北京二中教育集团2022-2023学年八年级上学期期末数学模拟试卷

这是一份北京二中教育集团2022-2023学年八年级上学期期末数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）八年一班的学生设计了下面四个图形，是轴对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2分）办公中常用的纸张一般A4纸其厚度为0.0075m，将0.0075用科学记数法表示为（ ）
A．75×10﹣4B．75×10﹣3C．7.5×10﹣3D．0.75×10﹣2
3．（2分）若分式的值为0，则a满足（ ）
A．a＝3B．a＝﹣3C．a＝±3D．a＝3或a＝﹣2
4．（2分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
5．（2分）只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两角和一边B．直角三角形的任意两边
C．三条边D．两边和一角
6．（2分）若a＝（﹣）﹣2，b＝（﹣）0，c＝0.75﹣1，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
7．（2分）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
8．（2分）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，设△ABM，△EFH1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝42，S1+S2﹣S3＝36，则大正方形AMNE的面积为（ ）
A．114B．117C．120D．126
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
10．（2分）因式分解：3ay2﹣6ay+3a＝ ．
11．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 ．
12．（2分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 °．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝108°，且AB+BD＝BC，则∠MDB的度数是 ．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AB上，∠EDB＝∠ADC，∠AFE＝2∠FAC，∠DAF＝60°，AD＝3，则ED＝ ．
15．（2分）若，则＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，过点A作DA⊥AB，过D作DE∥BC，交AB于点E，DP的长为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：a2•a4+（2a3）2﹣3a8÷a2．
18．（5分）求值：
（1）已知x+y﹣4＝0，求2x•2y的值；
（2）化简求值：[（2x﹣1）2+（2x+1）（2x﹣1）]÷4x，其中x＝﹣2．
19．（5分）（1）通分：，，；
（2）求证：++的值不能为0；
（3）求证：++的值不可能为0．
20．（5分）以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘（x﹣3），得
1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步
解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步
检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步
所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误．
（2）写出正确的解方程的过程．
21．（6分）先化简，再求值（﹣1）÷，（化简后在数字0，﹣1，1，2中选择一个你喜欢的x的值代入计算）．
22．（5分）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD⊥BC于点D，且AD＝BD，请探索线段AB，BD，并证明你的结论．
23．（5分）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DF⊥AC，垂足分别为E
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在BC上求作点E，使AD＝AE，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BD＝CE．
25．（6分）在“抗疫”期间，为了弥补物质短缺的需求，国家投入人力和财力研制出新型口罩机．新型口罩机和原来口罩机每天一共生产150万个口罩，求新型口罩机每天生产的口罩数．
26．（7分）已知：P＝x+1，Q＝．
（1）当x＞0时，判断P﹣Q与0的大小关系，并说明理由；
（2）设y＝﹣，若x是整数，求y的整数值．
27．（7分）在探究三角形内角和等于180°的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：
（1）小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明
证明过程．
证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M
∵BN∥AC
∴∠NBM＝∠A（ ）
∠CBN＝∠C（ ）
∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义）
∴∠CBA+∠A+∠C＝180（等量代换）
（2）小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平
角中去，只不过平角的顶点放到了AB边上，如图所示：
请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．
（3）小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试
小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．
28．（7分）如图1，在正方形ABCD中，AD＝9（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC
