新高考数学二轮复习培优训练专题06 基本不等式及其应用（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题06 基本不等式及其应用（含解析），共13页。

A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2\（2021年新高考1卷）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】由题， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立）．
故选：C．
3、（2020全国3文12）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2B． SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称
C． SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】D
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以A错误．对于B， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象不关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以C错误．对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以D正确．故选D．
4、（2020山东）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D ． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故A正确；对于B， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故D正确，故选：ABD．
5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确； SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故B正确；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式不成立，故C不正确；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
6、（2020江苏12）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取等号．∴ SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2020天津14）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 =4时取等号，结合 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8、（2019天津理13）设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．
故的最小值为．
题组一 运用基本不等式研究大小
1-1、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）若 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即AB错误，D正确.
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
故选：CD
1-2、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故D正确.
故选：BD.
1-3、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ，等号不成立）
所以 SKIPIF 1 < 0 .
从而可知选项ACD正确.
故选：ACD
1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为16
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号），故A正确；
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号），即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）， SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号），即 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号），故C正确；
故选：ACD
题组二 运用基本不等式求函数最值
2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝（ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ）（x＋y）
＝4＋5＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ≥9＋2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号， 此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2-2、（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】6
【解析】由已知条件得， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号．
故答案为：6.
2-3、【2022·广东省深圳实验学校10月月考】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2-4、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】12
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
2-5、（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值与最大值的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值与最大值的和为5，
故选：B
题组三 运用基本不等式处理多元问题
3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】已知不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. 8
【解析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
3-2、(2022·江苏南通如东县期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，eq a\s\up6(2)－ab＋9b\s\up6(2)－5c＝0，当eq \f(c,ab)最小时，eq x\s\up6(2)－3x≥a＋b－\f(1,3)c恒成立，则x的取值集合是 ▲ ．
【答案】{x|x≤－1或x≥4}
【解析】由题意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式两边同除ab，可得eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)＝eq \f(5c,ab)，所以eq \f(a,b)－1＋eq \f(9b,a)≥2EQ \R(,\F(a,b)·\F(9b,a))－1＝5，(当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)时等号成立)，故eq \f(c,ab)的最小值为1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，则a＋b－eq \f(1,3)c＝4b－b2，所以a＋b－eq \f(1,3)c的最大值为4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4．
题组四 不等式的综合运用
4-1、（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数t的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴只需存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立即可，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4-2、（2021·河北保定市高三二模）已知圆弧 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 和函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆弧 SKIPIF 1 < 0 上
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
故选：B
4-3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】如图可知x，y均为正，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 共线， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3.
故选：D.
2、（2022·山东烟台·高三期末）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题成立的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】A.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故正确；
B.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故正确；
C.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故错误；
D.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故正确；
故选：ABD
3、（2022·山东日照·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______.
【答案】7
【解析】法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故答案为：7.
法二： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 函数单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 函数单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时函数取得最小值为： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：7.
4、（2022·河北保定·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】9
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5、(2022·江苏徐州期中)已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A(a，b)， B(c，d)，且sinθ＋3csθ＝0，若a＋c＝－1，eq \f(1,b)＋\f(4,d)的最小值为
A．eq \f(8,3) B．3 C．eq \f(10,3) D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，因为sinθ＋3csθ＝0，且csθ≠0，所以tanθ＝－3，即EQ \F(b,a)＝EQ \F(d,c)＝－3，即b＝－3a，d＝－3c，其中a，c＜0，又因为a＋c＝－1，所以－EQ \F(b,3)－EQ \F(d,3)＝－1，即EQ \F(b,3)＋EQ \F(d,3)＝1，则eq \f(1,b)＋\f(4,d)＝(eq \f(1,b)＋\f(4,d))(EQ \F(b,3)＋EQ \F(d,3))＝EQ \F(1,3)＋EQ \F(d,3b)＋EQ \F(4b,3d)＋EQ \F(4,3)≥2EQ \R(,\F(d,3b)·\F(4b,3d))＋EQ \F(5,3)＝EQ \F(4,3)＋EQ \F(5,3)＝3，当且仅当EQ \F(d,3b)＝EQ \F(4b,3d)，即d＝2b，时取等号，则eq \f(1,b)＋\f(4,d)的最小值为3，故答案选B．
6、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．
【答案】8
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0