新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题（含解析）

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专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题
目录
1
题型一：分离变量+最值法 1
题型二：分类讨论法 9
题型三：同构法 16
题型四：最值定位法解决双参不等式问题 23
32
一、单选题 32
二、多选题 38
三、解答题 41




题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，令
若时，
若时，
所以可知函数在递减，在递增
所以
由对任意的实数恒成立
所以
故选：A
例题2．（2022·全国·高三阶段练习（文））设是定义在上的连续函数的导函数，且.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则.
因为，，所以恒成立.则函数在上单调递增.
当时，，不等式可化为，即恒成立.
又函数在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，则.
令，得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递減.
所以，
所以，故所求实数的取值范固为.
故选:A.
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解:由题知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
记,
,
,
,
,
在单调递减,

;
（2）由题知,在上单调递增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
记,
,
,,
在单调递增,
,
只需即可,
综上:.

【提分秘籍】
①若)对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需．
③，使得能成立；
④，使得能成立．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，
所以，
所以，
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（    ）
（附：）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当时，恒成立；
令，则，
令，则，
当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
，，，.
故选：BD.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________
【答案】
【详解】，，令，，求导得：，
当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，，
所以，，
所以，
故所求切线方程为．
（2）解：因为在上恒成立，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，，
由零点存在定理知，存在唯一，使，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
从而．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）时，，，
曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为：，
所求切线方程为：；
（2），
①当即时，，在，上为单调增函数，
此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，
②当即时，，，的变化如下：

，

，


0


递减
极小值
递增
此时，，解得：
，与矛盾，不符合题意，
③当即时，，在，上为单调减函数
，解得：，又，，
综上：实数的取值范围是．
题型二：分类讨论法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知函数，，其中是自然对数的底数．
(1)若的最小值为0，求；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
()若,则单调递增,无最小值,不合题意.
()若,令,得
当单调递减
当单调递增
所以
即,即,即
（2）令


易知在上单调递增,所以
所以在上单调递增,所以
()若,则,即在上单调递增
即,即在上恒成立,符合题意
()若,则
所以存在,使得
当单调递减,即
所以此时存在,使得,不合题意
综合知的取值范围为
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3
【详解】（1），则，
∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，
∴ ；
（2）由（1）得，则，
则，由得x＝1，
由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值也是最小值，
要使在内有两个零点，只需满足，即，
解得，
故实数的取值范围为；
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
①当时，，显然成立，此时；
②当时， 恒成立，
令，则，
∵x＞0，∴恒成立，
由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，
∴；
③当时， 恒成立，
令，此时m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上单调递增，
又，
由零点存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，
∴，
综上所述，实数k的取值范围为，
∴实数k的最大值为3．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式演练】
1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；
(2).
【详解】（1）易知函数的定义域为．
当时，，∴
令，得；令，得
∴函数的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（2）

，
①当时，恒成立，在上单调递增，
∴此时 ，
②当，令，得；令，得 ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴．
∵，，，
∴此时
③当，恒成立，在上单调递减．
∴此时，令，得.
要使，，只需在的最大值点
综上，实数a的取值范围为
2．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为；减区间为
(2)
（1）
当时，
由题意可知，函数的定义域为，

当时，的增区间为
当时，的减区间为
（2）

令
当时，
令
当时，的增区间为
当时，的减区间为
所以，∴恒成立
当时，因为，所以不恒成立
综上，正实数的取值范围为．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若存在，当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
令，解得.
所以函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可知，当时，，
所以当时，.即不存在满足题意；
当时，由，得，
对于，有，所以不存在满足题意；
当时，令
则，
令，得，
当时，，所以在内单调递增，
此时，即，
所以存在满足题意
综上，实数的取值范围是
题型三：同构法
【典例分析】

例题1．（2022·河北·模拟预测）已知.
(1)当时，求的单调性；
(2)若恒大于0，求的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为
(2)
【详解】（1）当时，
.
，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，的单调减区间为，单调增区间为；
（2）要使有意义，则，且，
恒大于0，即恒成立，
则，可得，
因为函数为增函数，所以，即，
令，
则，当时，单调递增，
当时，单调递减，
的最大值为，可得，则.
所以的取值范围是.
例题2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．

【详解】（1），即，，
设，，，
时，，递增，时，，递减，所以，
恒成立，则；
（2）不等式即为
设，显然此函数在定义域内是增函数，
所以在时恒成立，在时恒成立，
设（），则，
时，，递增，时，，递减，
所以，
所以．
【提分秘籍】

①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是

相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．

②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.
【变式演练】
1．（多选）（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】因为，且恒成立，
所以，则，故，则，
当时，，，则，故，则恒成立，
当时，，，则，
对两边取对数，得，
令，则，
又，所以在上单调递增，
故，即在上恒成立，
令，则在上恒成立，即，
又，令，得；，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
故，
对于AB，易得，，故AB错误；
对于CD，易得，，故CD正确.
故选：CD.
2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）当时，，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，即．
所以当时，
所以




