第17讲 全等模型-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第17讲全等模型、垂直平分线、角平分线
题组特训详解
选择题
1．如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，
∴，
故选D．
【反思】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
2．如图，已知，若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求得即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．
3．如图，已知，若，则的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【答案】C
【分析】在中，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得的度数.
【详解】中
（全等三角形对应角相等）
故选:C
【反思】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.
4．如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴．
可知不一定成立，
故选：D．
【反思】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边，还考查了等角对等边．
5．如图，是的平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】过作于点，根据角平分线性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过作于点，如图，
平分，，，
，
，
，
即，
解得．
故选：C．
【反思】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是（ ）A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解
【详解】小强通过测量得，，得出，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D
【反思】本题考查角平分线的判定，解题的关键是能够严谨的证明结论．
7．如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为12，，则线段的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5.5
【答案】A
【分析】过点D作于E，于F，根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质可得，即可．
【详解】解：过点D作于E，于F，
∵的面积为12，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选A．
【反思】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
8．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若的长为，的长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可得解．
【详解】解：∵是垂直平分线，
∴，
∴，故B正确．
故选择：B．
【反思】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．
9．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质易得，．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故选D．
【反思】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．
10．如图，，，的垂直平分线交于点D，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形内角和定理得出的度数，再由中垂线的知识得出为等腰直角三角形，可得出的度数，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，即可得出的度数．
【详解】解：根据题意，在中，，，
∴，
又的垂直平分线交于点D，
∴
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
【反思】本题主要考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形外角的性质．关键是掌握等腰三角形的性质．
11．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】可以以和为公共边分别画出个， 不可以，故可求结果．
【详解】解：如图：
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等，
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等，
可画出6个，
故答案选：C．
【反思】本题考查全等三角形的判定，三条对应边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
12．如图，在等腰直角三角形中，，，D是BC边上的一点，过点B作于E，过点C作交延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．5
【答案】A
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【反思】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
13．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度．
【详解】解：延长于交于点，
∵在正方形中，
∴，，，
∴，
∴，
∵为垂足，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选．
【反思】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据作图方法可用证明，即可证明．
【详解】解：由作图方法可知，
∴，
∴，
故选C．
【反思】本题主要考查了尺规作图——作与已知角相等的角，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
15．如有下列四个条件
① ② ③ ④任取三个作为条件，余下一个作为结论，最多可以构成正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】当①②③为条件，④为结论时，可利用证明推出④；当①②④为条件，③为结论时，可利用证明推出③．当①③④为条件，②为结论时，不能证明，不能推出②；当②③④为条件，①为结论时，不能证明，不能推出①．
【详解】解：当①②③为条件，④为结论时：
在和中，
，
∴，
∴；
当①②④为条件，③为结论时：
在和中，
，
∴，
∴；
当①③④为条件，②为结论时，不能证明，不能推出②；
当②③④为条件，①为结论时，不能证明，不能推出①；
综上可得：最多可以构成正确结论的个数为2个．
故选：B．
【反思】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
16．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、能绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知的长等于槽宽，那么判定的理由是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由是、的中点，可得，，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定．
【详解】解：是、的中点，
，，
在和中，
，
，
故选：B．
【反思】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、，，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
17．如图，已知点是的中点，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值判断A选项，根据题意，证明，即可判断B，C，D选项
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故A选项错误，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，，故D选项正确
∴，故B选项正确；
∴，故C选项正确；
故选：A．
【反思】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点P．交于点Q，分别以点P，Q为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部相交于点R，连接并延长交于点D，根据题干描述，添加一个条件，不能使的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图得到平分，为公共边，然后根据全等三角形的判断方法对各选项进行判断．
【详解】由作法得平分，
∴，
∵，
∴当时，则，根据“”可判断；
当，根据“”可判断；
当，根据“”可判断．
当，根据“”不能判断．
故选：D．
【反思】本题考查了作图-基本作图，看出图中的作图时是作角平分线是解题的关键．也考查了全等三角形的判定．
19．如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A．2B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：于点，于点，
，
在与中，
，
，
，，
，
故选：B．
【反思】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴，通过证明，求得的长度，即可求解．
【详解】解：过点作轴，如下图：
