第23讲 锐角三角函数-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第23讲锐角三角函数
核心考点1：锐角三角函数的定义
1、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：csA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
核心考点2：特殊角的三角函数值
核心考点3：解直角三角形
1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=csB=，csA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cs2A=1．
3）科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
核心考点4：解直角三角形的应用:
1.．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
三角函数不仅是非常重要的一块内容，更是一种重要的解题方法，主要题型有三大种，其一是求某个角的某个三角函数；其二是利用三角函数求线段长；其三是三角函数的应用。
1——求某角的三角函数
1．如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案．
【详解】解：延长到点D，连接，如图：
，，
，
，
故选A．
【反思】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
2．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正切函数的定义，即在直角三角形中，一个角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值，即可求解．
【详解】解：由图可知：，
故选：C．
【反思】本题考查了正切函数的定义，熟练掌握和运用正切函数的定义是解决本题的关键．
2——利用三角函数求线段长度
3．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】在中，，又由，代入可求得．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
故选：A．
【反思】此题主要考查锐角三角函数在直角三角形中的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
3——特殊角的三角函数
4．在中，若， ，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．
【详解】解：∵， ，
∴，，
∴，
∴是钝角三角形，
故选：C．
【反思】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键．
5．若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故选：D．
【反思】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
4——三角函数与函数、几何的综合
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，边在x轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，反比例函数的图像与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点C作轴于点E，根据点C的坐标，求出，根据菱形性质求出，，解直角三角形求出，得出点D的坐标为：，代入函数关系式，即可求出k的值．
【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示：
∵顶点C的坐标为，
∴，，
∵
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴点D的坐标为：，
∵反比例函数的图象与菱形对角线交于点D，
∴，故C正确．
故选：C．
【反思】本题主要考查了解直角三角形，求反比例函数解析式，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线，求出点．
5——三角函数的实际应用
7．长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如茶，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏．如图郡郡同学为测量展示屏的高度，他站在距离办公楼底部E处12米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得办公楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上），然后，郡郡沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，在F处又测得宜传牌顶部A的仰角为．
(1)求点F距离水平地面的高度和它距窗户D的距离；（保留根号）
(2)求数字显示屏的高度（结果精确到0．1米，）
【分析】（1）如图所示，过点F作交延长线于G，则四边形是矩形，则，解得到，再解求出，则；
（2）先解在中，得到，则，再解，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴点F距离水平地面的高度为，它距窗户D的距离为；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴数字显示屏的高度为．
【反思】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
——从不同角度思考问题，你会有不同收获
在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更大。
秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获
一、选择题
1．如图，在边长为1的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在正方形网格（小正方形的边长均为）中， 的顶点均在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在网格中，点，，都在格点上，则的正弦值是（ ）
A．B．C．D．2
5．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，过三点的圆交于点，则的正切值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，平分，且，点为上任意一点，于，，交于，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且，，分别经过点A，B，C，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（ ）
A． B．C．D．
11．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
13．如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB＋PC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，csA＝，点D是AB边的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE＝∠A，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
15．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，一次函数的图象与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．若，，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
17．在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为( )
A．直角三角形B．等边三角形
C．含60°的任意三角形D．是底角为30°的等腰三角形
18．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， csB＝，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
二、填空题
19．如图，在中，，以点B为圆心、为半径作弧交射线于点D，若，，则的值为__________．
20．如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是______．
21．如图，等腰内接于，已知，，是的直径，如果，则_____________．
22．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
23．如图，在矩形中，点E在边上，将沿折叠后点B的对应点落在对角线上的点F处．若， ，则的长是____．
24．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 _____．
25．如图，点，，，分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，连接交于点，设，若，则的值为________．
三、解答题
26．某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东方向上，点B在点Q的北偏东方向上，米，米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中，）
27．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）
(1)求的长；
(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.
28．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长6米，长2米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．如图②，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长；
29．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
30．某广场举行无人机表演，如图，点处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面的距离为．此时，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的仰角为．点均在同一平面内，求两架无人机之间的距离的长．（结果保留根号）
一、选择题
1．如图，在中，，D是的中点，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
3．如图，若将绕点O按顺时针方向旋转50°后，得到，且，则OA的长为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．10
5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点H，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
8．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为（ ）
A．2B．C．D．
9．如图，点A是反比例函数图像上一动点，连接AO并延长交图像另一支于点B．又C为第一象限内的点，且，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动．则∠CAB的正切值为（ ）
A．2B．4C．D．
10．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为( )
A．B．C．D．
11．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长是（ ）
A．6B．5C．4D．
12．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．2
二、解答题
13．计算
14．计算：
15．计算：
16．计算：
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．计算：
21．图1是某简易座椅，图2是其侧面示意图，固定点O为椅腿和的中点，靠背的一端固定在上的点E处，将绕点E顺时针旋转180°后与重合，此时靠背收拢．已知，，．
(1)求坐垫的长．
(2)在收拢靠背的过程中，求点F到点C距离的最小值．（结果精确到；参考数据：，，，，）
22．某居民楼紧挨一座山坡，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知，斜坡的坡角，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡与地面成45°角，米．求斜坡的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：，）
23．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．
(1)求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；
(2)渔船在P处发生故障，在原地等待救援．一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（取材料的时间忽略不计），再沿射线方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线方向前往P点，已知A，P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西方向．请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据：，，）
24．应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所．
问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？
方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶的仰角为，沿向前走了至点处（三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶的仰角为．
问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
25．圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为37°，夏至正午太阳高度角（即）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．求表的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°