精品解析：广东省深圳市深圳中学联考2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题

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2022-2023学年度第一学期期中考试初二年级数学试卷说明： 1.答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．2.考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．3.全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分．一．选择题（每小题只有一个选项符合要求，请在答卷指定区域用2B铅笔填涂所对应的方框，每小题3分，共30分）1. 下列运算正确的是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法和除法的运算法则逐项计算即可判断．【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；B. ，故B计算错误，不符合题意；C.，故C 计算错误，不符合题意；计算D.，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的加法，减法，乘法和除法．掌握二次根式的运算法则是解题关键．2. 下列实数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，最简二次根式的个数是（　　）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，把不能化简的选出即可．【详解】解：∵，，2不是二次根式，∴最简二次根式只有（1）；（4）共2个．故选：C．【点睛】本题主要考查对二次根式的性质，最简二次根式，分母有理化，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．3. 下列说法中正确的是（　　）A. 在中，若，则B. ， ， 构成勾股数C. D. 点在一次函数的图象上【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理判断A，B选项，根据二次根式的运算判断C选项，根据一次函数图象上点的坐标特点判断D选项．【详解】解：∵在中，若， ，∴，∴由勾股定理可得，．故A选项正确，符合题意；∵，∴， ， 不能构成勾股数．故B选项错误，不符合题意；∵，∴，∴．故C选项错误，不符合题意；∵时，．∴点不在一次函数的图象上．故D选项错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查勾股定理，二次根式的运算，一次函数图象上点的坐标特点，难度较小，解题的关键是熟练运用上述知识点．4. 一次函数的图象过点，， 则和的大小关系是（　　）A.  B.  C.  D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的性质，即可判定．【详解】解：在一次函数中，，随x的增大而减小，一次函数的图象过点，，且，，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．5. 在平面直角坐标系中， 若点A在第四象限，则点B 所在的象限是（　　）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标特征得出范围，再判断的正负性，判断其所在的象限即可．【详解】解：∵点A在第四象限，∴，，∴，∴，，∴点B 所在的象限是第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了平面直角坐标系，熟知平面直角坐标系各象限的点的坐标特征是解本题的关键．6. 如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）A.  B. C. 点A到直线的距离为2 D. 【答案】B【解析】【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解．【详解】解：由图可得：，，，∴，∴是直角三角形，即，∴，设点A到直线的距离为h，∴，∴，综上可知只有B选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．7. “今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？(选自《孙子算经》)”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况．如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据题意可列方程组为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，根据“每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹”列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设盗贼有人，失窃的绸缎有匹，依题意，得，故选：A．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键．8. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm【答案】C【解析】【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：；圆柱体地面半径为cm，cm圆柱体高cm，cm中，．故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．9. 两个函数和，它们在同一个坐标系中的图像不可能是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】从k，b与0的大小关系入手，分类为：且，且，且三种情况讨论，结合一次函数图象性质即可得出答案．【详解】①若且，则的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，与A选项与D选项所示情况相符；故A，D两个选项符合题意；②若且，则图象经过第一、三象限，的图象是一条平行于x轴的直线，且与y轴相交于正半轴，与C选项所示情况相符；故C选项符合题意；③若且，则图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，其图象应如下图所示（交点在第一象限且横坐标为），与B选项所示情况不符；故B选项不符合题意．故选：B【点睛】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是本题的解题关键．10. 已知a，b，c分别是等腰三边的长，且满足，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰有（　　）A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个【答案】A【解析】【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，或或或，当时，三边长分别为 1，12，12或 1，1，22 （不合题意舍去）；当时，三边长分别为2，6，6或 2，2，10 （不合题意舍去）；当时，三边长分别为 3，4，4或 3，3，5，当时，三边长分别为 4，3，3或 4，4，2，所以一共有6个，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的定义以及三角形三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论．二．填空题（将答案写在答卷指定的位置，每小题3分，共计15分）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可进行求解．【详解】解：由题意得：，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为________；若点A与点关于轴对称，则点的坐标为________； 若点A与点关于原点对称，则点的坐标为________．【答案】    ①.     ②.     ③. 【解析】【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，根据以上特点可得答案．【详解】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，与点关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为．故答案为：，，．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．13. 已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．【答案】##【解析】【分析】先根据题意画出函数图象，根据函数图象得出中的取值范围即可．【详解】解：将代入得：，∴一次函数的图象经过，，将代入得：，∴一次函数的图象经过，，如图所示：∴中的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式之间的关系，解题的关键是根据题意画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．14. 如图，已知点的坐标为， 点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为6，则点的坐标为__________．  