第18讲 等腰三角形-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第18讲等腰三角形
核心考点1：等腰三角形
等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
3．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
核心考点2：等边三角形
1．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三角形是解决一切平面几何问题的基础，而等腰三角形、等边三角形是三种特殊的三角形，更是中考数学中的重中之重，对于特殊三角形的概念、性质、判定方法要熟练掌握。对于涉及这种特殊三角形的常考题型更要常练。
1——利用等腰三角形性质求角度
1．如图，在△ABC中，，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论：①；②平分；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得到，，推出即可判断②；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判断①；利用相似三角形的性质得到，再证明，即可判断③．
【详解】解：∵将△ABC以点为旋转中心逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
【反思】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．
2——利用等腰三角形“三线合一”求长度
2．如图，在△ABC中，于点D，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【反思】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
3．如图，在矩形中，，，点为的中点，将△ABE沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过作于，根据折叠可知是等腰三角形，可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过作于，
∵将沿折叠，使点落在矩形内点处，点为的中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是中点，平分，且平分，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据题意，矩形中，，，点为的中点，即，
∴在中，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【反思】本题中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的综合，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理可计算出、的长，根据等面积法可计算出的长，再由翻折的性质可得，在中，可计算出的长，即可得到的长，再在中应用等面积法即可得到答案．
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
在中，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
∴，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
∴，，
设点到的距离为，
∵，
∴，
解得：，
∴点到的距离为2．
故选：C
【反思】本题主要考查的等腰三角形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识点，熟练掌握相关只是说是解题的关键．
3——利用等边三角形的性质求角
5．如图，直线，等边△ABC的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作，可得，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【反思】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是．
4——利用等腰三角形的性质解决“将军饮马”问题
6．如图，△ABC是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是 上的一个动点，当 最小时，的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得即可解决问题；
【详解】如图，连接，与交于点，此时 最小，
∵是等边三角形，是边上的高，
∴，
∴，
∴，
即的长度即为与和的最小值，
∵ 是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【反思】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
5——等腰三角形与圆的结合问题
7．已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到△OBD是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿着过点B的直线折叠，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长；
故选：C．
【反思】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
6——利用等边三角形性质计算线段长度问题
8．如图，等边△ABC内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】以点B为旋转中心把△BAE顺时针旋转至，可证是等边三角形，，利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】以点B为旋转中心把△BAE顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故选B．
【反思】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7——利用等腰三角形、等边三角形的性质与判定证明
9．如图，在△ABC中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【分析】（1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；
（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到是等边三角形然后根据已知条件计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
而
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【反思】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
10．如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，点D是的中点，，延长到E，使．
(1)求证：；
(2)求的长度．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）连接，过得到A作于点H，则，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，过得到A作于点H，
则，，
∵，
∴，
∴．
【反思】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握等腰三角形的性质．
11．如图1，和△ECD都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在△ECD的斜边上．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，点F是的中点，求的长．
【分析】（1）连接，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（2）过点C作于H，根据（1）中的结论可求，从而求出，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，
，，，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，如图2所示：
∵，，，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴．
【反思】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形，证明△ECA≌△DCB，是解答本题的关键．
——学习数学要抓住核心！
数学的内容越学越多，感觉也越来越乱，这是很多同学对数学的第一印象。怎样才能学好数学，这也是所有同学最关心的问题，其实要学好数学，就一个关键——抓住问题的核心。
平面几何的核心就是特殊三角形——等腰三角形、直角三角形！
秘籍十三：抓住问题的核心！
一、选择题
1．如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．已知边长为4的等边，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
3．如图，等腰内接于，点D是圆中优孤上一点，连接，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，若，内有一个定点P，点A，B分别在射线上移动，当周长最小时，则的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
5．如图，等腰中，，，是边的中点，于点，延长至点，使，则的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
6．如图，在中，，边BC在x轴上，且点，点，则的面积为（ ）
A．10B．12C．20D．26
7．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将长方形沿折叠，B，C分别落在点H，G的位置，与交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
11．如图，在矩形中，，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A．B．1C．D．
12．如图，中，，BD平分交AC于G，∥交的外角平分线于M，交、于F、E，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点G，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、解答题
16．如图，是等腰三角形，，，分别在的右侧，的左侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点．
(1)求证：；
(2)作射线交于点，交射线于点．
①补全图形，当时，求的度数；
②当的度数在给定范围内发生变化时，的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请给出的度数的范围．
17．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求长．
18．在中，，点O是的中点，点P是上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线的垂线，垂足分别为点E和点F，连接．
(1)如图1，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当时，请判断线段与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长．
19．如图，在中，，，E为边的中点，以为边作等边，连接，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，在边上找一点H，使得最小，并求出这个最小值．
20．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
一、选择题
1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（ ）
A．B．C．D．或
3．如图，四边形是的内接四边形，连接．若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，已知是等边三角形，，，点，分别是，边上的点，且．连接，若的周长是，则的边长是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知点分别是等边边的中点，，点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
8．如图，在等边中，，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接，将沿折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
9．点D是等边三角形的边上的一点，且，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，点E，F分别在和上，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，，．如果点M，N都以1cm/s的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A．B．C．或D．或
11．如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
12．如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
13．如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
14．如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
15．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．10B．20C．D．
二、解答题
16．在中，已知，，点P、D分别在上．
(1)如图1，若，则______°（直接写答案）
(2)如图1，在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
(3)如图2中，若，点P在上移动，且满足，于点E，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．
17．如图，中， ，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
(1)若的周长为21，求BC的长；
(2)若，求的度数．
18．已知，点为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图（1），，求证：；
(2)如图（2），点在内部，且，求证：；
(3)如图（3），点在内部，为上一点，连接，若，求证：．
19．在中，，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则的大小；
(2)当时，
①如图2，连接，的形状是 三角形；
②如图3，直线与交于点，满足．P为直线上一动点．说明P点在什么位置时，有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D关于直线的对称点）
20．如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，
(1)求点与之间的距离；
(2)求的度数．