由
所以当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）．
令，则，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
故．
令，则等价于．
因为，
所以等价于．
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
则．
故k的取值范围为．
3．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，在时恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)
【详解】（1）由题意，令，得，
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
综上在单调递减，在单调递增.
（2）当时，即，即，
构造函数，即有对时恒成立，
，令，得，所以在上单调递减，在单调递增，
又时，时，，
所以只需要对时恒成立即可，
两边取对数，有对时恒成立，
又时，，所以对时恒成立，
令
，令，则，令，则
则在单调递增，在上单调递减，
最大值为，
所以的最小值为.
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】

例题1．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于，使得成立，
可转化为对于，使得成立，
又由，可得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，最大值为，
又由二次函数，开口向上，且对称轴的方程为，
①当，即时，此时函数，令，
解得（不符合题意，舍去）；
②当，即时，此时函数，令，
解得，（符合题意），
综上所述，实数的最小值为，故选C．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递增，
所以，
即，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
例题3．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
(1)
解：，则，其中，
由题意可得，即，解得．
(2)
解：函数的定义域为，则.
①当时，对任意的，，
由，可得；由，可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
②当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、；
③当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数的增区间为，无减区间；
④当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
(3)
解：对任意，均存在，使得，
所以，当时，有．
在的最大值．
由（2）知：①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，此时；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，知，所以，，则，则.
综上所述的取值范围是．
【提分秘籍】

最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【变式演练】
1．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（    ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】对，都，使得不等式成立，
等价于,
当时，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，
所以对，恒成立，即，
当，成立，
当时，恒成立.
记,
因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值为1.
故选：C.
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：∵ ，，
，
∴在上单调递增，
；
根据题意可知存在，使得.
即能成立，
令，
则要使在能成立，只需使，
又在上恒成立，
则函数在上单调递减，
，
，即实数的取值范围是.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】，
当，单调递减，
当，单调递增，
所以
，当
存在，使得成立，只需即可
所以的取值范围为：
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若，使得成立，则实数的最小值是_________．
【答案】
【详解】因为，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，取得最小值；
因为，
所以当时，取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是．
所以实数的最小值是.
故答案为：
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数，，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.

一、单选题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在恒成立.
当，记， 所以在单调递增，， 故
故，所以 ，
故选：C
2．（2022·广东·红岭中学高二期中）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为不等式，对恒成立，
当时，显然成立，
当，恒成立，
令，则，
令，
则在上成立，
所以在上递减，
则，
所以在上成立，
所以在上递减，
所以，
所以，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，若∃，使，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可得不等式在内有解，
设，，
则，
由，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以，
所以.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，则
∵存在实数，使得，即
则
构建，则
令，则或（舍去）
在单调递减，在上单调递增，则
即
故选：D．
5．（2022·广东·高三开学考试）已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（    ）
A．e B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，而，则，
设，则原不等式等价于，又，
即在上单调递增，于是得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
设，求导得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，则，
所以实数a的最小值为.
故选：B
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，即，即，
设，则，
又函数在上单调递增，则，
，
设
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
，则，
实数的取值范围为．
故选：B．
7．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故
在成立，
当时，，
设，，则，
由，得，
所以在递减，所以，
则在递减，所以，
则，所以．
故选：A
8．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，都，使成立，；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又时，；时，；，
当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，解得：，；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，解得：或，
；
③当，即时，在上单调递减，，
，解得：，；
综上所述：的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立，
当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立，
设，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，所以，
综上所述：.
故选：ABC
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【详解】，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以时，函数取得最小值，
因为恒成立，
所以恒成立，且，
可得实数的所有可能取值1，2，3，
故选：ABC.
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（       ）
A． B． C． D．2
【答案】ACD
【详解】解：由题意，不等于，由，得，
令，则，
设，则，
因为函数在上单词递增，且，
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，
即，解得或.
故.
故选：ACD.
三、解答题
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数，曲线处的切线斜率为0
求b;若存在使得，求a的取值范围．
【答案】（1）;（2）.
【详解】（1），
由题设知，解得.
（2）的定义域为，由（1）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
所以.
（ⅱ）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（ⅲ）若，则.
综上，a的取值范围是.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，
(Ⅰ) 设函数，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【详解】(Ⅰ)由题得，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，令，得，令，得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，    
③当时，令，得，令，得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，    
（Ⅱ）要证，即证，令，
当时，，∴成立；            
当时，，  
当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．
∵，∴，，
∴，即成立，故原不等式成立．
14．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知f（x）＝．
（1）曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．
【详解】（1）的定义域为，求导可得，
由得，，
令得；
令得，
所以的增区间为，减区间为．
（2）由题意：，即，
恒成立．
令，则，[
令，则，
在上单调递增，
又，∴当时，，
在上单调递增，
所以，
∴当时，恒成立，
∴a的取值范围为．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，．
（1）求的最大值与最小值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）.
【详解】：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时  f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为，
x=2时函数取得最小值为﹣ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞对任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
记 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴实数A的取值范围是（﹣∞，）．