备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点24 圆的基本性质

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考点24 圆的基本性质

在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形、弧长与扇形面积等基础考点，难度一般在中档及以下；而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。而且，圆的基本性质也是中考数学中比较有自我特征的一个考点，主要表现在：当其他考点和圆结合的时候，很多结论的产生可能会更依赖于圆的性质。所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三。









一、 圆的有关概念
二、 垂径定理及其推论
三、 圆周角定理及其推论
四、 圆内接四边形及其综合
考向一：圆的有关概念
1. 圆的有关概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径
经过圆心的弦叫做直径。
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
优弧
大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧。
2. 圆的有关计算公式
常用公式：








1．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
2．一个扇形的弧长是2π，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（　　）
A．45° B．90° C．120° D．180°
【分析】利用弧长公式求解即可．
【解答】解：设圆心角为n°，
则有＝2π，
∴n＝90，
∴该扇形的圆心角的度数是90°．
故选：B．
3．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，
由题意得，
∴n＝240，
∴这个扇形的圆心角为240度．
故选：B．
4．已知圆的半径为6，120°的圆心角所对的弧长是（　　）
A．2π B．4π C．6π D．12π
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为120°所对的弧长为＝4π．
故选：B．
5．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 　6cm　．
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故答案是：6cm．
6．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为 　24πcm2　．
【分析】先求出圆锥底面圆的周长为6πcm，再根据扇形面积公式即可求解．
【解答】解：∵圆锥底面圆的直径6cm，
∴圆锥底面圆的周长为6πcm，
∴该圆锥的侧面积为．
故答案为：24πcm2．
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，扇形AEF的半径为6，圆心角为60°，则阴影部分的面积是 　6π．　．

【分析】根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝6，
∴∠BCD＝∠DAB＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AD＝6，
∵AB＝6，
∴△ADC的高为3，AC＝6，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG（ASA），
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝＝6π．
故答案为：6π．

考向二：垂径定理及其推论
一．垂径定理及其推论
垂径定理
垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧
推论
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
平分弧的直径。垂直于弧所对的弦。。


1.圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OD＝5，AE＝2，则CD长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据勾股定理求出DE，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OED＝90°，
∵OA＝OD＝5，AE＝2，
∴OE＝5﹣2＝3，
在Rt△DEO中，，
∴CD＝2DE＝8．
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（　　）

A．4 B． C． D．
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积＝OD•BD＝×2×2＝2．
故选：C．
3．在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则sinC的值为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】根据圆周角定理得出，进而即可求解．
【解答】解：∵，
∴sinC＝．
故选：D．
4．把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（　　）

A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm
【分析】设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，结合题意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根据勾股定理求得MF，最后由垂径定理求得结果．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，

由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，
∵CD＝8cm，
∴MN＝8cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，
∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴，
∴EF＝2FM＝8cm，
故选：A．
5．如图，⊙O的弦AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE＝3，EC＝4，DE＝6，连接AD，则线段AD的长为 　10　．

【分析】连接BC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BAD＝∠BCD，易证△AED∽△CEB，得到，求出AE＝8，再利用勾股定理即可求出线段AD的长．
【解答】解：连接BC，

∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠BEC＝90°，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∵BE＝3，EC＝4，DE＝6，
∴，
∴AE＝8，
在 Rt△AED中，．
故答案为：10．
6．嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为 　　m．

【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝x﹣2，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：连接BO，

由题意可得：AD＝BD＝3m，设B半径OC＝xm，
则DO＝（x﹣2）m，
由勾股定理可得：x2＝（x﹣2）2+32，
解得：x＝．
∴这座桥桥拱半径为m．
故答案为：．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BC平分∠ABD，E是弧AB的中点，连接DE交BC于F．
（1）求证：CD＝CF；
（2）若BF＝2，EF＝5，求CF的长．

