山西省大同市浑源县示范中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份山西省大同市浑源县示范中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共11页。试卷主要包含了1~22，二次函数的对称轴为直线，一元二次方程根的情况为等内容，欢迎下载使用。
▶上册21.1~22.1◀
说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1.一元二次方程的解为（ ）
A.B.，
C.D.，
2.如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则与的函数关系式为（ ）
A.B.C.D.
3.将一元二次方程化为一般形式后，它的各项系数的和为（ ）
A.6B.4C.2D.-2
4.二次函数的对称轴为直线（ ）
A.B.C.D.
5.我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为.从而得到两个一元一次方程：或.进而得到原方程的解为，.这种解法体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想B.函数思想
C.公理化思想D.转化思想
6.一元二次方程根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断其根的情况
7.将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
8.如图，二次函数的图像在平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A.B.C.D.
9.已知，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A.B.2C.D.4
10.已知某二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
下面有四个结论：①该二次函数的图象经过点；
②当时，该二次函数有最大值为；
③若和都在该二次函数的图象上，则；
④将该二次函数图像向左平移个单位长度后得到函数图象的顶点在轴上.
其中正确的结论有（ ）
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.二次函数的图像与轴的交点坐标为______.
12.一元二次方程的较小根为______.
13.如图，已知抛物线经过点，，且轴，，则线段的长为______.
14.某校为改校园环境，加大对绿化的投入，2021年对绿化投入资金10万元，2023年对绿化投入资金14.4万元.现假定每年投入绿化资金的增长率相同，则该校投入绿化资金的年平均增长率为______.
15.若关于的方程有三个解，则实数的值是______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）解方程：.
（2）已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数表达式.
17.（本题7分）
关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围.
18.（本题9分）
如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮筐内.已知投篮运动员在投篮处到地面的距离米.以为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心的坐标为，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点.
（1）求抛物线的表达式.
（2）求点到所在直线的距离及点到地面的距离.
19.（本题9分）
太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件.临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时.，每天销售量增加4件.设该品牌衣服每件降价元.
（1）求每天的销售量（件）关于（元）的函数关系式.
（2）在销售单价不低于150.元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元.
20.（本题8分）
如图，已知抛物线经过点，，，是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）当时，求点的坐标.
21.（本题7分）阅读与思考
请阅读下列材料，完成后面的任务：
任务：（1）填空：下列方程的根是的是______，根是的是______.（填序号）
A.；B.；
C.；D..
（2）请参考小论文中性质1的证明过程，写出性质2的证明过程.
22.（本题12分）综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题.
例1：把代数式进行配方.
解：原式.
例2：求代数式的最大值.
解：原式，∵，∴
∴，∴的最大值为.
【问题解决】
（1）若，，满足，求的值.
（2）若等腰的三边长，，均为整数，且满足，求的周长.
（3）如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.已知实数，满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根.四边形的周长为，试求的面积.
23.（本题13分）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴相交于点，，与轴交于点.
（1）求抛物线及直线的函数表达式.
（2）如图2，是直线下方的抛物线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标.
（3）如图3，过点作于点，将线段所在的直线沿着轴平移，使得平移后的直线交轴于点，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
图1 图2图3
数学参考答案
1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9. A
10.C 提示：设二次函数的表达式为，则
∴
∴，
对于①，当时，，∴经过点，①不符合题意；
对于②，∵，∴当时，，②符合题意；
对于③，当时，，当时，.
∵，∴，③不符合题意；
对于④，将函数的图象向左平移个单位长度后得抛物线，∴顶点为在轴上，④符合题意.
∴符合题意的有2个.
11.12.13.214.20%
15.9 提示：①当时，，解得或；
②当时，方程无解；
③当时，或，
当时，，.
当时，，，
∵方程有三个解，∴，则，此时，
∴时，方程有三个解.
16.（1）解：
或
∴，
（2）解：∵抛物线的顶点是，∴可设抛物线的函数表达式为.
∵抛物线经过点，∴，解得
∴抛物线的函数表达式为
17.解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
解得且，
∴的取值范围为且.
18.解：（1）将，代入得
解得
∴抛物线的表达式为.
（2）易知为抛物线的顶点.∵，
∴点到轴的距离为2.5米，
∴点到所在直线的距离（米）.
当时，，
∴点到地面的距离为3.5米.
19.解：（1）根据题意得.
（2）∵销售单价不低于150元，∴.
根据题意得，
整理得，解得，（不合题意，舍去），
∴.
答：该品牌衣服的销售单价是185元时，商场每天获利13600元.
20.解：（1）∵抛物线经过原点，∴设抛物线的表达式为，
将点，代入得解得
∴抛物线的表达式为.
（2）对称轴为直线.
如图，过点作轴于点，抛物线的对称轴与轴交于点，设点的坐标为，
则，
∴，解得
∴点的坐标为.
21.解：（1）AB；CD.
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴，.
22.解：（1）∵，
∴，，∴.
（2）∵，∴
∴，∴，
∴，.
当为腰时，，，此时周长；
当为腰时，，，此时周长，
∴的周长为13或14.
（3）∵，
∴，∴
∵，∴，
∴的最小值为，
∴.∴，
∴
∵，
∴，∴，
∴，
∴，.
∵，∴，∴，
∴.
23.解：（1）将点，代入得
解得
∴抛物线的表达式为.
设直线的函数表达式为，
∵，，
∴解得
∴直线的表函数达式为.
（2）∵，，∴，∴，∴.
设点.
∵轴，∴.
∵点，在第三象限，
∴，
∴，解得，
∵，∴舍去，
∴，∴，
∴点的坐标为.
（3）存在，点的坐标为或.
提示：作出如图所示的图形，过点作轴于点，过点作轴于点.
∵，∴，∴，∴，
∴，
∵点在轴上，点在抛物线上，四边形为平行四边形，
∴，
∴，∵，，
∴
∴∵点在抛物线上，∴，
整理得，解得，
∴，.
综上所述，点的坐标为或.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
0
2
6
4
一元二次方程根的两个性质及其应用
我们知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系数决定的，即它的根与系数有着密切的关系，那么一元二次方程的根与系数有何关系？下面介绍一元二次方程的两个根与系数关系的另外两个性质（非根与系数的关系定理，即非韦达定理）：
性质1：在一元二次方程中，若（即各项的系数和为0），则一元二次方程的两个根分别是，.下面我们给出它的证明过程：
证明：∵，∴，∴，∴，.
性质2：在一元二次方程中，若，则一元二次方程的两个根分别是，.
证明：…….