苏科版初中数学八年级上册第二单元《轴对称图形》单元测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学八年级上册第二单元《轴对称图形》单元测试卷

考试范围：第二章  考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个数字图形，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.在中，，为上一动点，若，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图是正方形网络，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，使黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用个这样的图形图拼出来的图形的总长度是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.如图所示，在中，，平分，交于点，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是
(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：；；平分；；，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，在和中，，，，连接，交于点，连接下列结论：
，，平分，平分其中正确的结论个数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

11.如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：；；；正确结论是(    )

A.  B.  C.  D.

12.如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，在中，，，为边上的一个动点不与、重合，连接，则的最小值是        ．

14.如图，与关于直线对称，则的度数为        ．

15.如图，中，，，，平分交于点，为上一动点点不与重合，关于直线对称图形为，若点落在的边上，则的长为______ ．

16.三条公路两两相交于、、三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有______处．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，在中，高线将分成和的两个小角．请你判断一下是轴对称图形吗？并说明你的理由．

18.本小题分
如图，四边形为长方形的台球桌面，现有一白球和一彩球，在图中的边上找一点，当击打白球时，使白球碰撞台边上的点，反弹后能击中彩球．


 

19.本小题分

如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出向下平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴对称的．

20.本小题分

已知，如图，在中，是 的 平分线，且，过点作的垂线，交的延长线于点以直线为对称轴作点的对称点，连接．

依题意补全图形；

直接写出与的位置关系；

用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

21.本小题分

如图，在中，，为上一个动点．

已知，求证：．

下面是两位同学分享的思路：

小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．

小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．

请你选择一种思路，完成证明

已知，，请直接写出的大小用含式子表示．

22.本小题分
在正方形网格中有三个点．
在图甲中找到格点，使得以、、、四点组成的凸四边形为轴对称图形；
在图乙中找到格点，使得以、、、四点组成的凸四边形不是轴对称图形且与全等．

 

23.本小题分

在中，是的平分线，、分别为、上的点，且，求证：．

24.本小题分

如图，是的平分线，，，垂足分别为、，若的面积为，，，求的长．

25.本小题分
如图，是等边三角形，点、分别在、上，，连接，交于点．

如图，求证：；
如图，作等边，连接，直接写出图中所有度的角．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解答．
本题考查了轴对称图形的概念，对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

2.【答案】 

【解析】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图：

，要使最小，只需最小，
，，
是等腰直角三角形，
，
最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度，
，，
，
，
，，
又，
，，
，
，
而，
，
，
的最小值是，
故选：．
，求的最小值属“胡不归”问题，以为顶点，为一边在下方作角即可得答案．
本题考查线段和的最小值，解题的关键是做角，将求的最小值转化为求垂线段的长．

3.【答案】 

【解析】解：长方形沿对折后两部分重合，，
，
长方形对边，
．
故选：．
根据翻折的性质可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：正五边形的内角为，
．
故选：．
根据正五边形的性质与轴对称的性质，列式求解即可．
本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到正五边形的内角度数是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】

此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有种画法．根据轴对称图形的概念求解．

【解答】

解：如图所示，有个位置使之成为轴对称图形．

故选C．

6.【答案】 

【解析】分析
本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
方法：用个这样的图形图的总长减去拼接时的重叠部分个，即可得到拼出来的图形的总长度．
方法：口朝上的有个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为，即可得出结论．
详解
解：方法：如图，由图可得，拼出来的图形的总长度
故答案为：．
方法：小明用个这样的图形图拼出来的图形
口朝上的有个，口朝下的有四个，
而口朝上的有个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为，
即：总长度为，
故选A．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，且，，
．
故选：．
由题意可得，再根据角平分线的性质即可得到结果．
本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线是解本题的关键．也考查了角平分线的性质．
利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】
解：由作法得平分，
又，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
正确．证明≌，推出，再证明≌，推出即可解决问题．
错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
错误，可以证明．
正确．由，利用等高模型解决问题即可．
【解答】
解：在中，，
，
又、分别平分、，
，
，故正确．
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
故正确．
≌，≌，
，，，
，
，
，
，
，故正确，
，故不正确．
若平分，则，
，
，
，
，这个显然与条件矛盾，故错误，
综上所述，正确的结论有，
故选D．

