第19讲 直角三角形-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第19讲直角三角形
题组特训详解
选择题
1．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．2B．4C．2D．2
【答案】C
【分析】连接，根据已知条件以及旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得是等边三角形，即可求解．
【详解】如图，连接
将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
，，
又，
是等边三角形，
旋转角，
，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
，
，
点与点B之间的距离为，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．
2．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A．2.5B．C．D．2
【答案】B
【分析】连接，如图，根据正方形的性质得，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，
∴，，
，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理,掌握正方形的性质是解题的关键．
3．如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明，得出，勾股定理得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴,
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵点为的中点，，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键．
4．如图，一架3m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ）
A．变大B．变小C．不变D．先变大后变小
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
【详解】解：，M为的中点，，
∴是的中线，
，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴的长度也不变，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．下面命题不正确的是（ ）
A．有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
B．如果三角形的较短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
C．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
D．如果三角形的三个内角之比是3:4:5，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根据直角三角形的判定方法，逐项判定即可．
【详解】解：A．有两个锐角互余的三角形是直角三角形，此命题正确，故A不符合题意；
B．如果三角形的较短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，此命题正确，故B不符合题意；
C．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，此命题正确，故C不符合题意；
D．如果三角形的三个内角之比是，则该三角形的三个内角分别为：，，，三个角都是锐角，因此这个三角形是锐角三角形，不是直角三角形，此命题错误，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，直角三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定．
6．如图，两条公路，恰好互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵公路，互相垂直，
∴，
∴是直角三角形，
∵公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，
∴，即M、C两点间的距离为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，F是边的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到，从而得到，
再根据直角三角形斜边中线定理得到，再根据等边对等角得到，最后求出即可．
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴，
∴，
∵，F是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，等边对等角，解题的关键是熟练运用和角有关的性质定理．
8．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，，
则：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
9．如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，证明求出，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（ ）
A．8B．12C．16D．
【答案】C
【分析】连接，的直径，则的半径为10，又已知，则可求出，再根据勾股定理和垂径定理即可求解．
【详解】如图：连接
的直径
的半径为10
又
在中
．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
11．如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵当时，的值最小，
此时：的面积为：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
12．如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由四边形为长方形可知，，从而得出，结合折叠的性质得出，进而得出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【详解】∵四边形为长方形，
∴，
∴．
由折叠的性质可知，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
13．如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时， 的长为（ ）
A．或B．4或C．或D．或
【答案】D
【分析】过点作于点M．由题意易证为等腰直角三角形，即得出，．设，则．在中，由勾股定理可得出关于x的等式，解出x的值，即为的长，进而即得出的长．
【详解】如图，过点作于点M．
∵点A的对应点恰落在的平分线上，且，
∴为等腰直角三角形，
∴可设，则．
又由折叠的性质知．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴或．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴或．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
二、填空题
14．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接，
由题意， ，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
15．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
16．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是______．
【答案】
【分析】将点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵，，，
∴当最小即可得到答案，
点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，如图所示，
根据勾股定理可得，
，
∴与周长和的最小值是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到最小距离位置．
18．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?如图，设折断处距离地面尺，根据题意，则可列方程：__________．
【答案】
【分析】根据勾股定理，建列方程即可求解．
【详解】解：设折断处离地面尺，
根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
三、解答题
19．下图是华师版九年级上册数学教材页的部分内容．
(1)请结合图1将证明过程补充完整．
(2)如图2，在中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，，点F为垂足，，则为_______度
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）延长至点，使，连接，，先证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
（2）连接，先证，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：证明：延长至点，使，连接，．
为斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
；
（2）如图，连接，
点是的中点，，
，
，
，
是的高，
，
是中线，
，
，
，
，
，
故答案为：26．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
20．如图，在中，分别是边上的高线，M是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，即可证明结论；
（2）根据三角内角和定理可得，根据，可得，进一步可得，求出的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数．
【详解】（1）证明：∵分别是边上的高线，
∴，
∵M是的中点，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
21．如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，点F是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（2）过点C作于H，根据（1）中的结论可求，从而求出，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，