由题意可得：，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为
故选：D
【反思】此题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
二、解答题
21．如图，在中，于D，E为线段上一点，连接交于点F，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得垂直平分，从而得到是等腰三角形，进而得到，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【反思】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【反思】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
23．如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据等边对等角易得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】解：连接
∵，D是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【反思】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．如图，在中，为边上一点，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由三角形外角的性质及可得到，再结合图形并利用恒等变换可得到，最后利用即可得证．
【详解】证明：∵，
即，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
在和中，
，
∴．
【反思】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．
25．已知：如图，，，，垂足分别为，，，，，．求的长．
【答案】3
【分析】先证明，进而利用证明，从而得到，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【反思】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，根据条件证是解此题的关键．
过关检测详细解析
一．选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则，
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据全等的定义和性质判断即可．
【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；
②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；
③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；
④若，则，，故④错误；
故正确的有1个．
故选：A
【反思】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．
2．如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中由三角形内角和可求出，由全等三角形对应角相等可得结果．
【详解】解∶在中，，
∵
∴
又∵，
∴
故选A．
【反思】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
3．已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：
①如图1．沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m．
②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n．
线段的长度用含m，n的代数式可表示为（ ）
A．B．C．mD．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，再由的周长为m，可得，再由折叠的性质可得，从而得到，再由的周长为n，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵沿着的平分线翻折，得到，
∴，
∴，
∵的周长为m，
∴，
即，
∵沿着的垂直平分线翻折，得到，
∴，
∴，
∵的周长为n，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴．
故选：A
【反思】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，全等三角形的性质是解题的关键．
4．如图，若中，其中，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，故B、C、D正确，
不能得出，故A不正确，
故选：A．
【反思】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【反思】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键．
6．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵为的平分线，，，
∴，
∴，
即，
解得,
故选：A．
【反思】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，那么的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】连接，过点I作于M，于N，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解．
【详解】解：连接，过点I作于M，于N，
∵点I为各内角平分线的交点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，故A正确．
故选：A．
【反思】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键．
8．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处B．二处C．三处D．四处
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
【反思】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．
9．到三个顶点距离相等的点是的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【反思】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若的长为，的长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可得解．
【详解】解：∵是垂直平分线，
∴，
∴，故B正确．
故选择：B．
【反思】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．
11．如图，中，由，，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由作法知，可判断A；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断B；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断C；由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断D．
【详解】解：A、由作法知作图是线段的垂直平分线，
∴，即，
∵中，由，，
∴，
∴，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
B、由作法知所作图是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，
故此选项符合题意；
C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【反思】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
12．如图，我们都知道长方形的对边相等并且每个角都是直角，小微做折纸游戏，她将长方形纸片折叠，使点B落在边上，压平后得到折痕，下列结论正确的有（ ）个．
①连接，则线段被所在直线垂直平分；
②E点一定是中点；
③；
④；
⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】如图所示，连接，证明M、N都在线段的垂直平分线上，即可判断①；根据折叠的性质得到，再根据长方形的性质得到，由此即可判断③④⑤；根据现有条件无法证明②．
【详解】解：如图所示，连接，
由折叠的性质可知，
∴M、N都在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线，故①正确；
由折叠的性质可知，
由长方形的性质可知，
∴，故③，④正确；
∴，故⑤正确；
根据现有条件无法证明E点是中点，故②错误；
∴正确的一共有4个，
故选C．
【反思】本题主要考查了折叠的性质，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且的周长是20，则线段的长为（ ）
A．40B．20C．15D．10
【答案】B
【分析】由线段的垂直平分线的性质得到，，结合三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长是20
∴
∴，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，相等线段的转化，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长分别是15，9，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据三角形周长公式推出即可得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长分别是15，9，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【反思】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
