新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题（含解析）

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专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题
目录
专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题 1
1
题型一：对称化构造 1
题型二：比值代换法 13
题型三：对数均值不等式法 22
29



题型一：对称化构造
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
当时，，
所以单调递增，没有极值，舍去.
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为，舍去
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为.
所以.
（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以不妨设.
下面先证.
即证，因为，所以，
又因为区间上，单调递减，
只要证，又因为，
只要证，只要证.
设，
则，
所以单调递增，
所以，所以.
下面证.
设，因为，
在区间上，；在区间上，.
设，，因为，
所以，所以.
设，，因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：
①构造，
②确定的单调性，
③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，
④利用的单调性即可得到或.
例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，

由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
【提分秘籍】
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【变式演练】
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
当时，，
因为，所以，即，不符合题意；          
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．          
所以．          
由恒成立可知，所以．          
又因为，所以的取值范围为．
(2)
因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．          
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则．
设，          
则，
所以在上单调递增，          
所以，即在区间上恒成立．
因为，所以．          
因为，所以．          
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
【答案】(1)极大值为，的极小值为
(2)证明见解析
(1)
（1）由题意可得.
当或时，；当时，.
所以在与上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，的极小值为.
(2)
证明：由（1）可知.
设，，
则
.
设，则.
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
因为，所以，
因为，所以.
由（1）可知在上单调递增，且，，
则，即.
3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）定义域为，，
当时，，即在上单调递增，不合题意，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
存在，使得成立，则，即，
又，，
即，
令，则，
在上单调递增，又，，
即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
由且知：；
令，，
则，
在上单调递增，，即；
，又，；
，，又且在上单调递减，
，即.
4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，，
所以，.
当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；
所以不合题意，故.
当时，令，得.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，解得.
所以，的值为
（2）解：方法一：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，从而得.
令，则，
所以函数在上单调递增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得证.
方法二：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以，即方程有两个不同的实数根.
令，，则，.
令，得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以.
令，，
则.
所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以.
又在上单调递增，
所以.即，得证.
题型二：比值代换法
【典例分析】

例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
解：函数的定义域为，.
①当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
②当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
证明：因为为的两个零点，所以，，
两式相减，可得，即，，
因此，，.
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即.
因为，所以，故得证.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
解：由可得，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，；
(2)
解：要证，即证，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因为和取等的条件不同，故，即；
(3)
解：由题知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨设，记.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以.
因为
，
所以，即.
令，，则在上单调递增.
又，
所以，即，所以.
【提分秘籍】

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
【变式演练】
1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数有两个零点，.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】(1)有两个零点有两个相异实根．
令，则
由得：，由得：，
在单调递增，在单调递减，
，
又，当时，，当时，
当时，，
有两个零点时，实数a的取值范围为．
（2）不妨设,由题意得,
，,，
要证：，只需证.
，
令，，只需证
，只需证：.
令,，
在递增，
成立.
综上所述，成立．
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若存在三个极值点，，，且，求k的取值范围，并证明：.
【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2），证明见解析.
【详解】（1）当时，，
∴，
令，则，
∴由得，得，
∴在上递减，在上递增，
∴即，
∴得，解得，
∴的单调减区间为，单调增区间为；
（2），
∵有三个极值点，
∴方程有两个不等根，且都不是1，
令，
当时，单调递增，至多有一根，
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，
∴，，
此时，，，，时，，
∴时，有三个根，，，且，
由 得，由得，
∴，
下面证明：，可变形为，
令 ， ，
，∴在上递增，
∴，∴，
∴.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)极小值为，没有极大值．
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析
（1）
由题意可知函数的定义域为．
由，
所以．
令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值为，函数没有极大值．
（2）
（ⅰ）由题意，，
因为．
设，则,，
构造函数，则．
当时，，所以函数在上单调递减，
故，所以．
（ⅱ）因为当时，方程有两个不等实根，
所以
即
两式相减得，
所以．
由（ⅰ）得．
由重要不等式得，
所以，
即，所以，
所以，
所以，即．
因为，
所以，所以．
故由（Ⅰ）得
题型三：对数均值不等式法
【典例分析】

