1和△OAB对应线段的比为3∶1，画出△OA1B1（△OA1B1与△OAB在原点两侧）.

解：根据题意可知A1的坐标为（6,0），B1的坐标为（3，-6），在平面直角坐标系中标出A1、B1两点，连接OB1，OA1，A1B1，△OA1B1就是△OAB放大后的图形.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.6”中第3、4题.

本课时所学习的内容多与实际相结合，因此在教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学模型来解决问题，此类与实际应用联系紧密的知识，能更为有效地开发学生的各项潜能.
章末复习

1.掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题.
2.通过回顾和梳理本章知识了解图形相似的有关知识.
3.在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.
【教学难点】
能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.比例的概念：
如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把a，b，c，d四个实数成比例表示成a∶b=c∶d或，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项.
2.比例的基本性质：
如果，那么ad=bc.
3.比例线段的概念：
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
4.比例线段的比：
如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段的比，记作：或AB∶A′B′=m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成或AB∶A′B′=k.
5.黄金分割：
如果线段AB上有一点C，且，那么线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
黄金分割比的数值近似为0.618.
6.平行线分线段成比例：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
7.相似三角形的概念：
我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.
8.相似三角形的表示方法.
表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫作相似比.
9.相似多边形的概念：
对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
10.相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
（2）两角分别相等的两个三角形相似.
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
(4)三边成比例的两个三角形相似.
11.相似三角形的基本性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
（2）相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
（3）相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
（4）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
（5）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
12.位似的概念：
一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足：
（1）直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点O.
（2）=k，
那么图形G与图形G′是位似图形，这个点O叫作位似中心，常数k叫作位似比.
13.位似图形的性质：
（1）两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.
（2）一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
（3）在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
14.画位似图形的方法：
（1）确定位似中心 ；（2）找对应点；(3)连线；(4)下结论.
三、典例精析，复习新知
1.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是（ ）
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB
C.BM=AB D.AM≈0.618AB
【答案】 C
2.若，则m＝_______.
分析：分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况.
【答案】 ±1
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______.
分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED，列出比例式，求出DE.
【答案】 10
4.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.
求证：＝1.
分析：利用AC＝AF＋FC.
证明：∵EF∥BC，FG∥AD，
∴，.
∴＝1.
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，
求证：.
分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF.
方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G.
∵BC∥GF，
∴.
又∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴BE＝DE.
∵BE∥GF，
∴＝1. ∴DF＝GF.
∴.
方法二：作EH∥AB交AC于点H.
∵，∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴BE＝DE.∴.
6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点M，交BA的延长线于点D，交AC于点E.
求证：（1）MA2=MD·ME；
（2）
证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点， ∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，
∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，
∴△MAE∽△MDA，
∴，∴MA2=MD·ME，
（2）∵△MAE∽△MDA，
∴
∴
【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB∥CD，图中共有______对相似三角形

【答案】 6
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是______.
分析：作EF∥BC交AD于F.设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长.

【答案】 144
3.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝______.
分析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC.
【答案】
4.已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC）， 则AC∶BC = （ ）
A.(-1)∶2 B.(+1)∶2
C.(3-)∶2 D.(3+)∶2
【答案】 B
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC边上取一点D，使BD＝BA，连接AD.求证：
（1）△ADC∽△BAC；
（2）点D是BC的黄金分割点.
证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴，∴AC2＝BC·CD，
∵AC＝AB＝BD，
∴BD2＝BC·CD，
∴点D是BC的黄金分割点.
6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿AO所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

分析：如右图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，然后可由相似三角形的性质求解.
解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP.
∴，即，
解得MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.
【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.
7.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：
（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH.
证明：（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴Rt△BDG∽Rt△DCG.
∴，即DG2＝BG·CG.
（2）∵DG⊥BC，
∴∠ABC＋∠H＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC＋∠ECB＝90°.
∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB.
∴∠H＝∠ECB.
又∠HGB＝∠FGC＝90°，
∴Rt△HBG∽Rt△CFG.
∴，
∴BG·GC＝GF·GH.
8.如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长.
分析：在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG=EG-EF.
解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴，
∵BC=10，AE=3，AB=5，
∴，∴EG=6，
∵在△BAD中，EF∥AD
∴，
∵AD=6，AE=3，AB=5，
∴,∴EF=.
∴FG=EG-EF=.
【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.
五、复习训练，巩固提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

布置作业:教材“复习题3”中第3、6、7、10、13、15题.

通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合在一起.