湘教版九年级数学上册第五章《用样本推断总体》教案

第5章 用样本推断总体

5.1 总体平均数与方差的估计

1.掌握用样本平均数估计总体平均数

2.掌握用样本方差估计总体方差.

3.通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况.

4.感受数学在生活中的应用.

【教学重点】

样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用.

【教学难点】

体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.

一、情境导入，初步认识

一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？

【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣.

二、思考探究，获取新知

1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性.

2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的.

3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？

（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？

【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差.

4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？

为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：

我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量.

我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计.这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广.

5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？

【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性； ②样本容量要足够大.

 6.如何用样本方差估计总体方差？

【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差.

【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P143例题.

2.2014年宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能(耐力)类项目和速度(跳跃、力量、技能)类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形图．(另附：九年级女生立定跳远的计分标准)

九年级女生立定跳远计分标准：

 (注：不到上限，则按下限计分，满分10分)

(1)求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离的极差，立定跳远得分的众数和平均数；

(2)请你估计该校选择立定跳远的200名女生得满分的人数．

解：（1）从小到大排列出距离为：174，183，189，195，197，199，200，200，201，205，

得分为7，8，9，9，10，10，10，10，10，10．

∴立定跳远距离的极差=205-174=31（cm）．

所以立定跳远得分的众数是10（分），

立定跳远的平均数=（7+8+9+9+10+10+10+10+10+10）=9.3（cm）．

（2）因为10名女生中有6名得满分，所以估计200名女生中得满分的人数是200×=120（人）．

3.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，抽查了两人在最近10次选拔赛中的表现，他们的成绩（单位:cm）如下：

甲：585  596  610  598  612  597  604  600  613  601

乙：613  618  580  574  618  593  585  590  598  624

你认为该派谁参加？

分析：此题可从平均数，方差两方面去分析.当平均数相差不大时，再看方差.

解：=（585+596+610+598+612+597+604+600+613+601）=601.6（cm）；

=（613+618+580+574+618+593+ 585+590+598+624）=599.3（cm）.

 =65.84，=284.21

 ＜.

所以应该派甲去.

4.如图所示，为了了解A、B两个旅游点的游客人数变化情况，抽取了从2002年至2006年“五一”的旅游人数变化情况，制成下图.根据图中所示解答以下问题：

（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？

（2）从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；

分析：本题综合考查平均数、方差的计算，关键是公式应用要准确，数据不要遗漏.

解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．

(2)＝＝3（万元），＝＝3（万元），

＝［(-2)2＋(-1)2＋02＋12＋22］＝2，

＝［02＋02＋(-1)2＋12＋02］＝.

从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．

【教学说明】这组反馈练习，从多个角度考察学生掌握及运用新知的情况，在学生独立完成过程中，不仅巩固了知识，也学会多角度思考问题，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，发散了思维，学会做数学.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题5.1”中第1 、2 、3题.

通过本节课的学习，使学生形成一定的数学思想和方法.同时教师也了解了学生的真实情况，便于帮助学生认识自我，建立自信，也便于下一堂课作适当的调整与准备.

5.2 统计的简单应用

第1课时 用样本的“率”去估计总体相应的“率”

1.用样本中的“率”估计总体中的“率”.

2.经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展统计的意识和数据处理能力.

3.体会统计在生活中的应用.

【教学重点】

用样本中的“率”估计总体中的“率”.

【教学难点】

用样本中的“率”估计总体中的“率”.

一、情境导入，初步认识

在实践中，我们常常通过简单的随机抽样，用样本的“率”去估计总体相应的“率”，例如工厂为了估计一批产品的合格率，常常从产品中随机抽取一部分进行检查，通过对样本进行分析，推断出这批产品的合格率.那么有什么方法来对“率”作出合理的估计呢？

【教学说明】引入本节课所要学习的内容.

二、思考探究，获取新知

1.某工厂生产了一批产品，从中抽取1000件来检查，发现有10件次品，试估计这批产品的次品率.

解：由于是随机抽取，即总体中每一件产品都有相同的机会被抽取，因此，随机抽取的1000件产品组成了一个简单随机样本，因而可以用这个样本的次品率作为对这批产品的次品率的估计，从而这批产品的次品率为1％.

2.某地为提倡节约用水，准备实行“阶梯水价计费”方式，用户月用水量不超出基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的月用水量数据.并将这些数据绘制成了如下的图形：

如果自来水公司将基本月用水量定为每户12吨，那么该地区20万用户中约有多少用户能够全部享受基本价格？

【教学说明】教师引导学生分析问题，找出解决问题的办法.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P147例2.

