备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点14 三角形与全等三角形

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考点14 三角形与全等三角形

在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。所以，在数学中考中，考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用。又因为该考点与其他几何考点的融合性特别多，所以单独考察的题目却不会特别多。所以，考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察。



一、 三角形的三边关系
二、 三角形的内角和定理及其外角定理
三、 三角形中的重要线段
四、 全等三角形的性质与判定
考向一：三角形的三边关系
三角形三边关系的定理及其推论
定理
三角形任何两边的和大于第三边
推论
两边之差＜第三边＜两边之和

Ø 在应用时，求三角形边的取值范围，直接用“推论”；
Ø 判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可
Ø 最值典型应用：“将军饮马”
Ø “三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值

1．有三根小棒，它们长度分别如下，以下列各组小棒的长度为边，能构成三角形的是（　　）
A．10cm，10cm，8cm B．5cm，6cm，14cm
C．4cm，8cm，12cm D．3cm，9cm，5cm
2．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为 　 　．
3．如果三角形的三边长为m+1，m，5，则m的取值范围是 　 　．
4．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 　 　．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 　 　．

考向二：三角形的内角和定理及其外角定理
角的定义、性质及其他相关：
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
三角形外角的推论
三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和

Ø 三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度

1．如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
2．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）

A．180° B．220° C．230° D．240°
4．如图，在三角形ABE中，点D为BE上一点，延长AE到C，连接CD，若∠A＝70°，∠B＝∠C＝30°，则∠BDC＝　 　°．

5．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，求∠ADC的度数．

考向三：三角形中重要的线
一．三角形的分类

按角分类
锐角三角形（三个内角都是锐角）
直角三角形（有一个内角是直角）
钝角三角形（有一个内角是钝角）

按边分类
非等边三角形（三边均不相等）
等腰三角形
普通等腰三角形（有两边长相等）
等边三角形（三边长均相等）
二．三角形中的重要线段
∠CAD
∠BAC
EC=½BC
∠AFC=90°
½BC









三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：
（一） .中线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
（二） 高线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
（三） 角平分线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；
（四） 中垂线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
辅助线类型：连接两点
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；

1．下列各三角形中，正确画出AC边的高的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）

A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
4．如图，点D是△ABC中AB边上的中点，连接CD，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为 　 　．

5．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则＝　 　．

6．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACE＝40°，∠BCE＝20°，求∠ABD和∠BDC的度数．

7．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．

考向四：全等三角形的性质和判定
一．全等三角形的性质
性质
对应边相等，对应角相等
推论
全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等
二．全等三角形的判定
所有三角形
SSS 、SAS 、ASA 、AAS
直角三角形
HL
三． 全等三角形的常见模型：











Ø 证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
Ø 有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角



1．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝60°，则∠AEC等于（　　）

A．100° B．110° C．120° D．125°
2．如图，点B、F、C、E在同一直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．EC＝BF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，则下列结论不正确的是（　　）

A．△ABD≌△ACE B．∠ACE+∠DBC＝45°
C．BD⊥CE D．∠BAE+∠CAD＝200°
4．下列所给条件中，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝10
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
5．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．5或9
6．如图所示，两个三角形全等，则∠β等于（　　）

A．75° B．55° C．50° D．45°
7．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（　　）

A．15 B．11 C．8 D．6
8．如图AC＝BC，且∠ACB＝90°，其中C坐标（﹣1，0），A坐标（0，2），则B点的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（2，1） D．（﹣2，1）
9．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12，AC＝6，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发，以每秒2个单位的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时（t＞0），由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请间t的值有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝5，AD＝12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　 　．

11．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为 　 　．

12．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿BC方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分面积为 　 　．

13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D、E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，以下结论：
①∠DBM＝∠CDE；
②AC＝2DF；
③BN＝EF；
④S△BDE＝S四边形BMFE．
其中正确结论的序号是 　 　．

14．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．

15．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝8，BC＝5，∠C＝65°，∠D＝20°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝110°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　 　（填”大”或”小”）；
（2）当DC＝AB＝3时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．


1．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）

A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
2．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
4．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．11
5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）

A．﹣5 B．4 C．7 D．8
6．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　）

A．1 B．2 C．7 D．8
7．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
8．（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　 　度．
9．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
10．（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　 　.（只写一个）

11．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　 　，使△AOB≌△COD．

12．（2022•西宁）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（　　）

A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
13．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD

14．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 　 　．

15．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．


16．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

17．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．

18．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．

19．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．





1．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
2．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 　 　．

3．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　 　．
4．（2022•荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 　 　．

5．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
6．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（　　）
A．1km B．2km C．3km D．8km
8．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（　　）

A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
9．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
10．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
11．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
12．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　 　．


13．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．

方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．



14．（2022•广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

15．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．

16．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．

17．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） 　 　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　 　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

18．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．



1．（2021•荷塘区模拟）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022•吉林二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
3．（2022•青秀区校级三模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，9
4．（2022•云岩区模拟）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．50° B．40° C．45° D．44°
5．（2022•渝中区模拟）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝36°，∠F＝24°，则∠DEC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．120°
6．（2022•金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）

A．58° B．72° C．50° D．60°
7．（2022•路南区二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）

A．90° B．120° C．135° D．180°
8．（2022•馆陶县一模）投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PE⊥OA，
PF⊥OB，垂足分别为E、F．
求证：PE＝PF．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，
∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．
小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之间作补充，下列正确的是（　　）
A．投影屏上推理严谨，不必补充
B．应补充：“又∵∠OPE＝∠OPF”
C．应补充：“又OE＝OF，OP＝OP”
D．应补充：“又OP＝OP”
9．（2022•南明区二模）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
10．（2022•乳源县三模）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）

A．17 B．23 C．25 D．28
11．（2022•沂南县校级模拟）△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（﹣1，2），则△ABC的面积为（　　）
A．10 B．20 C．12 D．6
12．（2022•峄城区校级模拟）如图，已知AC+DC＝AB，∠ADC＝80°，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
13．（2022•夹江县模拟）已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．1.8 D．2.5
14．（2022•灞桥区校级二模）如图，三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　 　．

15．（2022•平遥县一模）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是 　 　．

16．（2022•观山湖区模拟）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为 　 　．

17．（2022•宁波模拟）图①是一位同学符合要求的读写姿势，眼睛到笔端的距离为36cm，她的眼睛B，肘关节C和笔端A为顶点的△ABC如图②．若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，则此时BC为 　 　cm．

18．（2022•涿州市校级一模）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线I的距离分别是a和b，且满足：+|b﹣2|＝0，则正方形ABCD的边长是 　 　，面积是 　 　．

19．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 　 　．

20．（2022•隆回县二模）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠BAO＝∠CDO，点E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝4，BC＝6，CE＝2，求EF的长．



21．（2022•翔安区模拟）（1）发现问题：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数
量关系为 　 　，AE、BD所在直线的位置关系为 　 　；
（2）探究问题：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB
的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．





22．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．
（1）求证：∠CBE＝45°；
（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．



23．（2022•中山市三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．