【分析】（1）如图，连接AD，OE．证明∠CDF＝∠CFD，可得结论；
（2）连接AC，BE．证明EF＝BF＝5，AC＝CF，利用参数构建方程求解．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，OE．
∵E是弧AB的中点，OE是半径，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠ADE＝∠AOE＝45°，∠EDB＝∠EOB＝45°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠CBD，
∵∠CDF＝∠ADC+∠ADE，∠CFD＝∠EDB+∠CBD，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF；
（2）解：连接AC，BE．
∵∠CDF＝∠CFD，∠CDF＝∠EBF，∠CFD＝∠EFB，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝EF＝5，
∵＝，OE是半径，
∴EO⊥AB，
∴OB＝OE＝5，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD＝CF，
设AC＝CF＝m，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴102＝m2+（m+2）2，
∴m2+2m﹣48＝0，
解得，m＝6（负根已经舍去），
∴CF＝6．

考向三：圆周角定理及其推论
一．圆周角定理及其推论
圆周角定义
顶点在圆周上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
圆周角定理的推论
半径（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径
在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等
拓展提示
圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°



圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

1．如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点M，∠OAC＝20°，则∠AOB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C＝20°，再利用圆周角定理得到∠AOB＝40°．
【解答】解：∵BC∥OA，∠OAC＝20°，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AOB＝40°，
故选：B．
2．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，

∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的两点，连接AC、OC、OD、CD，且AC∥OD，若AB＝6，∠ACD＝15°，则AC的长为（　　）

A． B．4 C． D．
【分析】根据圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝30°，根据平行线的性质得∠BAC＝∠AOD＝30°，再根据直径的性质得∠ACB＝90°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC，

∵∠ACD＝15°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝30°，
∵AC∥OD，
∴∠BAC＝∠AOD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠BAC＝＝＝，
∴AC＝3．
故选：D．
4．如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝　（8+5）　cm．

【分析】利用勾股定理求出BC，证明AD＝BD，求出AD，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC＝＝＝8（cm），
∵CD平分∠ACD，
∴＝，
∴AD＝BD＝AB＝5（cm），
∴BC+AD＝（8+5）（cm）．
故答案为：（8+5）．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为 　50　°．

【分析】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝50°．
【解答】解：连接OD．
∵CD＝OE，OE＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝25°，
∴∠DOC＝∠C＝25°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝50°．
故答案为：50．

6．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．

【分析】（1）由外角的性质可得∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，由同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B，进而即可求解；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知AD∥OE；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，
∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，
∴∠B＝30°；
（2）过O作OE⊥BD于E，即OE＝3，

∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD＝2OE＝6．
考向四：圆内接四边形及其综合
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质
圆内接四边形对角互补
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
圆内接正多边形
圆的半径为r，边长为a的正n边形的边心距为， 中心角为



圆幂定理





一．相交弦定理
如图Ⅰ，若圆内任意弦AB、弦CD交于点P；则：

二．割线定理
如图Ⅱ，连接AD、BC，亦可证：
三．切割线定理
弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；
弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
图Ⅲ，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，
则： ∴

1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC．若AC＝AD，∠CAD＝40°．则∠B的大小为（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】由等腰三角形的性质得∠ADC＝70°，由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AC＝AD，∠CAD＝40°，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝110°．
故选：C．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是（　　）

A．56° B．114° C．124° D．134°
【分析】首先利用圆周角定理求的∠ADC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故选：C．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（　　）

A．25° B．30° C．32° D．35°
【分析】由圆内姐四边形性质结合已知求出∠BAD＝60°，从而由圆周角定理求得∠BED＝60°，∠DBE＝90°，最后由直角三角形锐角互余可得结果．
【解答】解：连接BE，
∵∠BAD与∠BED是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BED，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴3∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BED＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB，交CB的延长线于点E．若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝，则AE的长度为 　6　．

【分析】连接AC，根据BA平分∠DBE，可得∠ABE＝∠ABD；根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ABE＝∠ADC，进而可得∠ABE＝∠ABD＝∠ADC，即有∠ACD＝∠ADC，则有AD＝AC，最后利用勾股定理即可作答．
【解答】解：连接AC，如图，

∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC，
∵AD＝7，
∴AC＝7，
∵AE⊥CB，，
∴在Rt△AEC中，．
故答案为：6．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平∠CAE．
（1）求证：∠DAE＝∠BCD；
（2）求证：DB＝DC．

