浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题

这是一份浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，若，则的值为，在四棱锥中，底面是直角梯形，，等内容，欢迎下载使用。
高三年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条
C.充要条件件 D.既不充分又不必要条件
5.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.若，则的值为（ ）
A.-7 B.-14 C. D.
7.设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（ ）
A. B.
C. D.和大小不确定
8.在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大值时，长为（ ）
A. B.2 C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（ ）
A.服了药物后心率会马上恢复正常
B.服药后初期药物起效速度会加快
C.所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）
D.一天需服用该药1至2次
10.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（ ）
A.周期为 B.偶函数
C.在上单调递减 D.关于中心对称
11.已知函数，其导函数为，则（ ）
A.曲线在处的切线方程为
B.有极大值，也有极小值
C.使得恒成立的最小正整数为2021
D.有两个不同零点，且
12.已知是椭圆上不同的三点，记的面积分别为（为坐标原点）.若，则（ ）
A. B.
C. D.为定值
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数满足，则__________.
14.若的展开式中所有系数绝对值之和为81，则其常数项为__________.
15.已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为__________.
16.已知数列的首项为，且满足，其中为其前项和，若恒有，则的取值范围为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）设等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）记的内角所对的边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的周长.
19.（本题满分12分）某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天边机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含是百分比在之外的次数，求及的数学期望：
（2）一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（単位：%）检测得到的测量结果：
经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比.
（1）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（2）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.
附：若随机变量服从正态分布，则..
20.（本题满分12分）在正三棱台中，侧棱长为1，且为的中点，为上的点，且.
（1）证明：平面，并求出的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本题满分12分）设抛物线的焦点为是坐标原点，，过点的直线与抛物线交于两点，延长分别交抛物线于两点，分别是的中点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）求的最小值.
22.（本题满分12分）设函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围；
（3）设且，证明：.
2023学年第一学期浙南名校联盟第一次联考
高三年级数学学科参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15.5 16.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题：解得
所以；
（2）由（1）知，
则.
两式相减得：
即有
18.解：（1）由得：
则
则
则，
又，则
所以；
（2）由（1）得
所以
所以，
由，
，
则
19.解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之内的概率为0.9974，
所以，
又碳含量在之外的概率为0.0026，
故.
因此；
（2）由得的估计值为，
所以，
由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在之内，因此不
需对当天的生产过程进行检查.
若去掉，剩下的数据的标准差.
20.解：（1）由三棱台可知：延长交于点，
连接，延长交于，并连接，
易得三棱锥为正四面体，且，
所以平面，
所以，
又因为，
所以平面，所以，
在中，，
则，
所以；
（2）如图，以底面中心为坐标原点，以与平行的方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
取平面的法向量为，则
即为
得，
取平面的法向量为，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（2）方法2：如图，延长交于，连接，
作，连接，
由（1）得：，
所以面，
所以，
所以面，
所以，
所以即为平面与平面的夹角.
在中，，
在中，，
所以，
所以.
21.解：（1）由题：，设，
代入得，
则有
所以，
故
所以直线的斜率取值范围为；
（2）设，则
解得
同理，
所以，
所以点的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以的斜率，
记，取的方向向量分别为，
故，
所以当时，取到最小值为.
22.解：（1）由题：，
（i）当时，，函数在上单调递减；
（ii）当时，解为，且
，
所以函数有减区间为，增区间为；
（2）由（1）知当时，有减区间为，增区间为
由题可知：对任意，均有成立，
等价于恒成立，
令
则，得，且，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以；
所以当时，，
又，
所以的取值范围为；
（3）证明：两边取自然对数得，
，
因为
由（2）可知：，
取，代入上式得
所以，得证!次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量（%）
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
A
C
B
C
D
题号
9
10
11
12
答案
BCD
BD
ACD
BC