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新高考数学二轮复习数列培优专题09 数列不等式的证明与求解参数（含解析）

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这是一份新高考数学二轮复习数列培优专题09 数列不等式的证明与求解参数（含解析），共23页。
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.
【经典例题1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ② 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【经典例题2】已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； (2)证明见解析
【解析】
(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
由①－②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，也符合上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 成立．
【经典例题3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
一方面， SKIPIF 1 < 0 ；另一方面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.
【经典例题4】等差数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)7
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以n的最小值是7．
【练习1】等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
(3)证明: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 . (2) SKIPIF 1 < 0 (3)见解析
【解析】
(1)∵等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
化为： SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
(3)因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【练习2】已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2)证明见解析.
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，则 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 .
【练习3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)对任意的正整数n，有 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】
(1)解：∵ SKIPIF 1 < 0 ①，∴令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ②，由①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得d＝1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【练习4】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】
(1)解：当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
◆题型二:数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,数列单调递增. SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.
(1) SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
下面看一下有关恒成立问题的例题:
【经典例题1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
先分离参数将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，进而转化为 SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 ，再作差判定单调性求出数列 SKIPIF 1 < 0 的最值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【经典例题2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】12
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，求得通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 利用裂项相消法求和，然后由单调性得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，解相应不等式可得 SKIPIF 1 < 0 的范围从而得结论．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为4，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为12．故答案为：12．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:
【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数k的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
先求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 分离常数 SKIPIF 1 < 0 ，结合数列的知识求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .依题意， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【经典例题4】已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）已知已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，通常用 SKIPIF 1 < 0 求通项.（2）用裂项相消法求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，列出不等式，参变分离得 SKIPIF 1 < 0 ，因为存在 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可.
【详解】
解：(1) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也适合上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
(2) 因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
所以 SKIPIF 1 < 0 .即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【练习1】设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，则m的最小值为___．
【答案】9
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故m的最小值为9.故答案为：9
【练习2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【练习3】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
(1)解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【练习4】设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
【过关检测】
1.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，最小 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 都成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
∴若公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故存在， SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
2.已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的公比q和通项 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：设比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
3.记 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求使 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)4
【解析】
(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 =0,
由题意知，，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以d=2
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．
(1)求an、Sn；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和Tn，求满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数n．
【答案】(1)an＝4n﹣1， SKIPIF 1 < 0 (2)19
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）得， SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故满足满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数为19
5.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.
【解析】
(1)证明：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 是首项和公比均为3的等比数列
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
6.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列；
②数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】
(1)解：若选①：因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，设公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若选②：因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若选③：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 .（2）存在，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 .
由题意得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）有 SKIPIF 1 < 0 .假设存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，上式不成立；当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 综上，存在符合条件的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为11.
8.已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，求使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； (2)5.
【解析】
(1)设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是递增的，
于是得当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值是5.
9.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，最小 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由题设， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 都成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
∴若公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故存在， SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
10.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差不为零， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大项．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
11.已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 ①；
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入①得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②；
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ③；
SKIPIF 1 < 0 ④，
③-④得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
12.已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过坐标原点，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求使得 SKIPIF 1 < 0 对所有 SKIPIF 1 < 0 都成立的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 经过坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
经检验： SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 恒成立可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所求的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 .