备战2023年中考数学一轮复习考点全系列（全国通用）考点20 锐角三角函数及其应用

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考点20 锐角三角函数及其应用

锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括①正弦、余弦、正切三函数、②特殊角的三角函数值、③解直角三角形与其应用等。而且，因为锐角三角函数的性质的特点，出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察。特别是三角函数的应用，是近几年中考填空压轴题常考题型。学生在复习这块考点时，需要付出更多的努力，已达到熟练掌握这块考点的要求。


一、 锐角三角函数的定义及其性质
二、 特殊角的三角函数值
三、 解直角三角形
四、 解直角三角形的应用
考向一：锐角三角函数的定义及其性质
一．锐角三角函数的定义：

A
C
B
a
b
c
在Rt△AABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b
则：∠A正弦：；
∠A余弦：；
∠A正切：；
二． 锐角三角函数的函数关系
当∠A＋∠B=90°时，有以下两种关系：
（1） .同角三角函数的关系：
；
（2） 互余两角的三角函数的关系：
;

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tanA的值为（　　）
A． B． C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
4．已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（　　）
A．cosθ＜ B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（　　）

A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C．tanA＝ D．sinB＝
考向二：特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值表
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°



60°




1．下列三角函数中，值为的是（　　）
A．cos45° B．tan30° C．sin5° D．cos60°
2．计算tan45°+tan30°cos30°的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
3．4sin260°的值为（　　）
A．3 B．1 C． D．
4．若sin（x+15°）＝，则锐角x＝　 　°．
5．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝　 　．
6．在△ABC中，，则△ABC的形状是 　 　．
7．计算：．


考向三：解直角三角形
解直角三角形相关：

在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b
三边关系：
两锐角关系：
边与角关系：，，，
锐角α是a、b的夹角
面积：

1．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（　　）

A．2 B．1 C．0.5 D．2.5
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若tan∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

5．如图，△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）sinB＝　 　；
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．


考向四：解直角三角形的应用
解直角三角形的应用：
仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.
俯角：视线在水平线下方的叫俯角

坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
坡度越大，坡角越大，坡面越陡

1. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：
（1）不同地点看同一点，如图①
（2）同一地点看不同点，如图②
（3）利用反射构造相似，如图③
2. 常用结论：



1．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（　　）

A．3sin27° B．3cos27° C． D．3tan27°
2．如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，则缆车索道AB的长为（　　）

A．800sinα米 B．800cosα米 C．米 D．米
3．如图，为了估算某河流的宽度，在该河流的对岸选取一点A，在近岸取点D，C，使得A、D、C在一条直线上，且与河流的边沿垂直，测得CD＝15m，然后又在垂直AC的直线上取点B，并量得BC＝30m，若cosB＝，则该河流的宽AD为 　 　m．

4．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长60m一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长5.5m，宽2.5m的长方形AEDF供停车，如图平行四边形ABCD是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，∠ABD为60°，则每个体车位的面积大约为 　 　m2（结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳 　 　个停车位．（）

5．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．
（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．

6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝31cm，灯罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：cos50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）




1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 　 　．
2．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　）

A． B． C． D．3
3．（2022•天津）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　 　．
5．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
6．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
7．（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
8．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．3 D．6
11．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝　 　．

12．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　 　．
13．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝　 　．

14．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　）

A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝
15．（2022•沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（　　）

A．msinα B．mcosα C．mtanα D．
16．（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　）
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
17．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）

18．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）





1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 　 　．
2．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．

3．（2022•广东）sin30°＝　 　．
4．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 　 　．
5．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．

6．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．

7．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．2
9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
10．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝　 　．

11．（2022•西宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cosA＝　 　．
12．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　 　．

13．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝　 　．

14．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　）

A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m
15．（2022•枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝　 　．

16．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　 　海里（计算结果不取近似值）．

17．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　 　小时．

18．（2022•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　 　米．

19．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

20．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

21．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

1．（2022•滨海新区一模）2sin30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2022•大理州二模）在Rt△ABC中，∠B为直角，cosA＝，AB＝，则BC＝（　　）
A．3 B．2 C．1 D．2
3．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（　　）

A．+1 B．2+2 C．2+1 D．+4
4．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB的正切值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2022•仁怀市模拟）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AC上一点，，∠CBD＝15°，则sin∠BDC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（2023•小店区校级一模）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（　　）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）

A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米
7．（2023•福安市一模）若cos（α﹣15）°＝，则α＝　 　．
8．（2022•敖汉旗一模）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为β，则两梯脚之间的距离BC为 　 　米．

9．（2022•韶关模拟）在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度＝　 　（结果带根号表示）．

10．（2022•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D在边BC上，且BD＝AC，sin∠ADC＝．那么边BC的长为 　 　．

11．（2022•武汉模拟）如图，AD∥BC，∠A＝∠D，BC＝2AD，P为边AD上一点（不与A，D重合），点E，F分别为AB，CD的中点，作射线PE交直线BC于M，作射线PF交直线BC于N．若PM⊥PN，设tan∠ABC＝m，则m的取值范围是 　 　．

12．（2022•婺城区模拟）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壶嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.6；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
（1）FE与水平桌面l的夹角为 　 　．
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，此时点F下落的高度为 　 　cm．（结果保留一位小数）．

13．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝30cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：
（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是 　 　cm2．
（2）若＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tanα的取值范围是 　 　．

14．（2023•雁塔区校级模拟）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）．

15．（2023•未央区校级三模）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）．

16．（2022•都安县校级二模）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为50°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小红的眼睛与地面的距离AA1＝1.5m．
（1）电子显示屏的底端C距地面多少m？
（2）电子显示屏高BC的值为多少？
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.78，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）