【答案】【解析】【分析】先根据平移的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，设点的坐标为，则，，然后根据平行四边形的面积公式可得，由此即可得．【详解】解：由平移的性质得：，四边形是平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为，，，又四边形的面积为6，，即，解得，则点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、点坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题关键．15. 小刚从家出发步行去学校， 几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚， 同时小刚以原速的两倍跑步回家， 爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， 而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程 (米)与小刚从家出发到学校的时间 (分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为__________．【答案】【解析】【分析】根据图像求出相遇后爸爸回家所用的时间，进而得出小刚打完电话与爸爸相遇所用的时间，结合题意得出相遇后爸爸2分钟走的路程，得到小刚后来的速度，即可得出答案．【详解】解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时（分钟），∵爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家，∴小刚打完电话到与爸爸相遇用时间为1分钟，∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米，∴小刚后来的速度为：（米/分钟）则步行的速度是（米/分钟）.故答案为：160．【点睛】本题主要考查了函数的图像问题，解题关键是理解每一段图像所表示的意思．三．解答题（将答案写在答卷指定的位置，共计55分）16. 计算下列各式:（1）；（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根据二次根式的运算法则计算并化简二次根式，再合并同类项即可；（2）先根据运算法则计算二次根式、零次幂和绝对值，再合并同类项即可．【小问1详解】解：原式；小问2详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练二次根式的运算法则、零次幂和绝对值是解题的关键．17. 解方程组（1）（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）先整理化简，然后利用加减消元法求解即可．【小问1详解】解：①+②，得，解得，将代入②中，得解得，∴原方程组的解为；【小问2详解】解：原方程组可化为由，得解得将代入①中，解得∴原方程组的解为【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．18. 如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）（1）求此刻风筝离地面的高度；（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？【答案】（1）此刻风筝离地面的高度为16.6米    （2）该同学应该收回7米【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【小问1详解】解：在中，由勾股定理得，，所以，（负值舍去），所以，（米），答：风筝的高度为16.6米；【小问2详解】解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ，在中，由勾股定理可知， ， 答：该同学应该收回7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．19. 如图所示，已知直线过点，点，其中a是介于和之间的整数，b是的整数部分，点C为轴上的一点，将直线向下平移3个单位得到直线．（1）填空：　　，　　（2）请在如图所示的网格中，直接画出直线；（3）若的面积为4，求点C的坐标．【答案】（1）2，3    （2）见解析    （3）或【解析】【分析】(1)估算和，可得出a与b的值；(2)根据平移的定义可作出直线；(3)设点C的坐标为，根据两点的距离，可知，，再根据三角形的面积公式列出含有绝对值的方程，解出即可．【小问1详解】解：，，，a是介于和之间的整数，；，的整数部分是3，，故答案为：2，3；【小问2详解】解：根据题意画图如下：【小问3详解】解：点C为轴上的一点，设C点的坐标为，，，，， ，，， 或， 综上，点C的坐标为或．【点睛】此题主要考查了平移作图，无理数的估算，解绝对值方程，三角形的面积公式等，设出C点的坐标为，求得是解决本题的关键．20. 为了做好防疫工作，某学校准备采购一批免洗型消毒液．已知A型消毒液的单价比B型消毒液的单价便宜2元，若学校采购300支A型消毒液和200支B型消毒液，则需花费3900元．（1）求这两种消毒液的单价．（2）为了喜迎二十大，商场推出惠民活动，凡一次性购买B型消毒液200支及以上，B型消毒液可打七五折． 若学校准备购进这两种消毒液共600支，且要求购买A型消毒液的数量不少于300支但也不多于500支． 为了使学校花费最少，应如何购买？【答案】（1）A型消毒液的单价为，B型消毒液的单价为9元    （2）应购买300支A型消毒液和300支B型消毒液，需花费4125元【解析】【分析】（1）设A型消毒液的单价为x元，B型消毒液的单价为元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可；（2）设购进A型消毒液支，花费为元，则购进B型消毒液支．分类讨论①当时和②当时，分别列出W与a关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【小问1详解】设A型消毒液的单价为x元，B型消毒液的单价为元，由题意得：，解得：． 答：A型消毒液的单价为7元，B型消毒液的单价为9元；【小问2详解】设购进A型消毒液支，花费为元，则购进B型消毒液支．分类讨论：①当时，，则，∵，∴W随a的增大而增大，∴的最小值为；②当时，，则．∵，∴W随a的增大而减小，∴的最小值为． 综上可知， 应购买300支A型消毒液和300支B型消毒液，需花费4125元．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．21. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中， 甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示（1）甲车出发_____小时后，乙车才出发；（2）甲车的速度为______， 乙车的速度为_____；（3）甲、乙两车经过____小时后第一次相遇；（4）当为何值时，甲、乙两车相距20千米．(直接写出的值)【答案】（1）1    （2）48，80    （3）    （4）或或或【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；（2）利用速度=路程÷时间进行求解即可；（3）设甲、乙两车经过t小时第一次相遇，根据两人第一次相遇时所走的路程相同列出方程求解即可；（4）分①当时，②当时，③当时，④当时，4种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：由函数图象可知，甲车出发1小时后，乙车才出发，故答案为：1；【小问2详解】解：由函数图象可知甲车5小时行驶240千米，乙车3小时行驶240千米，∴甲车的速度为，乙车的速度为，故答案为：48，80；【小问3详解】解：设甲、乙两车经过t小时第一次相遇，由题意得，解得，∴甲、乙两车经过小时第一次相遇，故答案为：【小问4详解】解：设小时后甲、乙两车相距20千米，①当时，当时，解得 ，符合题意；②当时，当时，解得 ，符合题意；③当时，当时，解得 ，符合题意；④当时，当时，解得 ，符合题意；综上所述，当t的值为或或或时，甲、乙两车相距20千米．【点睛】本题主要了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．22. （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，【解析】【分析】（1）先说明，然后再根据即可证明结论；（2）先由题意确定、点坐标，根据全等三角形的判定与性质确定点C的坐标，然后运用根据待定系数法求得的解析式；（3）作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上；然后分点在的上方和下方两种情况，分别根据全等三角形的性质列出关于的方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知， 为等腰直角三角形 ∴ ， 在中 ．（2）由题意意可知点坐标为，点坐标为 过点作交于点， 过点C作轴交轴于点， 由（1）的证明可知 点坐标为          设过点 解得 ．（3）如图：作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上． ①当点在下方时过点作轴交于点， 则交于点， 由（2）的证明不难得出，， 即 解得， 则点与点位于第一象限相矛盾，故舍去②当点在上方时过点分别作轴交于点， 则的延长线交于点，          由（2）的证明不难得出，， 即 解得， 则点符合题意．综上，．【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键．