精品解析：广东省深圳市横岗中心学校、康艺学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

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2022—2023学年度九年级上数学期末考试试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共10题，每题3分，共30分）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程化为，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程结构灵活选用一元二次方程的解法是解答的关键．
2. 某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．依此即可解题．
【详解】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了三种视图及它画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意用列举法求概率即可．
【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，
它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，
所有可能的结果共3种，
并且出现的可能性相等，
甲与乙恰好被选中的概率：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．
4. 反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k-3的符号，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k-3＜0，解得k＜3．
故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键．
7. 如图，与位似，点O为位似中心，且B为的中点，则与的周长比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由位似比可推出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可选择．
【详解】解：与位似，
，
B为的中点，
，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的周长比为．
故选B．
【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的位似比等于相似比、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
8. 如图，正方形 中， 是 的中点，， 是线段 上的动点，则 的最小值是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，最短，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：当时，最短，
；
四边形为正方形，
，，
，
，
∴，
；
∵为 的中点，，
；
，即，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定垂直最短，从而运用相似三角形的判定与性质是关键．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则的值为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝AF+FD＝，再利用相似三角形性质即可解决问题．
【详解】解：由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DGF，
∵∠AFE＝∠GFD，
∴△ABF∽△DFG，且∠AFE＝∠GBC，
∴△BCG为等腰三角形，即BC＝CG＝AD＝，
∵△GFD为等腰三角形，即FD＝GD，
∴CD＝CG﹣DG＝，
AB∥CD，
，

∴△ABE∽△CGE，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，设，分别求出，，，，，，，分别求得，，由得，，由勾股定理可得结论．
【详解】解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，

∵四边形ACDE，BCFG是正方形，
∴，，
设，
∵∠，
∴
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∵H为EG的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
整理得，，
∵∠，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 如果，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，得出，代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
12. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则这个方程的另一个根是______．
【答案】

【解析】
【分析】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∴关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴方程的另一个根是-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．
13. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于_______．

【答案】
【解析】
【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得．
【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
即

故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
14. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．

【答案】﹣9
【解析】
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵
∴=
∵点A是双曲线上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9

【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________．

【答案】1
【解析】
【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，R，R，与相交于I，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴四边形AEPD是矩形，
∴，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴，
，，

∵点G是EC的中点，
是的中位线，
，
同理可求：，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP=FC，HI=HR=PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴，
∴
是等腰直角三角形，

故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）采用直接开方法即可求解；
（2）采用因式分解法即可求解．
小问1详解】


，
即：，；
【小问2详解】

，
即，或者，
即：，．
【点睛】本题主要考查了采用直接开方法和因式分解法求解一元二次方程的解的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键．
17. “此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类——接种了只需要注射一针的疫苗；类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：

（1）此次抽样调查的人数是______人；
（2）______；______；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已知接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）利用A类的人数除以其占比即可求出抽样调查总人数；
（2）B类的人数除以总人数即可求出B类的占比；利用总人数乘以C类的占比，即可求出C类的人数；
（3）采用列表法列举即可求解．
【小问1详解】
（人），
即总人数为人，
故答案为：；
【小问2详解】
，即；
（人），即；
故答案为：，；
【小问3详解】
3名男性分别用，，表示，2名女性分别用，表示，列表如下：

总的情况数有：20种，其中一男一女的情况有：12种，
则恰好抽到一男和一女的概率是，
即恰好抽到一男和一女的概率是．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比．
18. 如阁，在矩形中，对角线的重直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．

（1）求证：四边开是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见详解 （2）20
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形；
（2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，求出，问题得解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，．
∵是的垂直平分线
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
小问2详解】
解：∵，，四边形菱形，
∴设，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．即，
∴菱形的周长为．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
19. “双十一”期间，某网店直接从工厂购进，两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价）

款保温杯
款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40

（1）若该网店用1540元购进，两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．
（2）“双十一”后，该网店打算把款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元?
【答案】（1）购进款保温杯20个，款保温杯30个
（2）将款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元
【解析】
【分析】（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，根据用1540元购进，两款保温杯共50个，得到二元一次方程组，求解即可得到答案；
（2）设款保温杯的销售价定为元，则单个款保温杯的销售利润为元，再根据每降价1元，平均每天可多售出2个，得到平均每天可售出个，结合使款保温杯平均每天的销售利润为96元，得到一元二次方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，
依题意得：，解得，
答：购进款保温杯20个，款保温杯30个；
【小问2详解】
解：设款保温杯的销售价定为元，则每个的销售利润为元，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，
平均每天可售出个，
依题意得：，即，
，解得，，
答：将款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解实际应用题、一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
20. 如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高度未知的电线杆，它们都与地面垂直．为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子的长度为2米，落在地面上的影子的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子的长度为3米，落在地面上的影子的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．

（1）该小组同学在这里利用的是______（平行、中心）投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
【答案】（1）平行 （2）电线杆的高度为7米
【解析】
【分析】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
（2）过点作于，过点作于．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得即电线杆的高度即可．
【小问1详解】
解：该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
【小问2详解】
解：过点作于，过点作于．
则，，，．
所以，
由平行投影可知，，即，
解得，即电线杆的高度为7米．

【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
21. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．

（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，
则

设直线为：
则
所以直线为：
（2） 轴， ．



所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，





【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
22. 解答题
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．

【答案】（1）【答题空1-1】1
（2）【答题空2-1】
（3）见解析 （4）【答题空4-1】
【解析】
【分析】（1）通过证明△AED△DFC得到ED=FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC△DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED△HCF，即可得出结论；
（4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论
【小问1详解】
解：∵ 四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴
∴
故答案为：1．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴ ．
故答案为：．
【小问3详解】
证明：过点作于点，如图，

∵ ，，
∴ 四边形为矩形．
∴，
∴
∵，
∴．
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
【小问4详解】
解：过点作于点，连接，交于点，如图，

由题意：与关于轴对称，
∴垂直平分，
即，．
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴ ．
∵，
∴
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
∴
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键．