新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题1-1 集合与常用逻辑用语（含解析）

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专题1-1 集合与常用逻辑用语
目录
专题1-1 集合与常用逻辑用语 1
1
题型一：元素与集合 1
题型二：集合中元素的特征 5
题型三：集合的表示方法 6
题型四：集合间的基本关系 8
题型五：集合的基本运算 11
题型六：图应用 14
题型七：集合中的新定义题 17
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号） 18
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构 22
题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构 25
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数 27
31
一、单选题 31
二、多选题 36
三、填空题 38


题型一：元素与集合
【典型例题】
例题1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知集合，若，则的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，即，
则实数a的取值范围是，
故选:C.
例题2．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
【答案】或3.
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3
故答案为：或3.
【提分秘籍】
1、元素与集合的关系：属于（），不属于（）；
2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内.
【变式演练】
1．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D
2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：设等差数列的公差为，
由题设可知：，
解得：，，
，
，
令，则，
当时，，
当时，，
（1）（2）（3）（4），
又（1），（2），（3），（4），
集合中有2个元素，
即集合中有2个元素，
，．
故答案为：．
题型二：集合中元素的特征
【典型例题】
例题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知集合，则的元素个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：
所以，所以的元素个数为2.
故选：B.
【提分秘籍】
1、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；
2、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要讨论，或者检验.
【变式演练】
1．（2022·广东·揭西县河婆中学模拟预测）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（    ）
A．有可能 B．
C． D．
【答案】B
【详解】，，，
若，由集合中元素互异性知：，；
若，同理可知：，；
综上所述：.
故选：B.
题型三：集合的表示方法
【典型例题】
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合，则中元素的个数为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【详解】解：由椭圆的性质得，
又,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
例题2．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）设集合，试用列举法表示集合_________.
【答案】
【详解】解：因为，所以可取，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
故答案为：.
【提分秘籍】
1、集合的表示方法主要有列举法，描述法，图法；灵活
2、灵活选择合适的方法表示集合，如列举法，注意不重复，不遗漏；描述法注意书写规范，认清一般元素代表.
【变式演练】
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】,
则,
故选：A
2．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
,
故选：C
题型四：集合间的基本关系
【典型例题】
例题1．（2022·重庆十八中高一阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ）
A．32 B．64 C．80 D．192
【答案】D
【详解】集合的所有非空子集的交替和的总和为，
集合的所有非空子集的交替和的总和为，
集合的所有非空子集的交替和的总和为，
集合的所有非空子集的交替和的总和为 ，
由此猜测集合的所有非空子集的交替和的总和为，
证明如下：将集合中所有的子集分为两类：第一类，集合中无，第二类，集合中有这个元素，每类中集合的个数为
我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：
第一类中集合对应着第二类中集合，
此时这两个集合的交替和为，
故集合的所有非空子集的交替和的总和为，
所以．
故选：D．
例题2．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（    ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的真子集，对任意的，是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
【详解】解：对于集合，
可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；
当时，，，可得是的子集；
当时，，且，可得不是的子集；
综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.
故选：B.
【提分秘籍】
1、集合点的基本关系：相等，子集，真子集；
2、特别在表示子集关系时，要讨论是否符合题意.

【变式演练】
1．（多选）（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】当时，，,所以与构成“全食”；
当时，，如果，与构成“全食”；如果，，此时与构成 “偏食”；
当时，如果则，，，所以与构成“全食”；如果则，，所以选项A错误；
故选：BCD
2．（多选）（2022·河北·高一期中）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
题型五：集合的基本运算
【典型例题】
例题1．（2022·上海市香山中学高一期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为或，解得或
即，
因为，所以
当时，，满足要求.
当时，则，由，
可得，即
当时，则，由，
可得，即
综上所述，
故选:B.
例题2．（2022·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习）已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【详解】由，得，即，解得或，
所以或，
当时，或，
由，得，解得；
当时，或，
由，得；
当时，，满足，
综上所述实数的取值范围是或，
故选：A.
【提分秘籍】
1、集合的基本运算包含：并（），交，补（）；
2、，注意讨论.
【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高一期中）不等式的解集为，若集合，，则____________．
【答案】
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
所以，即、，
所以不等式，即，即，解得，即，
不等式即，即，解得或，
所以或
则，
所以.
故答案为：
2．（2022·上海中学高一期中）已知全集，，，且，求a的取值范围.
【答案】
【详解】由得，而，
当时，由得，
当时，对于有，
则解得，
综上，a的取值范围是．
题型六：图应用
【典型例题】
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，

A. 对应的是区域1；    
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；    
D. 对应的是区域4.
故选：B
例题2．（2022·浙江·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即