2.某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，估计该厂这一万件产品中不合格品约为多少件？

分析：首先可以求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可求出这一万件产品中不合格品约为多少件．

解：∵某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，∴不合格率为：5÷100=5%，

∴估计该厂这一万件产品中不合格品为10000×5%=500件．

3.为了了解我市某县参加2008年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩（成绩为整数，满分120分）进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：

（1）请将以上统计表和扇形统计图补充完整；

（2）若规定60分以下（不含60分）为“不合格”，60分以上（含60分）为“合格”，80分以上（含80分）为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；

（3）在（2）的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．

分析：（1）两图结合计算求值，根据每个分数段的人数=总人数200×这段所占的百分比；

（2）样本的合格率、优秀率就是每部分所占的百分比；

（3）求出抽查的样本的数学成绩优秀率和不合格率，用样本估计总体即可求出答案．

解：（1）79.5~89.5的人数是14%×200=28，

89.5~99.5的人数是11%×200=22，

69.5~79.5所占的百分比=46÷200×100%=23%；59.5以下所占的百分比=28÷200×100%=14%;79.5~89.5的人数是28.

（2）合格率：1-14%=86%，

优秀率：14%+11%+16%=41%；

（3）优秀人数：41%×6000=2460，

不合格人数：14%×6000=840．

4.2014年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表（如下），请根据图表信息解答下列问题：

（1）补全频数分布表；

（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平.

分析：（1）首先利用C组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表；

（2）根据（1）可以得到A等级的同学的频率，然后乘以360即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．

解：（1）略；

（2）A等级的同学人数为40人，频率为0.40，

∴估计该校九年级约有 0.4×360=144人达到优秀水平．

【教学说明】通过练习，使学生掌握如何用样本中的“率”来估计总体中的“率”.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题5.2”中第1、2、4 题.

在统计学里我们通常是从总体中抽取一个样本，然后根据样本的某种特性去估计总体中其他个体的特性，这符合人们“从一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律.所有学生对本节课的内容掌握得较好.

第2课时 对事物的发展趋势做出判断和预测

1借助统计图表、统计量作出正确决策．

2.能够利用统计的有关知识解决相关实际问题.

3.经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展统计的意识和数据处理能力.

4.体会统计在生活中的应用.

【教学重点】

借助统计图表、统计量作出正确决策.

【教学难点】

能够利用统计的有关知识解决相关实际问题.

一、情境导入，初步认识

我们知道能够用样本的量来估计总体中的量，那么，我们能不能利用样本来推算将来的情况呢？

【教学说明】通过问题的引入，提高学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

1.李奶奶在小区开了一家便利店，供应A，B，C，D，E5个品种的食物，由于不同品种的食物的保质期不同，因此，有些品种因滞销而变质，造成浪费，有些品种因脱销而给居民带来不便.面对这种情况，李奶奶很着急.

请你想办法帮助李奶奶解决这一问题.

分析：随机抽取几天中这5个品种的食物的销售情况，再根据结果提出合理的建议.

（1）收集数据；

（2）分析数据和统计结果；

（3）估计结果确定进货方案.

2.利用样本来推断总体的过程是怎样的呢？

【归纳结论】我们可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.

【教学说明】通过对具体的问题情境的分析，使学生掌握如何利用统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P151“做一做”.

2.小红的奶奶开了一个牛奶销售店，主要经营“学生奶”“酸牛奶”“原味奶”，可奶奶经营不善，经常有些品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够），造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表：

（1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶销量最高；

（2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数），并比较哪种牛奶销量最稳定；

（3）假如你是小红，你会对奶奶有哪些好的建议？

 解：（1）=3，=80，=40，酸牛奶销量高，

（2）=12.57，=91.71，=96.86，学生奶销量最稳定.

（3）建议学生奶平常尽量少进或不进，周末可进几瓶.

3.第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：

（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为_________平方千米；

（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）.

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表

解：（1）0.03

（2）陆地面积3.6平分千米水面面积1.5平方千米图略

（3）3700

【教学说明】本题综合考查统计的应用问题，通过练习，使学生熟练地掌握统计的相关知识.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题5.2”中第3题.

通过本节课的学习，使学生掌握如何利用统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测.根据练习情况来看，学生掌握的情况较好.

章末复习

1.整合初中阶段所学统计知识，梳理形成知识网络.

2.加深对统计知识的理解，增强主动应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力.

3.进一步理解用样本去估计总体的统计思想，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的认知规律.

【教学重点】

统计知识的灵活应用.

【教学难点】

统计知识的灵活应用.

一、知识结构

【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.

二、释疑解惑，加深理解

1.由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差.

2.怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？

①抽取的样本要具有随机性； ②样本容量要足够大.

3.如何用样本方差估计总体方差？

①计算样本平均数；

②计算样本方差；

③用样本方差估计总体方差.

方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.

4.在实践中，我们常常通过简单的随机抽样，用样本的“率”去估计总体相应的“率”.

5.我们可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.