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为的导函数）.
(1)讨论单调性；
(2)设是的两个极值点，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
的定义域为.
，设，则
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，由，得；由，则；
即在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）
证明：，因为，是函数的两个极值点，
所以，
两式相减得，
欲证，只需证.
①
不妨设，故①变形为②
令，，
则在上单调递增，则
故②式成立，即要证不等式得证
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围．
(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)；
(2)详见解析
【详解】（1），
，在上单调递减，
在上恒成立，即，
即在，
设，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，所以；
（2）若是方程的两个不相等的实数根，
即又2个不同实数根，且，，
得，即 ，
所以，
不妨设，则，
要证明，
只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令函数，
所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，，
所以 ，即，即得
【提分秘籍】
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
【变式演练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．
【详解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，
∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，
∴ ，即a＝1；
（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，
∴，
当0＜x＜1时，，f(x)单调递增，
当x＞1时，，f(x)单调递减．
令，
则．
又∵h（1）＝0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即；
②当m＝1时，h（m）＝0，即；
③当m＞1时，h（m）＜0即；
（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x1、x2，
∴lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，
∴lnx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），
∴，
欲证明，即证lnx1+lnx2＞2，
∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），
∴即证，
∴原命题等价于证明，
即证：（x1＞x2），
令，则t＞1，设（t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴，即．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数存在两个零点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1），
①当时，，则在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；
②当时，当时，，单调递减；
当时，，在上单调递增，
则，解得，注意此时，
（i）当时，，此时，
则在和上分别存在一个零点；
（ii）当时，，
设，，所以，，
所以在单调递增，则，
所以在单调递减，则，即，
此时，则在和分别存在一个零点；
综上，若有两个零点，则的取值范围为；
（2）不妨设，由得：
，
两式相减得：，
两式相加得：，
要证，只需证，
只需证，
因为，所以只需证，
即证，
令 ，，，
则，
所以在单调递增，
则，所以原不等式得证.

一、单选题
1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故，，即；
，故，即.
设，，，函数单调递增，
，故，即，
整理得到，即.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：

令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以
故选：D
3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数，下列说法错误的是（    ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【答案】C
【详解】对于A选项：定义域为，，
时,时，
是的极小值点，A正确；
对于B选项：令，
在上递减，，
有唯一零点，B正确；
对于C选项：令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增，
因正实数，，且，，则，
时，令，
，
即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：C.
4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】D
【详解】对A，，函数在单减，在单增，
是的极小值点，A错误；
对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误；
对C， ，令，则，
设，则，函数在单增，在单减，
所以，∴，
则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误；
对D，不妨设，易知，
，且，
因为函数在单增，则，
即证：，记，
所以，所以在单减，所以，
即，所以，D正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数则下列结论正确的有（    ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【详解】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．若恒成立，则
B．当时，的零点只有个
C．若函数有两个不同的零点，则
D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是
【答案】BC
【详解】对于A，定义域为，由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，则，A错误；
对于B，定义域为，，
当时，，在上单调递增，
又，，
，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；
对于C，，，
；
要证，只需证，即证，
不妨令，则只需证，
令，则，
令，
则，
在上单调递增，，，
即恒成立，，C正确；
对于D，当时，由得：，
即，；
令，则，在上单调递增，
由得：，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，D错误.
故选：BC.
7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，则（    ）
A．
B．若有两个不相等的实根、，则
C．
D．若，x，y均为正数，则
【答案】AD
【详解】解：对于A：，又，，，所以，则有，A正确；
对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；
证明如下：函数，定义域为，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则且时，有，所以 若有两个不相等的实根、，有，
不妨设，有，要证，只需证，且，又，所以只需证，令
则有
当时，，，所以有，即在上单调递增，且，所以恒成立，即，即，即.
对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有，故C不正确；
对于D：令，则，，，
，
，故D正确；
故选：AD.
三、解答题
8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间
(2)若的极值点为，且，证明：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
(1)
解：的定义域为，，
由，得.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
证明：由（1）可知，由的极值点为，得，
所以，.
当时，；当时，，
则函数的大致图象，如图所示；

不妨设，若，
由图象知：， 又，
所以要证，即证，
当时，，.
当时，，
，
=，.
设，，
则，，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，在上单调递增，
则，
所以，即，
又因为n，，且在上单调递增，
所以，即，
则.
综上，.
10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数，，．
(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【详解】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，则，
∴在递增，，，
因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，
，，从而在递减，递增．
不妨设，则，
当时，．
当，则，，在递增，，
，
令，，
令，，
令，，
，，在递减，
因为，，，在递增，
，所以在递减，
所以，
即，即，
因为，，在递增，
所以，所以．综上可得，．
11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵， ，∴，
设 ，，
当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，与已知矛盾．
当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；
综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不妨设，则，要证，只需证，
∵在区间上单调递增，∴只需证，
∵，∴只需证．
设，则，
∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，
∴．
12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.
【答案】(1)当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，
要想有两个不相同的零点，则，
解得：，
，故
要证，即证，
即证：，
因为在上单调递增，
所以只需证，不妨设，
两式相减得：，
变形为，
下面证明在上成立，
只需证，即，
令，即证，
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，，
故，即，所以，，证毕.
四、双空题
13．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数的极大值点为0，则实数m的值为_________；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________．
【答案】     1    
【详解】解：，则，则，解得，
此时，，当时，当时，
所以在上的单调递增，在上单调递减，则在处取极大值，符合题意；
令，则
构造函数，则．
因为，所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，又，
易知的图象如图所示：

不妨令，
令
∵
∴在上单调递增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上单调递减，∴
故答案为：1；