初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？
甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；
乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA
理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系
拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．
（1）当＝时，如图3，直接写出△APE的面积为 ；
（2）直接写出△APE面积S的取值范围．
2022-2023学年北京二中教育集团八年级上学期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）八年一班的学生设计了下面四个图形，是轴对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：从左到右第一、二、四共三个图形是轴对称图形，
故选：C．
2．（2分）办公中常用的纸张一般A4纸其厚度为0.0075m，将0.0075用科学记数法表示为（ ）
A．75×10﹣4B．75×10﹣3C．7.5×10﹣3D．0.75×10﹣2
【答案】C
【解答】解：0.0075＝7.7×10﹣3．
故选：C．
3．（2分）若分式的值为0，则a满足（ ）
A．a＝3B．a＝﹣3C．a＝±3D．a＝3或a＝﹣2
【答案】B
【解答】解：∵|a|﹣3＝0，（a﹣5）（a+2）≠0，
∴a＝﹣8，
故选：B．
4．（2分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
【答案】B
【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝3×360，
解得：n＝5，
故选：B．
5．（2分）只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两角和一边B．直角三角形的任意两边
C．三条边D．两边和一角
【答案】D
【解答】解：A、两角和一边，不符合题意；
B、直角三角形的任意两边，不符合题意；
C、三条边，不符合题意；
D、条件不足，或者角为对应边夹角时才满足全等条件，符合题意；
故选：D．
6．（2分）若a＝（﹣）﹣2，b＝（﹣）0，c＝0.75﹣1，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
【答案】D
【解答】解：∵a＝（﹣）﹣3＝，b＝（﹣）0＝1，c＝2.75﹣1＝，
∴a＞c＞b．
故选：D．
7．（2分）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】A
【解答】解：因为分式本身的符号，分子的符号，改变其中的两个符号，
所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变，
故选：A．
8．（2分）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，设△ABM，△EFH1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝42，S1+S2﹣S3＝36，则大正方形AMNE的面积为（ ）
A．114B．117C．120D．126
【答案】B
【解答】解：设AD＝a，DE＝b（a＞b），
由题意得：△ADE的面积＝S1，△AGH的面积＝S3，
∴S8+S2﹣S3＝正方形DEFG的面积＝36，
∴b＝2，
∵S1+S2+S7＝42，S1+S2﹣S2＝36，
∴S3＝3，
∴（a﹣b）•GH＝3，
∴GH＝，
∵GH∥DE，
∴△AGH∽△ADE，
∴AG：AD＝HG：DE，
∴（a﹣b）：a＝GH：b，
∴GH＝，
∴＝，
∴a＝9或a＝7（舍），
∵AE2＝AD2+DE6＝92+22＝117．
∴正方形AMNE的面积＝117．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠±2 ．
【答案】x≠±2．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x2﹣4≠3，
∴x≠±2．
故答案为：x≠±2．
10．（2分）因式分解：3ay2﹣6ay+3a＝ 3a（y﹣1）2 ．
【答案】3a（y﹣1）2．
【解答】解：3ay2﹣3ay+3a
＝3a（y4﹣2y+1）
＝2a（y﹣1）2．
11．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：当等腰三角形的另一边为7时，7﹣3＜7＜7+6，此三角形的周长＝7+7+5＝16；
当等腰三角形的另一边为2时，2+3＜7，故此种情况不存在；
故答案为：16．
12．（2分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 270 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠A+∠B+∠2＝360°，
∴∠4+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝108°，且AB+BD＝BC，则∠MDB的度数是 114° ．
【答案】114°．
【解答】解：∵DM是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴BC＝BD+DC，
∵AB+BD＝BC，
∴AB＝DC＝AD，
∴∠B＝∠ADB，∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∴∠C＝24°，
∴∠MDB＝90°+24°＝114°，
故答案为：114°．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AB上，∠EDB＝∠ADC，∠AFE＝2∠FAC，∠DAF＝60°，AD＝3，则ED＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：作FM⊥AB于M，延长ED至N使∠DNF＝60°，
∵∠BAC＝90°，FM⊥AB，
∴MF∥AC，
∴∠MFA＝∠FAC＝α，
∵∠AFE＝2∠FAC＝2α，
∴∠MFA＝∠MFE＝α，
∴∠AEF＝∠EAF＝90°﹣α，
∴△AEF为等腰三角形，
∴EF＝AF＝7，
∵∠FDN＝∠EDB，∠EDB＝∠ADC，
∴∠FDN＝∠ADC，
在△DAF和△DNF中，
，
∴△DAF≌△DNF（AAS），
∴NF＝AF＝4，DN＝AD＝3，
∵EF＝AF＝5，
∴EF＝NF＝4，
∵∠DNF＝60°，