【分析】（1）先证明∠BCD+∠DAB＝180°，结合∠DAE+∠DAB＝180°，从而可得答案；
（2）先证明∠DAC＝∠DBC，∠DAE＝∠DAC，由（1）可知∠DAE＝∠BCD，可得∠BCD＝∠DBC，从而可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠DAB＝180°，
又∵∠DAE+∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝∠BCD．
（2）∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵AD平分∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
由（1）可知∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠DBC，
∴DB＝DC．

1．（2022•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（　　）

A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
2．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（　　）

A． B． C．1 D．2
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，
∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
3．（2022•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．28° B．30° C．36° D．56°
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：A．
4．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（　　）

A．70° B．65° C．50° D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
5．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故选：B．
6．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）
A． B．4 C． D．5
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
7．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　　m．

【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
8．（2022•安顺）如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．5﹣π B．5﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO＝∠PDO＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB＝，
∴AC＝2AO＝2，DE＝CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝（AC+PE）•AP﹣AO2•π＝（2+3）×1﹣×12•π＝（5﹣π）＝﹣，
故选：C．
9．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24π（cm2）．
故选：B．
10．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 　216　°．
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的底面圆半径，再利用侧面扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列方程即可求出答案．
【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：＝3（cm），
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
则2π×3＝，
∴n＝216，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，
故答案为：216．
11．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　30°　．

【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
12．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 　cm　．

【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
13．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 　144°　．

【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
14．（2022•十堰）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判断①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为⊙O直径，可判定③正确；在DB上取一点E，使DE＝AD，可得△ADE是等边三角形，从而△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判断④正确．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵＝，＝，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴与不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DB＝2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④，共3个，
故选：C．
15．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，
∴，
∴的长度l＝＝π．
故选：B．
16．（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．2π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为：，
故选：B．
17．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（　　）

A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2
【分析】先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．
【解答】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝600π（cm2），
故选：C．
18．（2022•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到∠COD＝60°，即可求出扇形AOC的面积，再算出△AOC的面积，即可求出阴影部分面积．
【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD＝＝＝，
∴阴影部分的面积为：＝﹣，
故选：B．
19．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 　△ABD，△ACD，△BCD　．

【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解．
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
20．（2022•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC＝2，则的长是 　　．

【分析】连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE＝50°，半径为1，代入弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OE，OD，
∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠C＝＝65°，
又∵OB＝OD，OA＝OE，
∴∠B＝∠ODB＝65°，∠A＝∠OEA＝50°，
∴∠BOD＝50°，∠AOE＝80°，
∴∠DOE＝50°，
由于半径为1，
∴的长是＝．
故答案为：．
21．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　（1，1）　，B1　（0，4）　，C1　（2，2）　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．

【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；
（2）根据弧长公式直接求值即可．
【解答】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：＝2π．
22．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
23．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝＝，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝．
24．（2022•六盘水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．

【分析】（1）设OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；
（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）设OA＝OC＝Rm，
∵OA⊥CD，
∴CB＝BD＝CD＝14m，
在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，
∴R2＝142+（R﹣12）2，
∴R＝，
∴OC＝≈14.2m．
（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
∵∠N＝∠COD＝81°，
∵∠CMD+∠N＝180°，
∴∠CMD＝99°．
∵∠CMD＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
25．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．

【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）利用（1）的结论可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴AD＝CD•tanC＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝，
∴AE的长为．
26．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

【分析】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；
（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．


1．（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
2．（2022•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（　　）

A．30° B．25° C．20° D．10°
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴的度数是20°．
故选：C．
3．（2022•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4
【分析】连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长．
【解答】解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
tan∠ABC＝，
∴BC＝．
∵AC＝4，
∴BC＝＝4．
故选：A．
4．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（　　）

A．22° B．32° C．34° D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠COE＝×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝×68°＝34°，
故选：C．
5．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　26　厘米．

【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
6．（2022•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
7．（2022•黑龙江）若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为 　　cm．
【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用侧面展开图与底面圆的关系的关系列方程即可求出圆锥的底面半径．
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为：＝，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝，
∴r＝cm．
故答案为：．
8．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（　　）