，，，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，如图2所示：
∵，，，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形，证明，是解答本题的关键．
22．在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
(1)如图，当点和点重合时，求证：；
(2)如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图，连接，，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，得到，进而得到，根据折叠的性质，得到，从而得到，即可得证；
（2）利用矩形的性质，折叠的性质，易证，是直角三角形，在中利用勾股定理进行求解即可；
（3）作于，交于，易得四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠知：，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（3）如图，作于，交于，

，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，同时考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键．
23．如图，在正方形中，，M是对角线上的一个动点．连接，过点M作交于点N．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点N作于H，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点M作于F，作于G，根据正方形的性质可得，进而证明，即可证明；
（2）过点A作于F，可得，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得解．
【详解】（1）证明：过点M作于F，作于G，如图1所示：
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于F，如图2所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，在等腰直角中
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中作，使．
(2)在图②中作，使．
(3)在图③中作，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于，因此作一个以B为直角顶点或以C为直角顶点的等腰直角三角形即可；
（2）由于，因此作一个以D为直角顶点的直角三角形，其中，；
（3）由于，因此作一个以E为直角顶点的直角三角形，其中，．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形．
或
（2）解：如图，为所求作的三角形．
（3）解：如图，为所求作的三角形．
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义，网格中作垂线的方法．
25．已知和都是等腰直角三角形，，，．
(1)如图1，连接，，请直接写出线段与的数最关系和位置关系；
(2)若将绕点顺时针旋转，
①如图2，当点恰好在边上时，求证：
②当点，，三点在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)；；
(2)①见解析；②或
【分析】（1）通过证明，得出，，在根据三角形外角的性质可证；
（2）①连接，由可证，再两次运用勾股定理可得出结论；
②根据点、、的位置关系，分两种情况考虑，将转化为求的长即可．
【详解】（1）解： ，；
，
，
在和中，
，
，
，，
如图所示，设交于点，交于点，
，
，
；
（2）①证明：如图，连接，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
在中，
，，
，
在中，
，
，
又，，
；
②如图，设交于点，过作于点，
，
，，
，
，
，，，
，，
，
如图，
同理可得：，则，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
过关检测详细解析
一．选择题
1．如图，在中，过点作交延长线于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．如图，在中，，，则当时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，
，
∵，
∴，
解得：或（舍去），故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题关键．
3．如图，菱形中，对角线、交于点O，E为边中点，，，则的长等于（ ）
A．5B．C．6D．3
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可知，再利用勾股定理求出，根据斜边的性中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵E为边中点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及斜边的中线等于斜边的一边等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
4．如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ）
A．5B．C．6D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵，AD是角平分线，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵点E为中点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
5．如图，，在直角三角形中，，顶点A，B分别在边上，当B在边上运动时，点A随之在边上运动，直角三角形的形状保持不变，其中．运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解．
【详解】解：如图，取的中点，连接、、，
，，
，
又∵在直角三角形中，，，
∴，
，
∴，
当、、三点共线时，点到点的距离最大，的最大值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．
6．如图，在中，，，，D为BC边上一个动点，过点D作于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】连接，取的中点O，连接，可得，从而得，，再求出的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接，取的中点O，连接，
∵中，，，
∴，
∵，
∴分别是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即当最小时，的值最小，
∵当时，最小，此时，是等腰直角三角形，，
∴最小值，
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为的等腰三角形，是解题的关键．
7．如图1，在中，，，点D从点A出发沿线段向终点B运动，过点D作，交的直角边于点E，的面积y与线段的长x之间的函数图象如图2所示，当的面积为1时，线段的长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】当E在上时，由，，，可得是等腰直角三角形，而的面积为1，即可得，当E在上时，由图2知最大面积为2，可得，设的面积为1时，有，即可解得．
【详解】解：当E在上时，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴；
当E在上时，
由图2知最大面积为2，此时E与C重合，
∴面积为4，
∴，
∴，
∴，
设的面积为1时，，则，
∴，
解得或，
∵当E在上，，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是读懂题意，分类讨论．
8．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求得边长，等面积法求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴,，
在中，,
∵，
∴
在中，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
9．如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点M，若，，则的长为（ ）
A．B．8C．6D．
【答案】B
【分析】过点M作于点N，由折叠得，，，再由可证得，可得，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点M作于点N，
由折叠可得：，，，
∵四边形为矩形，
，
，
又，
，，
在和中，
，
．
，
设，则，
在中，由勾股定理有：，
即，
解得：．
故．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并在中运用勾股定理建立方程求解是解答此题的关键．
10．如图1， 中，∠，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形滚动规律得出每次一循环，由已知可得三角形周长为，进而可得滚动次后，点的横坐标．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴
的周长为，
根据题意可得，每滚动次，点的横坐标增加，
，
滚动次后，点的横坐标增加了)，
滚动次后，点的横坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键．
11．如图，中，，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，连接交于点F，则以下结论，其中正确结论是（ ）
①；②；③；④与的面积比是：
A．①②③B．②③C．③④D．②③④
【答案】B
【分析】由角所对的直角边等于斜边的一半可判断①错误；运用勾股定理求出即可判断②；证明证明垂直平分线段即可判断③；分别计算出两个三角形的面积即可判断④
【详解】解：如图，设．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
中，，，
∴，
∵是钝角，
∴，
∴，故①错误，
中，，，
∴，故②正确，
∵平分，
∴，
又
∴
∴，
∵
∴垂直平分线段，故③正确，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形30度角的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