三、典例精析，复习新知

1.如图所示是甲、乙两地某十天的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10天的日平均气温的方差大小关系为：______(用＞，=，＜填空).

【答案】 ＞

2.某果园有果树200棵，从中随机抽取5棵，每棵果树的产量分别为(单位：千克)：98，102，97，103，105，那么这5棵果树的平均产量为多少千克？极差是多少？这200棵果树的总产量约为多少千克？

解：这5棵果树的平均产量为

（98+102+97+103+105）÷5=101（千克），

极差为：105-97=8（千克），

这200棵果树的总产量约为101×200=20200（千克）；

答：这5棵果树的平均产量为101千克，极差是8千克，这200棵果树的总产量约为20200千克.

3.某初中为了迎接初三学生体育中考，特地进行了一次考前模拟测试.如图是女生800米跑的成绩中抽取的10个同学的成绩.

(1)求出这10名女生成绩的中位数、众数和极差；

(2)按《萧山教育局中考体育》规定，女生800米跑成绩不超过3′25″就可以得满分.现该校初三学生有636人，其中男生比女生少74人. 请你根据上面抽样的结果，估算该校初三学生中有多少名女生该项考试得满分？

分析：（1）利用折线图说出各个同学的成绩，然后找到众数、中位数求出极差；

（2）根据此学校男女生的人数关系和总人数求出该校女生人数，乘以这10名同学的满分率即可.

解：（1）女生的中位数、众数及极差分别是3′21″、3′10″、39″；

（2）设女生有x人，男生有（x-74）人，

由题意得：x+x-74=636，

x=355，

∵这10名同学有六名同学成绩达满分，

∴估计该校女生的满分率为×100%=60%，

∴355×60%=213（人）.

答：女生得满分的人数是213人.

4.为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下(单位：秒)：

(1)计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；

(2)你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由.

解：（1）=(-3+4+2-1-2-2+1-2+2+1)=0，

=(-4+2-3+2+4+2-3-1+4-3)=0；

（2）=［(-3)2+42+22+(-1)2+(-2)2+(-2)2+12+(-2)2+22+12］=4.8，

=［(-4)2+22+（-3）2+22+42+22+(-3)2+(-1)2+42+(-3)2］=8.8，

由＜，

知甲种手表走时稳定性好.

【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力.

四、复习训练，巩固提高

1.下面是某地区2001~2004年初中生在校人数和全国初中学校数统计图(如图)，由图可知从2001~2004年，该地区初中生在校人数（   ）

A.逐年增加，学校数也逐年增加

B.逐年增加，学校数却逐年减少

C.逐年减少，学校数也逐年减少

D.逐年减少，学校数却逐年增加

【答案】 A

2.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们在某出口处，对离开园区的游客进行调查，并将在此出口调查所得的数据整理后绘成图.

(1)在此出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占此出口的被调查游客人数的（   ）%.

(2)试问此出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？

解：（1）由图可知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人），

而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人），

所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的×100%=60%.

（2）购买饮料总数为：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶）.

人均购买饮料瓶数==2瓶.

3.某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A、B、C、D四个等级.为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2 000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：

各类学生成绩人数比例统计表：

（注：等级A、B、C、D分别代表优秀、良好、合格、不合格）

（1）请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；

（2）若该市九年级共有60 000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上(含合格)的人数.

解：（1）∵农村人口=2000×40%=800，

∴农村A等级的人数=800-200-240-80=280；

∵县镇人口=2000×30%=600，

∴县镇D等级的人数=600-290-132-130=48；

∵城市人口=2000×30%=600，

∴城市B等级的人数=600-240-132-48=180

故分别填：280，48，180.

（2）抽取的学生中，成绩不合格的人数共有（80+48+48）=176，

所以成绩合格以上的人数为2000-176=1824，

估计该市成绩合格以上的人数为×60000=54720.

答：估计该市成绩合格以上的人数约为54720人.

4.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：

A.1.5小时以上                B.1~1.5小时

C.0.5~1小时                  D.0.5小时以下

图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

（1）本次一共调查了多少名学生？

（2）在图1中将选项B的部分补充完整；

（3）若该校有3000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？

 解：（1）60÷30%=200，

本次一共调查了200位学生.

（2）“B”是100人.

（3）3000×5%=150，

学校有150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下.

【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.

五、复习训练，巩固提高

通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

布置作业:教材“复习题5”中第2、5、6、8、10题.

学生和老师都在一种极其愉快和兴奋的状态中经历了这堂复习课的教与学.这堂课总体来说是很成功的，但仔细思考后觉得也有一些不足，有些学生的观察能力尚不够强，他们不善于抓住一些要害和细节，不少环节只是在同学们说出来之后，才有一些模糊的印象来支持.不过话说回来，这也不失为一次对观察能力的训练.