新高考数学二轮复习培优训练专题07 函数的性质及其应用（含解析）

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1、【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
2、【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
3、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
对于B， SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，不合题意，舍.
对于D， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，符合题意，故选：D.
6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为R的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ①；
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ②．
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路一：从定义入手．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，其关于原点对称，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
故选：A．
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于坐标原点对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，排除B；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D正确.
故选：D.
10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 是R的偶函数， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在(0，+∞)单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
题组一 运用函数的性质进行图像的辨析
1-1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图象关于原点对称，排除D.
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
1-2、（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；
又 SKIPIF 1 < 0 ，排除C，
故选：A．
1-3、（2022·湖南娄底·高三期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，
又 SKIPIF 1 < 0 ，排除B，C，
故选：A.
1-4、（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 SKIPIF 1 < 0 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则该函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除B选项.
由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，排除AD选项.
故选：C.
题组二 函数的性质
2-1、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，定义在R上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2-2、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)csx为奇函数”是“a＝1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】函数f(x)＝sinx＋(a－1)csx为奇函数,
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)＝sinx是奇函数，
因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)csx为奇函数”是“a＝1”充要条件，
故选:C.
2-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，当x≥0时，，则不等式的解集是_______；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵当x≥0时，，
∴偶函数 SKIPIF 1 < 0 在[0,＋∞)上单调递增，且，
所以，即，
∴，解得.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2-5、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________．
①为偶函数；②；③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知函数为偶函数且在上为减函数，可取，
对于①，函数的定义域为，，故函数为偶函数；
对于②，对任意的非零实数、，；
对于③，当时，，则函数在上为减函数.
综上所述，函数满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
题组三、函数性质的综合运用
3-1、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：是奇函数；
乙：的图象关于直线对称；
丙：在区间上单调递减；
丁：函数的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】
由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，
所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，
即丙、丁中有一个为假命题；
若甲、乙成立，即，，
则，
所以，即函数的周期为4，
即丁为假命题.
由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，
故选：D.
3-2、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为高斯函数，又称为取整函数.如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数
D．对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是单调增函数，所以A错.
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 要有零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 要想为 SKIPIF 1 < 0 ，必须 SKIPIF 1 < 0 也为整数，在这个范围内，只有 SKIPIF 1 < 0 两个点，所以B正确，
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，所以C错，
对于D，如果我们定义 SKIPIF 1 < 0 这样一个函数，就会有 SKIPIF 1 < 0 ，同时有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，会有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：BD.
3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在R上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 在R上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可验证B错误.
故选：AC
3-4、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数不是“伙伴函数”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】函数的定义域为，单调递增区间为，递减区间为，该函数为偶函数，值域为.
对于A选项，令，该函数的定义域为，
，函数的单调递增区间为，递减区间为，
因为，即函数的值域为.
，即函数为偶函数，A满足条件；
对于B选项，由可得，即，解得，
故函数的值域为，B不满足条件；
对于C选项，令，该函数的定义域为，
，令，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
故函数的值域为，
因为，即函数为偶函数，C满足条件；
对于D选项，函数的定义域为，D不满足条件.
故选：BD.
1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 是偶函数”是“ SKIPIF 1 < 0 是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】偶函数的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 也是偶函数，所以“ SKIPIF 1 < 0 是偶函数”是“ SKIPIF 1 < 0 是偶函数”的充分不必要条件
故选：A
2、（2022·山东德州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题可知：函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故该函数为奇函数，排除A,C
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以排除B,
故选：D
3、（2022·江苏海安·高三期末）（多选题）下列函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】对于A： SKIPIF 1 < 0 为开口向上的抛物线，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故选项A不正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移一个单位可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，向右平移一个单位可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故选项B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故选项C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 复合而成，因为 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
4、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数为偶函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的最大值为0
D．的解集为
【答案】ACD
【解析】函数为偶函数，所以，
即，解得，
所以，，经检验时为偶函数，故A正确；
设，
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以，所以在上是单调递减函数，故B错误；
因为函数为偶函数，在上是单调递减函数，所以在单调递增函数，
所以，故C正确；
因为，由得，
因为在上是单调递减函数，在单调递增函数，，
可得，故D正确.
故选：ACD.
5、（2022·山东德州·高三期末）写出一个同时满足①②的函数___________.① SKIPIF 1 < 0 是偶函数，②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，所以，故，可知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造.
故答案为：
6、（2022·江苏宿迁·高三期末）设函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足，且当 SKIPIF 1 < 0 时，，
所以
，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7、（2022·湖北江岸·高三期末）函数为奇函数，则实数k的取值为___________.
【答案】
【解析】因为为定义域上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即，整理化简有：恒成立，
所以，得，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，
且当时，，其定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，故满足题意.
故答案为：
8、（2022·广东罗湖·高三期末）已知函数，则的最大值为______．
【答案】
【解析】时，单调递增，；
SKIPIF 1 < 0 时，单调递减，.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为．
故答案为：．