二、填空题
12．如图，在中，于点，是边的中点，，交于点若，，则的长为_______________
【答案】
【分析】过点作于点，证明，得出，进而勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵是边的中点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．如图，在中，，点E，F分别是边和上的点，点A关于的对称点D恰好落在边上，当是直角三角形时，的长是 _____．
【答案】3
【分析】由点A关于的对称点D恰好落在边上和可得，设，根据，可得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点A关于的对称点D恰好落在边上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴＝，即，
解得，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．如图，将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】过作轴于C，由旋转的性质得，得到，求得的长度即可．
【详解】解：过作轴于C，由旋转的性质得，
∵，，顶点A的坐标为，
∴，，
∴，， ，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
15．如图，先将矩形纸片沿其对角线折叠，再沿着的垂直平分线继续折叠，使点B与点C重合．若，则折痕的长为__________．
【答案】
【分析】设交于点N，交于点M，由折叠的性质可得，，，再由矩形的性质可得，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，再证明，可得，再证明，可得，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点N，交于点M，
由折叠的性质得：，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
即，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形和折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形和折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是_____________．
【答案】
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
三、解答题
17．如图，O是直线上一点，，过点A作于点C，过点B作于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，可得，可得，结合，，即可得到，即可得到证明；
（2）根据勾股定理求出，由可得， 即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据角的关系得到相似的条件．
18．如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可解决问题．
【详解】证明： ，
．
∵点E、F分别是、的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键．
19．如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)求的度数．
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴在中，由勾股定理，得
；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵是等腰直角三角形；
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
20．【基础巩固】
（1）如图1，点E在线段上，，．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，，若E是的中点，，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，，，E是的中点，，，求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先求出，再根据证明；
（2）延长线段，交的延长线于点F，先证，得，得，再，即可得答案；
（3）过点C作，交的延长线于点F，连接，过点D作，交交的延长线于点M，先证，得，由，得，根据直角三角形的性质，得，再根据勾股定理得，最后证，即可得答案．
【详解】解：（1），
，
，
在和中，
；
（2）如下图，延长线段，交的延长线于点F，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）过点C作，交的延长线于点F，连接，过点D作，交的延长线于点M，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线．
21．如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点C重合，点D在ABC内部，与交于点M，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)当点A、D、E三点在同一直线上时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质，可证明；
（2）先根据勾股定理计算，证明，可得答案；
（3）A、D、E三点在同一直线上又分两种情况，即点D在A、E两点之间或在射线上，作辅助线，构建直角三角形，根据勾股定理列方程即可求出的长．
【详解】（1）证明：在等腰直角与正方形中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，当点E在的延长线上时，过点C作于点P，
∴，
∵
∴，
∴，
如图3，当点E在上时，过点C作于点Q，
则，
∵
∴，
∴，
综上，的长为．
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解第（3）题时要分类讨论，以免丢解．
22．如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为300米，与公路上另一停靠点B的距离为400米，且，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内受会有危险．请通过计算判断在公路上行驶时是否会遇到危险？若无，请说明理由，若有危险请求出危险路段的长度．
【答案】在公路上行驶时会遇到危险，需要封锁的公路长为140米
【分析】过C作于D．根据米，米，，利用根据勾股定理有米．利用得到米．再根据240米＜250米可以判断有危险，最后根据勾股定理求出封锁路段的长度即可．
【详解】解：在公路上行驶时会遇到危险．
理由如下：如图，过C作于D．
∵米，米，，
根据勾股定理得（米）．
∴，
∴（米）．
由于240米米，故有危险，
故在公路上行驶时会遇到危险；
如图，设为需要封锁的公路，
∵爆破点C周围半径250米范围内不得进入，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴米，
故需要封锁的公路长为140米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
23．如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，．
【分析】（1）过点作，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论；
（2）由勾股定理得，利用“”证明，得到，进而得到，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于点，
是的切线，
，
平分，，，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质与全等的判定和性质是解题关键．
24．如图，中，，，，点D是斜边的中点．动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，当点Q到达C点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，以C，D，P，Q四点构成的四边形面积为S
(1)填空：____________；
(2)求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）由题意易得，，然后根据题意可分①当时，过点P作于点E，②当时，过点C、D分别作，，垂足分别为H、F；进而根据面积法可进行求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为10；
（2）解：∵，，，
∴，
∵点D是斜边的中点，
∴，，
当时，过点P作于点E，如图所示：
由题意得：，，
∴，
∴，
∴；
当时，过点C、D分别作，，垂足分别为H、F，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：S与t之间的函数关系式为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及勾股定理是解题的关键．
25．问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这个问题时，先建立一个正方形的网格（每个网格的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借助网格就能直接计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上： ．
(2)我们将上速求三角形的面积的方法叫构图法，若三边长分别为，，．在图2中画出，并求出它的面积．
(3)如图3，已知有一，分别以为边向外作正方形、正方形，连接．若PQ=，PR=，，求六边形的面积．
【答案】(1)3
(2)图见解析，9.5
(3)图见解析，19
【分析】（1）利用所在矩形面积减去周围三角形面积，即可得答案；
（2）根据勾股定理画出图形，利用所在矩形面积减去周围三角形面积，即可得答案；
（3）根据勾股定理画出图形，利用六边形所在矩形面积减去周围三角形面积，即可得答案．
【详解】（1）解：，
的面积是3，
故答案为：3；
（2）如下图，
，
的面积是9.5；
（3）如下图，
，
六边形的面积是19．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形，三角形面积的求法，解题的关键是根据题意画出图形．
性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半
给出上述性质证明中的部分演绎推理的过程如下：
已知：如图①，在中，，CD为斜边AB上的中线．
求证：
证明：如图②，延长CD至点E，使，连接AE，BE．