A．36 B．24 C．18 D．72
【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
9．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解答】解：方法一：
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴AE＝AD＝2，
∵CE是直径，
∴∠EAC＝90°，
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
∴EC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
方法二：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴圆O的半径为．
故选：D．
11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．130°
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
12．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．60°
【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME＝∠COE＝60°，
故选：D．
13．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）

A．m B．m C．m D．（+2）m
【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），
故选：C．
14．（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（　　）

A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【分析】连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO＝米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
【解答】解：连结BC，AO，如图所示，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵⊙O的直径为1米，
∴AO＝BO＝（米），
∴AB＝＝（米），
∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），
故选：C．
15．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是 　5﹣π　．

【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，
∴AD＝×3＝2，
∴DF＝ADsin45°＝2×＝2，
∵AE＝AD＝2，
∴EB＝AB−AE＝，
∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
＝3×2﹣﹣××2
＝5﹣π，
故答案为：5﹣π．
16．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为 　　（结果保留π）．

【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．
【解答】解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，
∴+的长度＝×2π×1＝，
故答案为：π．
17．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 　　．（结果保留π）

【分析】由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为＝，
故答案为：．
18．（2022•宁夏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝　　．

【分析】根据垂径定理得BD＝AB＝8，再利用余弦的定义可得．
【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴BD＝AB＝8，
∴cosB＝＝，
故答案为：．
19．（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 　45°或135°　．
【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．
【解答】解：如图，

∵OA＝OC＝1，AC＝，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AD'C＝135°，
故答案为：45°或135°．
20．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）

A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．
【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
21．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 　　．

【分析】先连接AD，BD，然后根据题意，可以求得cos∠ADB的值，再根据圆周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，从而可以得到cos∠ACB的值．
【解答】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴cos∠ADB＝＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cos∠ACB的值是，
故答案为：．
22．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．
【解答】（1）解：如图1，⊙O即为△ABC的外接圆；
（2）①证明：如图2，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠EAB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝，
∴tan∠AEC＝，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴＝，
∵AC＝6，
∴EC＝8，
∴AE＝＝10，
∴⊙O的半径为5．
23．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
24．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
25．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．


1．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）

A． B．8 C．6 D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB＝×10＝5．
故选：D．

2．（2023•庐阳区校级一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　）

A．＝ B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD
【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD，＝，＝，从而可得AC＝AD，再连接OC，BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE，
∴AB⊥CD，＝，＝，
∴AC＝AD，
故A、C、D不符合题意；
连接OC，BC，

∵OC≠CB，AB⊥CD
∴OE≠BE，
故B符合题意；
故选：B．
3．（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　）

A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
4．（2022•亭湖区校级一模）如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根据圆周角定理即可求出∠BOC．
【解答】解：∵∠D＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°．
故选：A．
5．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．2米 C．米 D．米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，
故选：C．
6．（2022•东西湖区模拟）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）

A．4+ B．9 C．4 D．6
【分析】连接OC，OF，设OB＝x，则AB＝BC＝2x，在Rt△BCO和Rt△FEO中利用勾股定理列出等式计算x的值，进一步求出半径即可．
【解答】解：连接OC，OF，
设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4，
则半圆O的半径是4．
故选：C．
7．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是（　　）

A．56° B．114° C．124° D．134°
【分析】首先利用圆周角定理求的∠ADC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故选：C．
8．（2022•武汉模拟）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OC，先证明△AOC≌△BOC，得到∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，从而证得△DBC∽△DCO，根据相似三角形的性质求出DO，进而求出OB，计算面积比即可．
【解答】解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO，
∴，
∵BD＝4，CD＝5，
∴，
解得：DO＝，
∴OB＝OD﹣BD＝，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．（2023•秦都区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的两点，连接AC、OC、OD、CD，且AC∥OD，若AB＝6，∠ACD＝15°，则AC的长为（　　）