由容斥原理：

解得：
故选：A
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（  ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
【答案】B
【详解】因为，，所以集合，
因为阴影部分所示的集合为，，
所以，阴影部分所示的集合的元素共有个，故选B．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
题型七：集合中的新定义题
【典型例题】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）对于集合，，我们把集合记作．例如，，，，则，．现已知，集合，是的子集，若，，则内元素最多有（    ）个
A．20个 B．25个 C．50个 D．75个
【答案】B
【详解】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，
若，，即，则．
所以．当且仅当时取等号
即内元素最多有25个，
故选：B.
例题2．（2022·上海市建平中学高三开学考试）设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，则下列集合中：
(1)；(2)；(3)；(4)．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
【答案】(2)(4)
【详解】对于(1)：当时，或，
显然或，
即不存在，使得，故(1)错误；
对于(2)：∵或，
此时令或，
故对任意，都存在，使得成立，故(2)正确；
对于(3)：因为，
所以当时，或，
此时或，
即不存在 ，使得，故(3)错误；
对于(4)：∵或，
故当时，即时，总有或，故(4)正确.
故答案为：(2)(4).
【提分秘籍】
集合中新定义题考查范围广，解题时注意严格按照题意定义求解
【变式演练】
1．（2022·四川·模拟预测（理））设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（    ）
A． B．，或
C． D．
【答案】D
【详解】解：对于，，存在函数，，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项A是“保序同构”；
对于，或，存在函数，满足：
；对任意，，当时，恒有，所以选项B是“保序同构”；
对于，，存在函数，满足：；
对任意，，当时，恒有，所以选项C是“保序同构”；
对于选项D, ,不存在函数，不是“保序同构”，所以选项D不是“保序同构”.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【详解】对于①，，则，①正确；
对于②，，则，②不正确；
对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，
则，③正确；
对于④，若整数、属于同一“类”，
则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，
则，故，
若，不妨令，
则，
显然，于是得，，即整数属于同一“类”，
“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.那么使能分成两个不相交的稀疏集的并集时，的最大值是___________.
【答案】
【详解】先证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，
假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，设和为两个不相交的稀疏集，
使，
不妨设，则由于，所以，即，
同理可得：，，可推出，当，这与为稀疏集矛盾，
所以时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，
再证明时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，
时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，
取，，则和都是稀疏集，
且，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分成下列稀疏集的并集：
，，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可分为下列稀疏集的并集：
，，
最后集合且中的数的分母都是无理数，它与中的任何其它数之和都不是整数，
因此令，，则和为两个不相交的稀疏集，且，
综上所述：的最大值是，
故答案为：.
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构
【典型例题】
例题1．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）“ ”是“函数 在上单调递增”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，对于函数，其图象对称轴为 ，
则函数 在上单调递增，
当时，图象对称轴为，故函数在上单调递增，
即“函数 在上单调递增”推不出“ ”成立，
故“ ”是“函数 在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A.
例题2．（2022·江苏镇江·高三期中）“”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)
【答案】充分不必要
【详解】①时，，即；
②对于函数，，
若，则，f(x)在x>0时单调递减，没有最大值；
若，则时，，单调递增；时，，单调递减；
∴，若，则．
故“m＞1”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件．
故答案为：充分不必要．
【提分秘籍】
1、充分性和必要性主要考查两种结构，是的 条件，是典型的正序结构，如：是的必要不充分条件，翻译成数学语言为：且
【变式演练】
1．（2022·上海市进才中学高三期中）若“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由得：；
由必要不充分条件定义可知：，
或，解得：或；
与不同时成立，实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，

得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构
【典型例题】
例题1．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：当时，，该不等式成立；
当，即时，该不等式成立；
综上，得当时， 关于的不等式恒成立，
所以，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．
故选：D．
例题2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）若关于的不等式 成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，不成立，故 ，此时由得，
因为不等式 成立的充分条件是，即，
故，解得，
故选:D
【提分秘籍】
1、倒序结构，的 条件是，如：的必要不充分条件是，翻译成数学语言：且.
【变式演练】
1．（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.在上单调递增.所以对照四个选项，可以得到一个充分不必要条件是：.
故选：D
2．（2022·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B．
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数
【典型例题】
例题1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，，
当时，此时结论显然成立.
当时，在上单调递减，，且与轴交点为.
又在上单调递增，与轴交点为
，，
综上所述：实数的取值范围是,
故选：C
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【详解】由条件可知，是真命题，
即，即，
设
等号成立的条件是，所以的最小值是，
即，满足条件的有AB.
故选：AB
例题3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知命题：为真，则实数的取值范围__________.
【答案】
【详解】，在开口向上，对称轴为，在时当时取得最大值为2，
所以实数m的取值范围，
故答案为：
例题4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））命题“”为真，则实数的范围是__________
【答案】
【详解】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【提分秘籍】
1、任意，存在的问题，主要有判别法（二次型+区间）；变量分离法
2、判别法：如,恒成立，注意需要在区间上，才能使用判别法；如果不是在区间上，即便是二次不等式，也不能单独使用判别法.
3、变量分离法：将参变量分离到一边，如：，
，；
，；
，
【变式演练】
1．（多选）（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【详解】若，使是假命题，
则，使是真命题，
当时，转化，不合题意；
当时，则，
解得，
综上，.
故选：CD.
2．（2022·河南省实验中学高三阶段练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
【答案】
【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.
故答案为：.
3．（2022·上海市延安中学高三期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．
【答案】
【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，
①当时，，成立；
②当时，，解得；
综上所述，.
故答案为：.