∴△ENF是等边三角形，
∴EN＝NF＝4，
∴ED＝EN﹣DN＝8﹣3＝1．
故答案为：6．
15．（2分）若，则＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵＝+1＝，
∴＝．
故答案为：．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，过点A作DA⊥AB，过D作DE∥BC，交AB于点E，DP的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接AP，
∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴DE⊥AC．
又∵AD＝DC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴AP＝PC，AF＝CF，
∵BC的长度不变，
∴要使△BCP的周长最小，只要PB+PC最小即可．
∵PB+PC＝PA+PB≥AB，
∴当P与E重合时，PA+PB最小．
∵DE∥BC，AB＝5，点F为AC的中点，
∴AE＝BE＝AB＝BC＝，
∵DA⊥AB，EF⊥AC，
∴∠DAE＝∠AFE＝90°，
又∵∠DEA＝∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴．
∴，
即，
故答案为：．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：a2•a4+（2a3）2﹣3a8÷a2．
【答案】2a6．
【解答】解：原式＝a6+4a6﹣3a6
＝8a6．
18．（5分）求值：
（1）已知x+y﹣4＝0，求2x•2y的值；
（2）化简求值：[（2x﹣1）2+（2x+1）（2x﹣1）]÷4x，其中x＝﹣2．
【答案】（1）16；
（2）2x﹣1，﹣5．
【解答】解：（1）∵x+y﹣4＝0，
∴x+y＝6，
∴2x•2y＝6x+y＝24＝16；
（2）原式＝（4x2﹣4x+5+4x2﹣7）÷4x
＝（8x6﹣4x）÷4x
＝4x﹣1，
当x＝﹣2时，
原式＝6×（﹣2）﹣1
＝﹣8．
19．（5分）（1）通分：，，；
（2）求证：++的值不能为0；
（3）求证：++的值不可能为0．
【答案】（1），，；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：分子、分母同乘z得：＝，
分子、分母同乘y得：＝，
分子、分母同乘x得：＝；
（2）证明：++＝．
∵x2+y2+z7≥0，
∴只有当x＝y＝z＝0时等号才能成立，但x，y，
∴++不可能为5．
（3）证明：令a﹣b＝x，b﹣c＝y，
则原式＝++，
由（2）可知，原式不可能为0．
20．（5分）以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘（x﹣3），得
1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步
解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步
检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步
所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步
（1）小明的解法从第 一 步开始出现错误．
（2）写出正确的解方程的过程．
【答案】（1）一；
（2）．
【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣7x+9，
解得：，
经检验是分式方程的解．
21．（6分）先化简，再求值（﹣1）÷，（化简后在数字0，﹣1，1，2中选择一个你喜欢的x的值代入计算）．
【答案】原式＝，当x＝0时，原式＝1．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
∵（x+1）（x﹣7）≠0，
∴x≠1，﹣7，
当x＝0时，原式＝．
22．（5分）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD⊥BC于点D，且AD＝BD，请探索线段AB，BD，并证明你的结论．
【答案】AB＝BD+DF，理由见解析．
【解答】解：AB＝BD+DF，理由如下：
∵BA＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC，
即∠DBF＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF＝DC，
∵BC＝BD+DC，AB＝BC，
∴AB＝BD+DF．
23．（5分）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DF⊥AC，垂足分别为E
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BDE与△CDF中，
∵，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形的等边三角形），
∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°；
又∵DE⊥AB（已知），
∴∠EDB＝30°，
在直角△BED中，BD＝2BE＝2（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝3BC＝12．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在BC上求作点E，使AD＝AE，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BD＝CE．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：如图，点E为所作；
（2）证明：过A点作AH⊥BC于H点，如图，
∵AD＝AE，
∴DH＝HE，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
∴BH﹣DH＝HC﹣HE，
即BD＝CE．
25．（6分）在“抗疫”期间，为了弥补物质短缺的需求，国家投入人力和财力研制出新型口罩机．新型口罩机和原来口罩机每天一共生产150万个口罩，求新型口罩机每天生产的口罩数．
【答案】120万个．
【解答】解：设新型口罩机每天生产x万个口罩，则原来口罩机每天生产（150﹣x）万个口罩，
由题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，
答：新型口罩机每天生产120万个口罩．
26．（7分）已知：P＝x+1，Q＝．