A． B．4 C． D．
【分析】根据圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝30°，根据平行线的性质得∠BAC＝∠AOD＝30°，再根据直径的性质得∠ACB＝90°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠ACD＝15°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝30°，
∵AC∥OD，
∴∠BAC＝∠AOD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠BAC＝＝＝，
∴AC＝3．
故选：D．
10．（2022•武江区校级三模）若圆锥侧面展开图是面积为65πcm2的扇形，扇形的弧长为10πcm，则圆锥的高为 　12cm　．
【分析】根据圆锥的侧面积＝×弧长×母线长，可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求得圆锥的高，即可求解．
【解答】解：设母线长为Rcm，由题意得：，
解得R＝13，
设圆锥的底面半径为rcm，
则10π＝2πr，
解得：r＝5，
故圆锥的高为：cm．
故答案为：12cm．
11．（2023•泸县一模）如图，AB为⊙O的直径，E为弦CD的中点，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则BC的长是 　4　．

【分析】先由垂径定理的推论得出AB⊥CD，从而得∠BEC＝90°，再由圆周角定理得出∠BCE＝∠BAD＝30°，然后由直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，E为弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝∠BAD＝30°，
∴BC＝2BE＝2×2＝4，
故答案为：4．
12．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 　4　．

【分析】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．
【解答】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，
∵AP＝4，BP＝12，
∴直径AB＝4+12＝16，
即半径OD＝OA＝8，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，
∵∠IPO＝∠APC＝30°，
∴OI＝OP＝＝2，
由勾股定理得：DI＝＝＝2，
∵OI⊥CD，OI过圆心O，
∴DI＝CI＝2，
即CD＝DI+CI＝4，
故答案为：4．
13．（2023•南海区一模）从一块直径为4m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 　2π　m2（结果保留π）．

【分析】连接AC，OB，由剪出一个圆周角为90°的最大扇形，可得BC＝AB＝2，根据圆的面积公式和扇形面积公式列式计算即可．
【解答】解：连接AC，OB，如图：
∵剪出一个圆周角为90°的最大扇形，
∴OB⊥AC，
∴OB＝OA＝OC＝AC＝2，BC＝AB＝2，
∴阴影部分的面积为π（）2﹣＝2π（m2），
故答案为：2π．
14．（2022•新乐市校级模拟）如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
（1）若的长为π，“回旋角”∠CPD的度数 　45°　；
（2）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，AP的长＝　3或23　．

【分析】（1）先求出∠COD＝45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；
（2）①当点P在半径OA上时，利用（2）的方法求出∠CFD＝60°，∠COD＝120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；
②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP＝3，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴＝，
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
故答案为：45°；
（2）①当点P在半径OA上时，如图，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝，
∴CD＝13，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝＝5，
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
15．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
16．（2022•吴兴区校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠DAC＝30°，AD＝，求的长．

【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到∠DAC＝30°，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴＝，
∵点C是劣弧BD的中点，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝AD；
（2）解：连接OD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∵AB＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD＝，
∴OA＝OD＝1，∠AOD＝2∠ABC＝120°，
∴的长＝＝．
17．（2022•河南模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点F，F为的中点，连接BD交AC于点E．
（1）求证：BE＝BC．
（2）如图2，连接OF交BD于点G，取OB的中点H，连接GH，OD．若BC＝5，BG＝4，GH＝，求DE的长．

【分析】（1）连接AD，先证明∠BAF＝∠DAF，再根据直角三角形的两锐角互余得∠AED＝∠C，进而证得结果；
（2）根据垂径定理得BG＝DG，再由（1）的结论得BE，进而求得EG，便可求得结果．
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵F为的中点，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAF+∠AED＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAF+∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠CEB＝∠C，
∴BE＝BC；
（2）解：∵F为的中点，
∴OF垂直平分BD，
∴BG＝DG＝4，
由（1）知BE＝BC＝5，
∴EG＝BE﹣BG＝5﹣4＝1，
∴DE＝DG﹣EG＝4﹣1＝3．
18．（2022•赛罕区校级一模）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD与∠EDF互补；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，AD＝2BD，求HM的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠AGF＝∠ADF，再根据角之间的互余关系及等量代换推出∠GAD＝∠EAF，最后利用圆内接四边形的性质即可得证；
（2）作出辅助线OF，可得：△AHM∽△FOM，△AHM∽△ADB，根据相似三角形的性质得到三角形边之间的关系，最后根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵AD＝2BD，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
在Rt△AHM与Rt△FOM中，
∵∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴HM＝．