高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算巩固练习

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第1讲 空间向量及其运算 【知识点梳理】知识点一：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线.注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法.证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.知识点二：向量共面问题共面向量（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）.知识点三：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝.(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点四：夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图.根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦.知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作.2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到.在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角.知识点五：空间向量的长度定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；.利用向量求线段的长度.将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解.【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（　　）A．若，，则与所在直线平行B．向量、、共面即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面D．若，则存在唯一的实数λ，使   【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）A． B． C． D．  【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　）A． B．C． D．  【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）A． B．C． D．      【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.  2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）A． B．C． D．        3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）A． B．C． D．  4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．  5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______． 6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：(1)的相等向量，的负向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.题型二：共线、共面向量定理的应用【例1】（2022·全国·高一单元测试）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．  【例2】（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（       ）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对  【例3】（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与点位置有关   【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.     【题型专练】1．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（       ）A．若∥，则∥B．是共线的必要条件C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件  2.（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）下列命题不正确的是（       ）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有B．“”是“、共线”的充要条件C．若、共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．  3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（       ）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面  4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）A．2 B． C．1 D．  5.（2022·全国·高二课时练习）已知A，，三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与A，，一定共面的是（       ）A． B．C． D．  6．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．   题型三：空间向量的数量积【例1】已知单位正方体，求下列各式的值：   （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.         【例2】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）A．1 B． C． D．  【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.   【例4】（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．    【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．  2.已知正方体的棱长为1，求：  （1）；（2）；（3）；（4）．   3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______． 4.已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ）    A．B．C．D． 题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【例1】（2022·江苏·高二课时练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．  【例2】（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ）A． B． C． D．   【题型专练】1．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ） A．30° B．45° C．60° D．90°2.已知空间四边形中，，则______．   3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______．  4．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.    5．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：（1）的长；   （2）与AC所成的角的余弦值．        题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【例1】如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为_______.      【例2】如图，三棱锥各棱的棱长都是，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值．      【题型专练】1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ）A． B． C． D．        2．（2022·全国·高二（多选题））在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ）A． B．C．若，则 D．若直线与交于点O，则  3．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.  4.如图在平行六面体中，，，则的长是______．