（1）当x＞0时，判断P﹣Q与0的大小关系，并说明理由；
（2）设y＝﹣，若x是整数，求y的整数值．
【答案】（1）P﹣Q≥0．
（2）﹣7，﹣3，﹣1，3．
【解答】解：（1）P≥Q，理由如下：
P﹣Q＝x+1﹣＝﹣
＝
＝．
∵x＞0，
∴x+6＞0，（x﹣1）4≥0．
∴P﹣Q≥0．
（2）y＝﹣＝＝
＝﹣2+．
∵x，y是整数，
∴x+1是7的因数．
∴x+1＝±1，±2
∴y＝﹣2+5＝4
或y＝﹣2+（﹣5）＝﹣4
或y＝﹣2+1＝﹣8
或y＝﹣2+（﹣1）＝﹣6．
∴y的整数值为：﹣7，﹣3，7．
27．（7分）在探究三角形内角和等于180°的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：
（1）小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明
证明过程．
证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M
∵BN∥AC
∴∠NBM＝∠A（ 两直线平行，同位角相等； ）
∠CBN＝∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义）
∴∠CBA+∠A+∠C＝180（等量代换）
（2）小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平
角中去，只不过平角的顶点放到了AB边上，如图所示：
请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．
（3）小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试
小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M，
∵BN∥AC，
∴∠NBM＝∠A（两直线平行，同位角相等），
∠CBN＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义），
∴∠CBA+∠A+∠C＝180（等量代换）．
故答案为：两直线平行，同位角相等，内错角相等；
（2）证明：过点O作ON∥AC，交BC于点D，
∵ON∥AC，
∴∠NOB＝∠A，∠ODB＝∠C，
∵OM∥BC，
∴∠MOA＝∠B，∠MON＝∠ODB，
∵∠AOM+∠MON+∠NOB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180．
（3）小兰第三次成功的关键：将△ABC沿点C所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为H，
确定折痕MN，将△MAH沿点M所在的垂直于AB的直线翻折，
将△NBH沿点N所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为F．
证明思路：∵△CMN翻折得到△HMN，
∴CH⊥AB，△CMN≌△HMN，
∴MN∥AB，∠CMN＝∠A，CD＝ME，
∴△CMD≌△MAE（AAS），
∴CM＝MA＝MH，
同理CN＝NB＝NH，
∴△MAE≌△MHE，△NBF≌NHF，
∵∠MHN+∠MHE+∠NHB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180．
28．（7分）如图1，在正方形ABCD中，AD＝9（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC
初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC ＝ PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？
甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；
乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA
理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系
拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．
（1）当＝时，如图3，直接写出△APE的面积为 ；
（2）直接写出△APE面积S的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：初步感知：当点P与点O重合时，则点E与B重合，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵点O是BD的中点，
∴OC＝OB＝BD，
∴PC＝PE，
故答案为：＝；
理想感悟：PC＝PE，理由如下：
如图8，过点P作GH⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ABD＝45°，
∵GH⊥AB，
∴GH⊥CD，
∴∠EGP＝∠PHC＝90°，
∴∠GEP+∠GPE＝90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC＝90°，
∴∠GPE+∠CPH＝90°，
∴∠GEP＝∠CPH，
∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°，
∴△BGP是等腰直角三角形，
∴BG＝GP．
∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°，
∴四边形BGHC为矩形，
∴BG＝CH，
∴CH＝GP，
在△EGP和△PHC中，
，
∴△EGP≌△PHC（AAS）．
∴PC＝PE；
拓展应用：（1）如图3，过点P作GH⊥AB于G，
由理想感悟知：△EGP≌△PHC，
∴EG＝PH，
∵∠AGP＝∠PHD＝∠ADC＝90°，
∴四边形AGHD为矩形，
∴AG＝DH，
∵∠BDC＝45°，∠PHD＝90°，
∴△PHD是等腰直角三角形，
∴DH＝PH．
∵＝，
∴＝，
∵DC＝AB，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△DFP∽△BAP，
∴＝＝，
又∵GH＝AD＝9，
∴PH＝，PG＝，
∴EG＝DH＝PH＝，
∴AG＝DH＝，
∴AE＝AG+GE＝，
∴△APE的面积为：AE•PG＝××＝．
故答案为：．
（2）设PH＝x，则PG＝2﹣x，
由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，
则S＝AE•PG
＝×2x×（6﹣x）
＝﹣+，
∵0＜x＜4，
∴0＜S≤．