一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，C＝A∪B，C中元素和为6，则元素积为（    ）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
【答案】D
【详解】解：因为A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，所以1∈B，4∈B，t2∈B，
所以以1∈C，4∈C，t2∈C，
若t2＝1，则t＝1（舍去）或﹣1，此时C＝{1，2，4，﹣1}，符合题意，
所以C中的元素的积为1×2×4×（﹣1）＝﹣8，
若t2＝2，则t＝或﹣，此时C＝{1，2，4，}或{1，2，4，﹣}，
与已知C中的元素和为6不符，
若t2＝t，则t＝0或1（舍去），此时C＝{1，2，4，0}，
也与已知C中的元素和为6不符，
若t2≠1，2，t，则C＝{1，2，4，t，t2}，则1+2+4+t+t2＝6，即t2+t+1＝0，方程无解，
综上，C中元素的积为﹣8，
故选：D.
2．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
令，
因为都是增函数，所以函数为增函数，
又，
所以不等式的解为，
所以.
故选：A.
3．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得：，解得：，即；
由得：，即；
是的必要不充分条件，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
4．（2022·江西南昌·高三阶段练习（理））已知集合，，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则,由于直线过定点，
故圆需在直线的上方即原点所在的一侧，（），

故 ，解得，
故选：A.
5．（2022·江苏南通·高三期中）设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的聚点，则在下列集合中：①；②；③；④，以0为聚点的集合有（    ）个.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【详解】对于①集合，对任意的，都存在 （实际上任意比α小得数都可以），
使得 ，∴0是集合的聚点；
对于②，对于某个实数，比如，
此时对任意的，都有，
也就是说不可能，从而0不是的聚点；
对于③，对任意的，都存在，即，
使 ，故0是集合的聚点；
对于④，，故随着n的增大而增大，
故的最小值为，故当时，即不存在，使得，
故0不是的聚点；
故以0为聚点的集合有2个，
故选：B
6．（2022·福建龙岩·高三期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：由方程表示的图形是圆，
可得，
即；
由，
得，
显然Ü，
所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数，则“函数为偶函数”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若函数为偶函数，则对任意的，，
因为，则，
即，即，所以，，解得，
又因为Ý，因此，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2022·山东·宁阳县第四中学高三阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
即判别式，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）设Z表示整数集，且集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】∵，由，则，
即中元素都是中元素，有；．
而对于集合，当时，，故，但，∴
由，有，A选项正确； , B选项错误；
由，有，∴， ，C选项错误，D选项正确.
故选：AD．
10．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称为“和谐解集”．若关于的不等式在上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
不等式可化为．
由函数的图像，可知只有一个整数解，这唯一整数解只能是，因为点是图像上的点，所以．因为，，，.
故选：CD.
11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
12．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（    ）
A．，
B．，的奇函数
C．函数的值域为
D．恒成立
【答案】ACD
【详解】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，
A，由取整函数的定义知： ，所以，成立，故选A正确；
B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；
C，由取整函数的定义知： ，所以，，函数的值域为，故C正确；
D，由取整函数的定义知： ，，所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）定义，，已知，，则_____.
【答案】
【详解】解：由，则或，解得或，
综上可得，即，
由，解得或，
所以，
所以，，
因为，
所以当，，，
当，，或，
故．
故答案为：．
14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解；由可得
①若，则，则，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去
②若，则，不符合题意
③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，则“方程在区间和上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】方程在区间和上各有一个解，则
解得
所以是方程在区间和上各有一个解”的一个充分不必要条件
故答案为：
16．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】命题“，”是假命题，
命题的否定：“，”是真命题，
即恒成立，
当时，显然成立；
当时，则，
解得：综上，实数a的取值范围是，故答案为：.