15．如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由菱形的性质可得，，，，由线段垂直平分线的性质可得，可求，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形是菱形，，
，，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故选：．
【反思】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
16．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结，若已知，则的长是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知是线段的垂直平分线可知，点是中点，又根据直角三角形的中线性质可得到的长．
【详解】解：根据题意可知：是线段的垂直平分线
∴点是线段的中点
∵，
∴
故选：
【反思】本题考查了垂直平分线的作法，直角三角形中线的性质，明确垂直平分线的作法是解题的关键．
17．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在上找一点P使得，必须使得，即作的垂直平分线．
【详解】根据题意可得要使得，即作的垂直平分线，
结合选项可知D选项作的是的垂直平分线，
故选：D．
【反思】本题主要考查了对垂直平分线性质的考查以及尺规作图，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确理解题意是解题的关键．
18．如图，在直角中，，的垂直平分线交于D，交于E，且平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，根据角平分线的定义，得出，即可得出，最后根据直角三角形两锐角互余得出，即可得出答案．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【反思】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19．如图，在中，，分别以、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点、，连接，与、分别相交于点、，连接，当，时，周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根据勾股定理可求出的长，周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，可求出，由此即可求解．
【详解】解： ∵在中，，，，
∴，
∵周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴周长为，
故选：．
【反思】本题主要考查直角三角形，垂直平行线的综合，掌握直角三角形的勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
20．数学课上有这样一道作图问题：如图1，P，Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一点R，使的周长最小．小明的作法如图2：
（1）作点Q关于直线l的对称点；
（2）连结交直线l于点R；
（3）连结，那么点R就是使的周长最小的点．
小明的作法运用了我们学过的定理，在下列四个定理中，小明没有运用到的是（ ）
A．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
B．等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．两点之间，线段最短
【答案】B
【分析】利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，直线l垂直平分线段，
∴，
∴的周长，
根据两点之间线段最短得：此时的周长最小，
故选项A，C，D不符合题意，
故选：B．
【反思】本题考查轴对称最短问题，两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
21．如图，，若，，，则的度数为______°．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据全等的性质求出的度数，最后由角的和差即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
【反思】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
22．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为__________．
【答案】4
【分析】设，正方形的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：正方形的边长为2，则，
设，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【反思】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，已知的周长是，分别平分和，于D，且，的面积是______．
【答案】##38平方厘米
【分析】过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案．
【详解】解：过O作于E，于F，连接，
∵分别平分和，于D，
∴，
即，
∴的面积是：
，
故答案为：．
【反思】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．如图，，点是的平分线上一点，交于点，于点，若，则______________．
【答案】
【分析】根据角平分线可知，根据，可知，可得等腰三角形，过点作于，可得矩形，在中，根据特殊角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点是的平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，且，
∴，
如图所示，过点作于，
∵，，
∴，
∴，且，
∴四边形是矩形，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【反思】本题主要考查角平分线，特殊四边形，特殊角的直角三角形的综合，掌握角平分线的性质，矩形的性质，特殊角的直角三角形中所对直角边是斜边的一半是解题的关键．
25．如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是___________°．
【答案】20
【分析】先求出垂直平分，再利用等腰三角形三线合一求出，最后利用三角形内角和定理与等边对等角求解即可．
【详解】解：由作图可知，F点到点E和点C的距离相等，
∴F点在的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【反思】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，等腰三角形三线合一，等边对等角与三角形内角和定理等知识，解题关键是读懂题意，正确进行角的转化．
三、解答题
26．如图，在和中，，，，延长，交于点M．
(1)求证：点A在的平分线上；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的性质即可解决问题；
（2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
在和中，，，，
∴，
，
，，
平分，
点在的平分线上；
（2）解：∵，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
．
．
【反思】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，勾股定理，解决本题的关键是得到．
27．如图，点在线段上，，，，平分．
(1)证明：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可求得的长，，再根据三角形的面积公式即可求得的面积．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
又∵平分，
∴，，
∴垂直平分，
∵，，
∴，
∴
【反思】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，找到证明的条件是正确解答本题的关键．
28．已知：如图，，为对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】证明，得出，，进而得出，则，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【反思】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
29．如图，为等边三角形，，，相交于点，于，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
，
；
（2），
，
，
又，
．
，
．
．
【反思】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，证明是解题的关键．
30．如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）根据平分，得到，再根据垂直平分，得到，，从而得到，故，，从而证明四边形是平行四边形，再根据证明四边形是菱形；
（2）过点作，由（1）知，，得到，分别解，求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于H，
由（1）知，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【反思】此题主要考查菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
已知：如图，点P在上，于点D，于点E，且．
求证：是的平分线．
证明：通过测量可得，．
∴．
∴是的平分线．