10.【答案】 

【解析】【分析】
     本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由证明≌得出，，正确；
由三角形的外角性质得：，得出，正确；
作于，于，则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；
假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，，
≌，
，，故正确；
由三角形的外角性质得：
，
得出，故正确；
作于，于，如图所示，

则，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
假设平分，则，
在与中，
≌，
，
，
，
而，故错误；
正确的个数有个；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，．
．
故选：．
根据已知条件可以得出，进而得出≌，就可以得出，就可以求出的值．
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．

13.【答案】 

【解析】解：以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，如图：

由作图可知：是等腰直角三角形，
，
，
取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，
，，
，
，，
的最小值是．
故答案为：．
以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．

14.【答案】 

【解析】解： 与关于直线  对称，
≌，
，，
．
故答案为：．
根据轴对称的性质可≌，再根据和的度数即可求出的度数．
本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键．

15.【答案】或或 

【解析】解：平分，，
，
，
，
，
由折叠的性质得，而是定长，
点在以点为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图，

，
于点，
；
当点在边上时，有两种情况，
当、在如图的、的位置时，作，
平分，
，
又，
≌，
，
，，
，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当、在如图的、的位置时与重合，
；
若在边上时，此时对应的点不在上，此情况不存在，
综上，的长为或或．
故答案为：或或．
判断得出点在以点为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含度角的直角三角形以及勾股定理求解即可．
本题考查了轴对称的性质，含度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．
【解答】
解：如图；

故答案为．

17.【答案】解：是轴对称图形．
，
，
，
是等腰三角形，
是轴对称图形． 

【解析】求出，可得出为等腰三角形，继而可判断是轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是判断出是等腰三角形．

18.【答案】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，将白球打到台边的点处，反弹后能击中彩球．
 

【解析】本题考查的是应用与设计图有关知识，找到球关于的对称点，连接，与交点即为台球的撞击点．

19.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．
 

【解析】利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．

20.【答案】画图见解析   

  ，证明见解析   

【解析】【分析】如图，延长  至  ，使  ，再连接  ，可得答案；

由作图可得：  ，而  ，可得  ，证明  ，结合  ，可得  ，可证明  ；

证明  ，可得  ，结合  ，可得  ，从而可得结论．

【小问详解】

解：如图，补全图形如下；

【小问详解】

 ，理由如下：

由作图可得：  ，而  ，

  ，

  ，

  是  的平分线，

  ，

  ，

  ．

【小问详解】

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ．

【点睛】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用角平分线，平行线，等腰三角形三者在图形中的关联关系是解本题的关键．

21.【答案】见解析

【解析】【分析】延长  到  ，使  ，连接  证得等腰  ，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；

延长  到，使  ，连接，证得等腰  和等腰  ，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．

【详解】证明：延长  到  ，使  ，连接  ．

  ，

  为线段  的中垂线，

  ，

  ．

在  中，  ．

又  ，

  ．

在  中，  ，

  ，

  ．

  ．

即  ．

解：延长  到，使  ，连接，

  ，

  为线段  的中垂线，

  ，

  ，

  ，

  ，

   ，

  ，

  ．

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．

22.【答案】解：如图所示：

如图所示：
 

【解析】画等腰梯形；
画▱即可．
本题考查了利用轴对称设计方案、全等三角形的判定、平行四边形的性质，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质和判定．

23.【答案】证明：如图，过点作于，作于，
是的平分线，
，
，
平角定义，
，
在和中，，
≌，
． 

【解析】过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

24.【答案】解：如图，是的平分线，，垂足为点，，垂足为，
．
，，，
，即，
解得． 

【解析】先根据角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

25.【答案】解：如图，是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，
，
，
，
，
，
故度的角有，，，． 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，根据推出≌，即可证得结论；
根据等边三角形的性质得出度的角即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．