河南省驻马店市上蔡县思源实验学校2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省驻马店市上蔡县思源实验学校2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省驻马店市上蔡县思源实验学校八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根
C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列实数，3.14﹣π，3.14259，，﹣，12 中无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a5＝a10 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6 D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
5．x，y分别是8﹣的整数部分和小数部分，则2xy﹣y2的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若xm＝5，xn＝，则x2m﹣n＝（　　）
A． B．40 C． D．100
7．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（　　）
A．22 B．﹣22 C．±22 D．0
8．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）

A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
9．若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
10．已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　）
A．24 B． C． D．﹣4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 　 　．
12．已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是　 　．
13．现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝　 　．
14．如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有 　 　个．
15．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知8（x+1）3＝125，求x的值．
17．把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣30，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.，，﹣，2.010010001…．
正分数集合：{ 　 　…}；
整数集合：{ 　 　…}；
负有理数集合：{ 　 　…}；
非正整数集合：{ 　 　…}；
无理数集合：{ 　 　……}．
18．计算：
（1）﹣+|2﹣|+；
（2）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．
19．计算：
（1）（3）12×（）11×（﹣2）3；
（2）20192﹣2018×2020；
（3）112+13×66+392．
20．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
21．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　 　；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　．
23．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．




参考答案
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置。每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是1的算术平方根
C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．
解：∵±1都是1的平方根，
∴选项A符合题意；
∵1的算术平方根是1，
∴选项B不符合题意；
∵1的立方根是1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了实数平方根、立方根问题的解决能力，关键是能准确理解并运用相关概念和性质．
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
解：A．无意义，故A不符合题意．
B．，故B符合题意．
C．，故C不符合题意．
D．，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
3．下列实数，3.14﹣π，3.14259，，﹣，12 中无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，判断出实数，3.14﹣π，3.14259，，﹣，12 中无理数有多少个即可．
解：实数，3.14﹣π，3.14259，，﹣，12 中无理数有2个：3.14﹣π，．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a5＝a10 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6 D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
5．x，y分别是8﹣的整数部分和小数部分，则2xy﹣y2的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先估算出的范围，再得到8﹣的整数部分和小数部分，代入计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵x，y分别是8﹣的整数部分和小数部分，
∴x＝4，y＝＝，
∴2xy﹣y2＝＝5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出8﹣的取值范围是解题的关键．
6．若xm＝5，xn＝，则x2m﹣n＝（　　）
A． B．40 C． D．100
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
解：∵xm＝5，xn＝，
∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn
＝25÷
＝100．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
7．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（　　）
A．22 B．﹣22 C．±22 D．0
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和11积的2倍，故a＝±22．
解：∵（x±11）2＝x2±22x+121，
∴在x2+ax+121中，a＝±22．
故选：C．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）

A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．
解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），
图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．

【点评】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
9．若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
解：f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
【点评】本题考查无理数的估算及新定义的意义，对无理数的估算是正确解答的关键．
10．已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　）
A．24 B． C． D．﹣4
【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出﹣≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn＝k2﹣，进而得出原式＝10﹣7mn＝﹣k2+，即可求出答案．
解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝k2﹣，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 　±6　．
【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即可．
解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝43＝64，
∴x＝9，
∴3x+9＝3×9+9＝36，
∴36的平方根为±6，
故答案为：±6．
【点评】本题考查了立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．
12．已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是　4　．
【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算即可．
解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则的应用，逆用法则是解题的关键．
13．现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝　y2﹣y　．
【分析】根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，然后单项式乘多项式的法则计算即可．
解：x⊕y+（y﹣x）⊕y，
＝xy+x﹣y+（y﹣x）y+（y﹣x）﹣y，
＝y2﹣y；
故答案为：y2﹣y．
【点评】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．
14．如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有 　6　个．
【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12，
∴当a＝1，b＝﹣12时，m＝﹣11；
当a＝﹣1，b＝12时，m＝11；
当a＝2，b＝﹣6时，m＝﹣4；
当a＝﹣2，b＝6时，m＝4；
当a＝3，b＝﹣4时，m＝﹣1；
当a＝﹣3，b＝4时，m＝1；
故m的值共6个．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．
15．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为　2﹣　．

【分析】计算出AB的长度，进而求出AC的长，再根据点A所表示的数为1，点C在点A的左侧，即可求出点C所表示的数．
解：∵A，B在数轴上表示的数为1和，
∴AB＝﹣1，
又∵AC＝AB，
∴点C所表示的数为：1﹣（﹣1）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值和符号是确定有理数的基本条件．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知8（x+1）3＝125，求x的值．
【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3＝，计算即可得出答案；
（2）根据题意可化为（x+1）3＝，根据立方根的定义可得x+1＝，计算即可得出答案．
解：（1）4（x﹣3）2＝64，
（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝，
x﹣3＝±4，
x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
x＝7或x＝﹣1；
（2）8（x+1）3＝125，
（x+1）3＝，
x+1＝，
x+1＝，
x＝．
【点评】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键．
17．把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣30，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.，，﹣，2.010010001…．
正分数集合：{ 　3.14，　…}；
整数集合：{ 　100，﹣2，0，﹣2011　…}；
负有理数集合：{ 　﹣0.82，﹣30，﹣2，﹣2011，﹣3.　…}；
非正整数集合：{ 　﹣2，0，﹣2011　…}；
无理数集合：{ 　﹣，2.010010001　……}．
【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．
解：正分数集合：{3.14，，…}
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…}
负有理数集合：{﹣0.82，﹣30，﹣2，﹣2011，﹣3.，…}
非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}
无理数集合：{﹣，2.010010001…，…}．
故答案为：3.14，；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣30，﹣2，﹣2011，﹣3.；﹣2，0，﹣2011；﹣，2.010010001…．
【点评】本题主要考查了实数的分类，解题时注意：有理数和无理数统称实数．
18．计算：
（1）﹣+|2﹣|+；
（2）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．
【分析】（1）先对原式的立方根、平方根、绝对值进行计算，再按整式的运算解答；
（2）运用同底数幂的乘除，积的乘方、幂的乘方来计算．
解：（1）﹣+|2﹣|+
＝﹣2﹣+﹣2+4
＝；
（2）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]
＝﹣64a3m+3÷8a2m+1
＝﹣8am+2．
【点评】本题考查了整式混合运算，关键根据同底幂相除，底数不变，指数相减来计算．
19．计算：
（1）（3）12×（）11×（﹣2）3；
（2）20192﹣2018×2020；
（3）112+13×66+392．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方将原式化为（×）11××（﹣2）3即可；
（2）利用平方差公式将原式化为20192﹣（2019﹣1）（2019+1），即20192﹣20192+1即可；
（3）将原式化为112+2×11×39+392，再利用完全平方公式进行计算即可．
解：（1）原式＝（）11×（）×（）11×（﹣2）3
＝（×）11××（﹣8）
＝1×（﹣25）
＝﹣25；
（2）原式＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
（3）112+13×66+392
＝112+2×11×39+392
＝（11+39）2
＝502
＝2500．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
20．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：

操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　2　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　﹣2﹣　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是　﹣5和3　；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　或或　．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a＝，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则﹣（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2﹣；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2﹣，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD＝，
x＝﹣1++＝，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD＝，
x＝﹣1++＝，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝CD＝，
x＝﹣1++＝，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．



【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点坐标的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想．
23．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．


【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．
解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×＝14．
（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），
把a+b＝3，ab＝1代入得：
a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．
∴＝9．
【点评】考查了完全平方式，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力．